【创新设计】高考数学(人教理)一轮题组训练等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和基础巩固 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2013·六安二模)已知数列{a}的前n项和S＝3n－2，n∈N*，则()．nnA．{a}是递增的等比数列nB．{a}是递增数列，但不是等比数列nC．{a}是递减的等比数列nD．{a}不是等比数列，也不单调n解析∵S＝3n－2，∴S＝3n－1－2，nn－1∴a＝S－S＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，nnn－1当n＝1时，a＝S＝1不适合上式，但a＜a＜a＜….11123答案B72．(2014·广州模拟)已知等比数列{a}的公比q＝2，前n项和为S.若S＝，则nn32S等于()．63163A.2B.2127．C63D.2a1－2371a1－2663解析S＝1＝7a＝，所以a＝.所以S＝1＝63a＝.31－2121261－212答案B3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a}的前n项和为S.已知S＝a＋10a，ann3215＝9，则a＝()．111．－A.3B311．－C.9D9a1－q3解析由题知q≠1，则S＝1＝aq＋10a，得q2＝9，又a＝aq4＝9，31－q11511则a＝.19答案C4．在等比数列{a}中，a＝7，前3项之和S＝21，则公比q的值为()．n331．．－A1B211．或－．－或C12D12aq2＝7，解析根据已知条件1a＋aq＋aq2＝21.1111＋q＋q21得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或－.q22答案C5．(2014·浙江十校联考)若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m∶n值为()．11A.4B.2C．2D．4解析设方程x2－5x＋m＝0的两根为x，x，方程x2－10x＋n＝0的两根为12x，x.34x＋x＝5，x＋x＝10，则1234由题意知x＝1，x＝4，x＝2，x＝8，∴mx·x＝m，x·x＝n，123412341＝，＝，∴∶＝4n16mn4.答案A二、填空题S316．(2014·江西九校联考)实数项等比数列{a}的前n项的和为S，若10＝，则nnS325公比q等于________．a1－q101SS1－q1－q10解析首先q≠1，因为若q＝1，则10＝2，当q≠1时，10＝＝SSa1－q51－q55511－q1－q51＋q53111＝＝，q5＝－，q＝－.1－q5323221答案－27．在等比数列{a}中，a＋a＝30，a＋a＝60，则a＋a＝________.n123478解析∵a＋a＝a(1＋q)＝30，a＋a＝aq2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a＋a12134178＝aq6(1＋q)＝[a(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.11答案2408．设等比数列{a}的公比为q，前n项和为S，若S，S，S成等差数列，nnn＋1nn＋2则q的值为________．解析由已知条件，得2S＝S＋S，nn＋1n＋2a即2S＝2S＋2a＋a，即n＋2＝－2.nnn＋1n＋2an＋1答案－2三、解答题9．在数列{a}中，已知a＝－1，且a＝2a＋3n－4(n∈N*)．n1n＋1n(1)求证：数列{a－a＋3}是等比数列；n＋1n(2)求数列{a}的通项公式及前n项和S.nn(1)证明令b＝a－a＋3，nn＋1n则b＝a－a＋3＝2a＋3(n＋1)－4－2a－3n＋4＋3＝2(a－a＋3)n＋1n＋2n＋1n＋1nn＋1n＝2b，即b＝2b.nn＋1n由已知得a＝－3，于是b＝a－a＋3＝1≠0.2121所以数列{a－a＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列．n＋1n(2)解由(1)可知b＝a－a＋3＝2n－1，nn＋1n即2a＋3n－4－a＋3＝2n－1，nn∴a＝2n－1－3n＋1(n∈N*)，n1－2nnn＋1于是S＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)－3(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝－3×n1－223n2＋n＋＝n－－n221.10．(2013·济南期末)已知等差数列{a}的前n项和为S，且满足a＝4，a＋ann234＝17.(1)求{a}的通项公式；n(2)设b＝2a＋2，证明数列{b}是等比数列并求其前n项和T.nnnn解(1)设等差数列{a}的首项为a，公差为d.由题意知n1a＋a＝a＋2d＋a＋3d＝17，3411a＝a＋d＝4，21解得a＝1，d＝3，1∴a＝3n－2(n∈N*)．n(2)证明：由题意知，b＝2a＋2＝23n(n∈N*)，nnb＝23(n－1)＝23n－3(n∈N*，n≥2)，n－1b23n∴n＝＝23＝8(n∈N*，n≥2)，又b＝8，b23n－31n－1∴{b}是以b＝8，公比为8的等比数列，n181－8n8T＝＝(8n－1)．n1－87能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·兰州模拟)已知数列{a}满足loga＋1＝loga(n∈N*)，且a＋a＋an3n3n＋1246＝9，则log1(a＋a＋a)的值是()．57931．－．－A5B51．C5D.5解析由loga＋1＝loga(n∈N*)，得loga－loga＝1且a＞0，即3n3n＋13n＋13nnaalogn＋1＝1，解得n＋1＝3，所以数列{a}是公比为3的等比数列．因为a＋3aan5nna＋a＝(a＋a＋a)q3，所以a＋a＋a＝9×33＝35.所以log1(a＋a＋a)＝792465795793log135＝－log35＝－5.33答案B2．(2014·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a}中，a与a的等比中n414项为22，则2a＋a的最小值是()．711A．16B．8C．22D．4解析由题意知a·a＝(22)2＝a2，即a＝22.设公比为q(q＞0)，所以2a4149972a42＋a＝9＋aq2＝＋22q2≥11q29q2424242×22q2＝8，当且仅当＝22q2，即q＝2时取等号，其最小值q2q2为8.答案B二、填空题13．(2013·江苏卷)在正项等比数列{a}中，a＝，a＋a＝3.则满足a＋a＋…＋n526712a>aa…a的最大正整数n的值为________．n12n11解析由已知条件得＋2＝，即2＋－＝，解得＝或＝－舍去，2q2q3qq60q2q3()11a＝aqn－5＝×2n－5＝2n－6，a＋a＋…＋a＝(2n－1)，aa…a＝2－52－42－n5212n3212n3…2n－6＝，由a＋a＋…＋a>aa…a，可知2n－5－2－5>，12n12n可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5<213，所以n的最大值为12.答案12三、解答题34．已知首项为的等比数列{a}不是递减数列，其前n项和为S(n∈N*)，且S2nn3＋a，S＋a，S＋a成等差数列．35544(1)求数列{a}的通项公式；n1(2)设T＝S－(n∈N*)，求数列{T}的最大项的值与最小项的值．nnSnn解(1)设等比数列{a}的公比为q，n因为S＋a，S＋a，S＋a成等差数列，335544所以S＋a－S－a＝S＋a－S－a，55334455a1即4a＝a，于是q2＝5＝.53a4331又{a}不是递减数列且a＝，所以q＝－.n122故等比数列{a}的通项公式为n313a＝×－n－1＝(－1)n－1·.n222n11＋，n为奇数，12n(2)由(1)得S＝1－－n＝n211－，n为偶数.2n当n为奇数时，S随n的增大而减小，n3所以1S－≥S－＝－＝－.42nnS2S4312n2715综上，对于n∈N*，总有－≤S－≤.12nS6n57所以数列{T}最大项的值为，最小项的值为－.n612