1.正态分布的概率密度与分布函数

第四章正态分布正态分布是最常见因而也是最重要的分布:1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2.在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3.在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4.数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导得到的.§4.1正态分布的概率密度与分布函数§1正态分布的概率密度与分布函数定义.若随机变量的概率密度为其中及都是常数，则称随机变量服从正态分布(或高斯分布).记作：§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的定义当时称服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布.记为：正态分布的概率密度的图形：分布曲线的特征：1.关于直线对称；2.在处达到最大值；3.在处有拐点；4.时曲线以轴为渐近线.§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率密度与分布函数5.固定改变则图形沿轴平移而不改变其形状.6.固定改变则当很小时，曲线的形状与一尖塔相似；当值增大时，曲线将趋于平坦.§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的分布函数为§4.1正态分布的概率密度与分布函数5.01标准正态分布的概率密度：标准正态分布的分布函数：§4.1正态分布的概率密度与分布函数的性质：例1.设服从标准正态分布求解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数定理.证：则§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的概率计算例2.设随机变量服从正态分布求概率解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数例3.设随机变量服从正态分布在区间内的概率，这里解：§4.1正态分布的概率密度与分布函数求落查附 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 2得说明：若则§4.1正态分布的概率密度与分布函数由此可知落在之外的概率小于‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理”§4.1正态分布的概率密度与分布函数可能的取值看作是随机变量的实际区间.例4.设随机变量服从标准正态分布机变量函数的概率密度.解：已知随机变量的概率密度先求随机变量的分布函数：当时，§4.1正态分布的概率密度与分布函数求随当时，所以，的分布函数为§4.1正态分布的概率密度与分布函数所得的分布称为自由度为的分布.§4.1正态分布的概率密度与分布函数求导得到的概率密度1.正态分布的概率密度：2.标准正态分布的概率密度与分布函数：§4.1正态分布的概率密度与分布函数小结3.标准正态分布分布函数的性质：4.利用求正态变量落在某区间内的概率：§4.1正态分布的概率密度与分布函数思考题测量到某一目标的距离时发生的随机误差具有概率密度的概率.解：正态分布于是§4.1正态分布的概率密度与分布函数求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过按题意，每次测量时发生的随机误差服从1.所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过的概率§4.1正态分布的概率密度与分布函数已知某机械零件的直径服从正态分布规定直径在内为合格品.求这种机械零件的不合格品率.解：设随机变量表示这种机械零件的直径则按题意，不合格品率为§4.1正态分布的概率密度与分布函数2.3.若随机变量且则解：已知则有§4.1正态分布的概率密度与分布函数由此可得答：应填0.2.定理1.设随机变量服从正态分布则证：§4.2正态分布的数字特征因为所以§2正态分布的数字特征§4.2正态分布的数字特征利用分部积分法计算积分所以，§4.2正态分布的数字特征参数是该分布的标准差.正态分布的概率密度完全由 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 期望和方差决定.正态分布的参数是该分布的数学期望,另一个定理2.设随机变量服从正态分布，则阶中心矩证：§4.2正态分布的数字特征当是奇数时，§4.2正态分布的数字特征例1.的数学期望与方差.解：所以，§4.2正态分布的数字特征置换积分变量得§4.2正态分布的数字特征于是§4.2正态分布的数字特征小结思考题已知连续随机变量的概率密度为则的数学期望为方差为解：的概率密度可以写为§4.2正态分布的数字特征由此可知，于是有，1.设随机变量求随机变量函数的概率密度、数学期望与方差.解：已知则的概率密度为§4.2正态分布的数字特征当时，显然有2.当时，有所以，的分布函数为§4.2正态分布的数字特征对求导数，即得的概率密度注意到在处不可导，不妨定义下面求的数学期望和方差：§4.2正态分布的数字特征又置换积分变量得所以，的方差§4.2正态分布的数字特征定义.设二维随机变量的联合概率密度为则称二维随机变量服从二维正态分布，记作其中是分布参数.§4.3二维正态分布§3.二维正态分布§4.3二维正态分布定理1.设二维随机变量服从二维正态分布则与的边缘分布都是正态且无论参数为何值，都有证：的边缘概率密度分布，§4.3二维正态分布其中设则由此可得，同理，§4.3二维正态分布由定理1可知：化为二次积分，得§4.3二维正态分布设则得其中定理2.证：§4.3二维正态分布所以设得定理3.则与独立的充要条件是证：必要性：若随机变量与相互独立，则充分性：则二维正态分布的联合密度可化为：§4.3二维正态分布所以,随机变量与相互独立.例1.设随机变量与相互独立，都服从标准正态分布解：因为随机变量与相互独立，且已知所以，§4.3二维正态分布当时，有§4.3二维正态分布所以，的分布函数当时，显然有§4.3二维正态分布[此分布称为自由度为2的分布.]例2.设二维随机变量服从二维正态分布，已知求的联合概率密度.解：已知与的相关系数为§4.3二维正态分布所以的联合概率密度§4.3二维正态分布例3.求落在椭圆内的概率.解：其中积分域为椭圆形区域§4.3二维正态分布利用广义计算二重积分得极坐标§4.3二维正态分布定理1.设随机变量服从正态分布则的线性函数也服从正态分布：证：的分布函数为若则有§4.4正态随机变量的线性函数的分布所以当时类似地可证.§4.正态随机变量的线性函数的分布定理1表明：正态随机变量的线性函数仍然是正态随机变量.§4.4正态随机变量的线性函数的分布推论:设随机变量服从正态分布,则标准化的随机变量在定理1中，设即得结论.定理2.设随机变量与独立，并且都服从正态分布：则它们的和也服从正态分布，且有证：已知与的概率密度分别是§4.4正态随机变量的线性函数的分布则随机变量的概率密度其中§4.4正态随机变量的线性函数的分布不难计算积分得于是由此可见，服从正态分布§4.4正态随机变量的线性函数的分布定理2表明：独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.定理3.设随机变量相互独立，且都服从正态分布：的线性组合也服从正态分布，且有其中为常数.§4.4正态随机变量的线性函数的分布由定理1及定理2还可得下面更一般的结论.则它们且服从均值为标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机解：已知与独立，且所以又因为随机变量§4.4正态随机变量的线性函数的分布由此可知，的概率密度为的概率密度.变量例1.设随机变量与独立，无实根的概率为则解：方程无实根就是即按题意,有即已知§4.4正态随机变量的线性函数的分布例2.随机变量服从正态分布且二次方程从而，因为所以应有由此得所以的随机变量，则随机变量的数学期望设由正态随机变量的线性性质知于是的概率密度为解:§4.4正态随机变量的线性函数的分布设随机变量与独立，且服从相同的分布例3.§4.4正态随机变量的线性函数的分布故，设为随机变量，则的分布,除了若干例外,一般很难求出.问题：能否利用极限的方法进行近似处理？在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.§4.5中心极限定理§5中心极限定理定理1.（林德伯格定理）设独立随机变量满足林德伯格对于任意的正数有是的概率密度，则当时，§4.5中心极限定理条件：对任何实数有其中由林德伯格定理可知：假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用,则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的.§4.5中心极限定理其中，定理2.设独立随机变量服从相同分布，并且数学期望和方差都存在：则当时，它们的和的极限分布是正态分布：§4.5中心极限定理（列维定理）由列维定理可得如下的近似公式：设独立同分布，则当充分大时，§4.5中心极限定理推论:例1.解：设随机变量表示第个加数的取整误差，则在区间上服从均匀分布，并且有计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率.于是所求的概率为§4.5中心极限定理例2.对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其期望值为2,方差为1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率？解：设为第次轰炸命中目标的炸弹数，§4.5中心极限定理§4.5中心极限定理定理3.（棣莫弗-拉普拉斯定理）设在独立试验序列中，事件在各次试验中发生的概率为随机变量表示事件在次试验中发生的次数，则有其中是任何实数，§4.5中心极限定理由定理可以推知：设在独立试验序列中，事件在各次试验中发生的概率为则当充分大时，事件在次试验中发生的次数在与之间的概率为其中§4.5中心极限定理§4.5中心极限定理说明：服从二项分布的随机(1)当充分大时，近似地服从正态分布变量在第二章中，泊松分布是二项分布的极限分布，且有近似计算公式(2)现在由定理3知，正态分布是二项分布的极限分布，且有相应的近似计算公式.两者应用场合不同:很小，当很大，但不太大时，用泊松分布当固定，很大时用正态分布逼近.逼近；林德伯格定理列维定理棣莫弗-拉普拉斯定理2两个近似计算公式(1)独立同分布，则当充分大时，§4.5中心极限定理小结1三个定理§4.5中心极限定理(2)其中则