2010AIME试题及参考答案

2010AIME试题及参考答案2010/03/16 1：30~4：301.Mayaslistsallthepositivedivisorsof.Shethenrandomlyselectstwodistinctdivisorsfromthislist.Letpbetheprobabilitythatexactlyoneoftheselecteddivisorsisaperfectsquare.Theprobabilitypcanbeexpressedintheform,whenmandnarerelativelyprimepositiveintegers.Findm+n.解：因为，所以它的所有的因数有个，其中是完全平方数的有，所以，所以m+n=107.2.Findtheremainderwhenisdividedby1000.解：所以余数是109.3.Supposetheand.Thequantityx+ycanbeexpressedasarationalnumber,whererandsarerelativelyprimepositiveintegers.Findr+s.解：由知x>0,y>0,且，以带入得：于是，所以，所以，所以x+y=，所以r+s=529.4.JackieandPhilhavetwofaircoinsandathirdcointhatcomesupheadswithprobability.Jackieflipsthethreecoins,andthenPhillflipsthethreecoins.LetbetheprobablitythatJackiegetsthesamenumberofheadsasPhill,wheremandnarerelativelyprimepositiveintegers.Findm+n.解：投掷三枚硬币的概率分布列如下：头像朝上的次数0123P所以两人投掷硬币出现头像朝上的次数相同的概率为：，所以m+n=515.5.Positiveintegersa,b,c,anddsatisfya>b>c>d，a+b+c+d=2010,and.Findthenumberofpossiblevaluesofa.解：易知，于是，又因为a>b>c>d，且a,b,c,d均是正整数，所以a-b=1,c-d=1,即b=a-1,d=c-1，带入a+b+c+d=2010中得，a+c=1006,但a>c，所以a可以取值504，505，…1004，所以a可能的取值为501个.6.LetP(x)beaquadraticpolynomialwithrealcoefficientssatisfyingforallrealnumbersx,andsupposeP(11)=181.FindP(16).解：可化为，所以可令，由此，所以,而,所以，所以b=1，但P(11)=181,所以100a+1=181，所以a=1.8,所以P(16)=406.解法二：直接令，易得a=1.8.7.Defineanorderedtriple(A,B,C)ofsetstobeminimallyintersectingif,.Forexample,({1,2},{2,3},{1,3,4})isaminimallyintersectingtriple.LetNbethenumberofminimallyintersectingorderedtriplesofsetsforwhicheachsetisasubsetof{1,2,3,4,5,6,7}.FindtheremainderwhenNisdividediby1000.解：易知若，共有种办法，且，不妨设a=1,b=2,c=3,把剩下的4个数分成4份(有一份是不安插进来的)，安插到A,B,C中，共有种办法，故N=53760.8.Forarealnumbera,let[a]denotethegreatestintegerlessthanorequaltoa.LetRdenotetheregioninthecoordinateplaneconsistingofpoints(x,y)suchthat.TheregionRiscompletelycontainedinadiskofradiusr(adiskistheunionofacircleanditsinterior).Theminimumvalueofrcanbewrittenas,wheremandnareintegersandmisnotdivisiblebythesquareofanyprime.Findm+n.解：易知或，或，或，于是，或，或，或或，或在平面直角坐标系中画出区域来如下图：容易得到此图的中心是，边界点到其距离的最大值为，所以m+n=132.9.Let(a,b,c)bearealsolutionofthesystemofequationsThegreatestpossiblevalueofcanbewrittenintheform,wheremandnarerelativelyprimepositiveintegers.Findm+n.解：易知,所以，于是,或，取，得的最大值为158.10.LetNbethenumberofwaystowrite2010intheform,wheretheareintegers,and.Anexampleofsucharepresentionis.FindN.解：易知只能取0，1，2三个值，因此根据讨论如下：（1）当=0时，，当时，有8种取法，当时，有2种取法，其余各有10种取法，共100种取法（2）当=1时，，当时，有8种取法，当时，有2种取法，其余各有10种取法，共100种取法（3）当=2时，，当时，有2种取法.故N=202.11.LetRbetheregionconsistingofthesetofpointsinthecoordinateplanethatsatifybothand,whenRisrevolvedaroundthelinewhoseequationis,thevolumeoftheresultingsolidis,wherem,n,andparepositiveintegers,mandnarerelativelyprime,andpisnotdivisiblebythesquareofanyprime.Findm+n+p.解：画出区域如右图：易得且C到AB的距离为所以旋转体的体积为，所以m+n+p=365.12.Letbeanintegeranlet.FindthesmallestvalueofmsuchthatforeverypartitionofSintotwosubsets,atleastoneofthesubsetscontainsintegersa,b,andc(notnecessarilydistinct)suchthatab=c.Note:apartitionofSisapairofsetsA,Bsuchthat.解：m=120.设，所以.下证m=12符合条件.证明：设设S集合的一个划分为A,B,若不存在，则各必有一个元素属于A,也必有一个元素属于B.考察，不妨设，则对于，，于是矛盾.故m=12符合条件.13.RectangleABCDandasemicirclewithdiameterarecoplanarandhavenonoverlappinginteriors.LetRdenotetheregionenclosedbythesemicircleandtherectangle.LinedividesregionRintoregionswithareasintheratio1:2.SuppposethatAU=84,AN=126,andUB=168.ThenDAcanberepresentedas,wheremandnarepositiveintegersandnisnotdivisiblebythesquareofanyprime.Findm+n.解：因为AU=84,AN=126,UB=168,所以AO=126,所以为等边三角形，易得，所以化简得：，所以m+n=69.14.Foreachpositionintegern,let.Findthelargestvalueofnforwhich.Note:[x]isthegreatestintegerlessthanorequaltox.解：直接突破困难，令n=100,容易计算得到f(100)=292.由计算易知，所以，所以n=109.15.InwithAB=12,BC=13,andAC=15,letMbeapointonsuchthattheincirclesofandhaveequalradii.Letpandqbepositiverelativelyprimeintegerssuchthat.Findp+q.解：由内切圆性质易得如下等式所以于是（1）在中，容易算得，另一方面：在中，（2）联立（1）（2）化简得：，即，但由（1）得，所以，于是，所以.推广：对于任意的三角形，，我们有如下结论：此时解：类似于上述做法，可得所以于是（1）在中，，另一方面：在中，所以（2）联立（1）（2）化简得：同理：以上两式相加，结合得，于是可得：，但由（1）知，所以，经计算同理容易计算.