第一课时.1.复习二次函数的定义练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。(1)a≠0.(2)最高次数为2.(3)代数式一定是整式2定义要点：.1.函数（其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，（1）它是二次函数；（2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；.（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？3.当m=______时,函数y=(m-1)χ-2χ+1是二次函数？.例1：二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是________对称轴是_________。画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y轴的交点④确定与x轴的交点⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点⑥连线(0,-6)(-2,0)(3,0)(1,-6)怎样画二次函数的图象.(0,-6)(-2,0)(3,0)(1,-6)增减性:当时,y随x的增大而减小当时,y随x的增大而增大最值:当时,y有最值,是小函数值y的正负性:当时,y>0当时,y=0当时,y<0x<-2或x>3x=-2或x=3-2
0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.(0,c)(0,c).2、二次函数 图象的顶点坐标和对称轴方程为（ ）A、（1，-2），x＝1 B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-1DA1、抛物线 的对称轴及顶点坐标分别是（ ）A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４）C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）.例1.函数的开口方向________，顶点是_______________,对称轴是__________,当x 时,y随x的增大而减小。当x 时,y有最 为.向上＜－１＝－１小数形结合研究图象性质.巩固练习:1、填空：（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。x=-2(-2，-1)0.巩固练习:1、填空：（4）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________（5）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________（6）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（0，0）（2，0）x<12(7)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.16.2.选择抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.A直线x=1B直线x=-1C直线x=2D直线x=-2(2)抛物线y=3x2-1的________________A开口向上,有最高点B开口向上,有最低点C开口向下,有最高点D开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是_______A直线x=2B直线x=4C直线x=3D直线x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是_______A直线x=3B直线x=4C直线x=-3D直线x=2cBCA巩固练习:.例2.已知抛物线y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______； (3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m______.=1＞1=2=0数形结合研究图象性质例3.不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是_____________a>0,b²-4ac<0.例4、求抛物线 ①与y轴的交点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③x取何值时，y＞0?-316(-1,8)-1数形结合研究图象性质.例5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.小结:一般地,抛物线y=ax2与y=±a(x-h)2+k形状相同,位置不同。数形结合研究图象性质.教材P101页牛刀小试第1、2、3题课后作业教材P100页实战运用第1题.第二课时.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥03.二次函数与一元二次方程的关系.与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0与x轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac=0与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根.基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC.例(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有_____个交点.11(2)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿_______＿＿＿.（-2、0）（5/3、0）应用新知.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)小结（2）抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2韦达定理:X1+X2=-b/aX1X2=c/a.2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)4.求抛物线解析式的三种方法.一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？例题精讲4.求抛物线解析式的三种方法.例题精讲解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)2-3由条件得：例2.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k4.求抛物线解析式的三种方法.解：设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）由条件得：例3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1一般式：y=ax2+bx+c两根式：y=a(x-x1)(x-x2)顶点式：y=a(x-h)2+k例题精讲4.求抛物线解析式的三种方法.练习1根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。.1、选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。能力训练（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。.课 堂 小 结求二次函数解析式的一般方法： 已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式 已知图象的顶点坐标、对称轴和最值，通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择两根式确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数
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达式，.教材P101页牛刀小试第4题课后作业教材P100页实战运用第3题教材P116页第16题1、一个二次函数，当自变量x=-3时，函数值y=2；当自变量x=-1时，函数值y=-1；当自变量x=1时，函数值y=3，求这个二次函数的解析式？2、已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是 、 ，与Y轴交点的纵坐标是-3，求这个抛物线的解析式？教材P114页牛刀小试第2、4、5题.第三课时.5.a，b，c，△符号的确定a决定开口方向：a＞０时开口向上， a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴 c＝０时抛物线过原点 c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点 △＝０时抛物线与x轴有一个交点△＜０时抛物线与x轴没有交点(上正、下负）(左同、右异)(上正、下负)△=b2-4ac aa,bc△.１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c、△的符号为（ ）A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0BACooo练习：熟练掌握a，b，c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)·c.4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a0,b0,c0.<=<5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足的条件是：a0,b0,c0.>=6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）四>练习：.-2例1：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1）、当x=1时，2）、当x=-1时，3）、当x=2时，4）、当x=-2时，y=y=y=y=6）、2a+b0. o1-12＞０＜０＞０＜０＞5）、b²-4ac0. ＞a+b+ca-b+c4a+2b+c4a-2b+c.例2：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤开口方向:向上a>0;向下a<0对称轴:在y轴右侧a、b异号;在y轴左侧a、b同号与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。能力训练.例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为5.根据函数性质判定函数图象之间的位置关系答案:B.1、如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）能力训练D.2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（ ）C能力训练.y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移6.抛物线的平移法则结论:左加右减，上加下减(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)各种顶点式的二次函数的关系如下:.巩固练习:⑴二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。⑵二次函数y=2x2的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。下3右3左1上2.例2:若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2)新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线答案:y=-x2+6x-5应用新知例1:将向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是____________.1.将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位,再向右平移3个单位,所得的抛物线的表达式为 ，2.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,则b=，c=,-815注意：顶点式中，上＋下－，左＋右－.巩固练习:（1）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+6.归纳小结：（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用;注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函数值y的取值范围结论:左加右减，上加下减(3)各种顶点式的二次函数的关系;.教材P103页实战运用第1、2题课后作业教材P100页实战运用第4题.第四课时.题型分析:(一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积例1:填空：(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________．(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3).例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。(1)证明:∵△=22-4×(-8)=36>0∴该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:∵抛物线与x轴相交时x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)∴S△ABC=27(一)抛物线与x轴、y轴的交点所构成的面积.例3、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x(二)根据函数性质求函数解析式.例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？(三)二次函数综合应用.例5：已知二次函数y=—x2+x-—（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？.解:.解0xy(3).解0•M(-1,-2)••C(0,-–)••A(-3,0)B(1,0)32yxD.解解0xx=-1••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32:(5)•(-1,-2)当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2当x≤-1时，y随x的增大而减小;.解:0•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)32yx由图象可知(6).3、解答题：已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。巩固练习:.1、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c思考：求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛物线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式小结:(四)关于直线对称的两抛物线关系.抛物线关于x轴对称的抛物线解析式是解题思路:①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k②写出顶点(h,k)③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k关于x轴对称:关于y轴对称:①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k②写出顶点(h,k)③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k.教材P103页实践运用第3、4、5题课后作业教材P100页实战运用第2题.
浙公网安备 33021202002483