系列导体平行板静电平衡问题的讨论

1系列导体平行板静电平衡问题的讨论黄存可，赵凤吹，王祥高，郭进†(广西大学物理科学与工程技术学院，广西南宁，530004)摘要：本文基于物理意义的挖掘，并运用等效原理和叠加原理，对系列平行导体板的静电平衡问题进行较为系统的研究.作者认为该类型问题可以按边界条件的不同进行区域划分，每个区域都可以归纳为几种基本类型中的一种，每种基本类型的求解过程都非常规范且简单.另外，还可以用整体法把多个导体板的问题转化为2个板的简单情况.关键词：边界条件；物理意义；等效原理；叠加原理；整体法静电平衡问题是静电场中的重要问题，平行导体板系列和球形导体系列是静电平衡问题中出现频率最高的两种典型问题.下面作者结合自身教学实践，谈谈系列导体板的静电平衡问题.导体板接地后起静电屏蔽作用，其一侧的带电导体板无法影响另外一侧导体板的电荷分布，即接地板可以视为一种边界.另外，无穷远也是一种边界.收稿日期：2013-02-28基金项目：广西高校精品课程《大学物理》建设项目（桂教高教〔2010〕100号）；广西高等教育教学改革工程项目(2012JGB107)。作者简介：黄存可(1975-)，男，广西南宁人，博士，从事大学物理教学和功能材料研究。2于是可将系列导体板问题按边界性质分为3大类：1）两边都是无限远边界；2）两边分别是接地和无限远边界；3）两边都是接地边界.下面分别进行分类讨论.1两边都是无限远边界情况我们从一个最简单的常见例题[1]说起：已知：导体板A带电量QA，B板带QB，面积都为S（图1），不考虑边缘效应.求：A、B板上各面的电荷密度.图1两个非接地导体板图2两相邻非接地板间的电场分布及高斯面解：静电平衡的基本方程有两种，一是静电平衡方程，二是电荷守恒方程.设4个面的电荷密度和所激发的电场如图1所示.导体板A处于静电平衡时，其内部的任意点P的电场为零.取电场向右为正，则有：(1)0222204030201类似的，对导体板B，有：(2)0222204030201由A、B板电荷守恒，分别有：3(3)A21QSS(4)B43QSS解方程(1)-(4)得：(5)SQQ2-BA32(5)式中，计算某面的电荷量时，该面的电荷取正.(6)SQQ2BA41知道面电荷量情况（或面电荷密度）后，电场分布、电势差等其他电学量都可以陆续求出.我们知道，每个导体板有2个面，对n个板则有2n个变量.每个板可列1个静电平衡和1个电荷守恒方程，共可列2n个方程.虽可通过这2n阶的方程组解答出所有的面电荷密度，但可想象，求高于6阶方程组的解已不容易.但如能对解答的数学形式赋予物理意义，无疑为问题的拓展带来帮助.从(5)(6)式所示解答的数学形式似乎包含这么一个规律：相邻板间的电量相反，最外2个面的电量相等.如果这是一个规律，则可以减少一半的未知量，使得求解方程的数量大大减少.4图3用等效法求最外侧2个面分布电量的图示取高斯面如图(2)[1].由于电场方向垂直板面，因此高斯面侧面的电通量为零；又因板内电场为零，故高斯面底面的电通量也为零.因此高斯面内的电荷代数和为零——这就是解答(5)的物理解释.再讨论最外侧2个面电量相等的问题.由于没有边缘效应，对应的32和电场只分布在两板之间.A和B外侧的电荷不受该电场作用，因而在它们的电荷分布与AB间电场无关.又因2和3面的总电量为零，因此，在讨论A和B外侧电荷分布时，可以把A板和B板间的部分去掉.即在仅讨论该外部电荷这个问题时，可等效为一个实心的、总电量为QA+QB的厚导体板(图3).显然，两最外侧的电荷要对称分布——这可以作为解答(6)的物理解释.如果是多个导体板，则在讨论最外侧的两个面对电量分布时，也可以做类似等效处理，其结果也是：最外侧2个面电量相等，电性相同.经过以上物理意义的探索，(5)(6)式两个数学解答可推广为有用的推论.并由此直接得到n个定解方程（n-1个相邻板间表面电量关系，1个最外表面间电量关系方程），这使得方程组的阶数减半.然而，n个导体板对应的n阶方程的求解还是复杂的，故还需进一步探讨.我们知道，分布在各平板的面电荷量受2种情况影响：1)平板自身的带电情况；2)其他平板的带电情况.电场满足叠加定理，而电场与面电荷密度成正比，5因此导体板的分布面电荷也满足叠加定理.即某个面的分布电荷量是这些影响因素分别单独存在时的线性叠加.显然，单个板带电的情况是可简单求解的，线性叠加的规律也是简单的.因此，我们可以退为进，用叠加原理求解.设有多个左右水平排列的n个非接地平行板导体，任意第i个板带电为Qi.对所有导体板，仅自身带电时，其电荷对称分布到自身的两个表面，故每个面的电量都是Qi/2.假设只有第i板带电而其他为中性，则分布在第i导体板每个面的电荷都会向外垂直激发电场，这使其他中性导体板产生静电感应.由于第i导体板的施感，其他中性导体板中靠近第i导体板一侧分布的感应电荷量为-Qi/2，而远离一侧的面感应电荷量为Qi/2.总体上说，对某个面而言，除了自身电荷外，还有其他n-1个导体板施感而导致该面感应的分布电荷.其中：与其同侧的任一导体板j使该面带的感应电荷量为-Qi/2；而异侧的任一板k导致该面带的感应电荷量为Qk/2.对第j块板的左侧而言，其近端左侧有j-1个板；其远端右侧有n-j个板.第j板左侧面（序号为2j-1，或用下标jL表示）的总电荷量，为各板单独带电情况的线性叠加，即：或：(7)nj1-j11-2j22iiiiQQQnj1-j1jL22iiiiQQQ对第j板右侧面（序号为2j，或用下标jR表示），靠近其的有右侧n-j个板，远离的有其左侧的j-1个板.类似的可以求出总分布电荷量为：6或：(8)n1jj12j2-2iiiiQQn1jj1jR2-2iiiiQQ其中的符号规律是：自身贡献取正；近端(或同侧)板贡献取负；远端（或异侧）板贡献取正.到这里，我们看到，在了解物理意义的情况下，其实可以直接写出n个导体板的2n阶方程组的解答.用数学语言说，如果理解解答物理意义后就可以直接把表示2n阶方程组的2n阶矩阵对角化.此时我们只需简单的代数运算就可得到解答，而不需要复杂的矩阵对角化运算.我们可以看到，对物理问题的计算机解答而言，很多情况下物理意义明晰的算法，往往比只注重数学计算方法优化的算法（如矩阵对角化优化算法）还更高效.这里，我们完全可以基于此写出高效的程序语言（如mathlab）来求解系列平行板导体的问题.如任意第j板电量为零，由(7)(8)式可知，其他板的电荷分布不受其影响.由此我们可以得到一个有用推论：中性导体平板不影响其他平行导体板的面电量分布情况.以上方法只能对板电量固定的情况适用.对接地板而言，其电量不是确定的，因而不能直接使用(7)(8)式求解.下面探讨存在接地板情况的简便解法.2一端接地另外一端是无限远的情况又可以分为两种情况：一是接地板在外侧；二是接地板不在最外侧.2.1接地板在最外侧7先以最简单的2个板情况为例：图4.接地导体板在最外侧的情况图4中B为接地板，其外侧是无限远.由于与无限远等势，B接地板和无限远间无电势差，故它们间无电场线——因此接地板B靠无限远的面电荷为零.容易知道，A板外侧的电量也为零.反之，如果A板左侧带电，由于左侧电场线的存在会使A板相对无限远的电势为无限大，而A板对右侧接地板B的电势则为有限大——两者矛盾！故Q1=Q4=0，Q2=QA，Q3=-QA.我们可从物理意义进行解释：接地或无限远都是零电势，而指向接地板时的电势梯度更大，此时系统的电场能也更小，因此A板所有电场线都向其指接地板B，最终使得接地板B带电为A板总电量的相反值.当有多块导体平板时，可以用叠加原理求解：依次计算仅某非接地板带电而其他非接地板为中性的情况，然后进行叠加.由于中性薄板不影响其他板的电荷分布，易知每次都是接地板外侧电量为零，而内侧电量等于某带电非接地板电量的相反值.因此，当存在多个带电接地板情况下，接地板内侧的电量为：.1-1-niiQ8另外，当系统到达平衡后，把接地线去掉，系统的电学状态不会发生变化.因此，可把序号为n的边界接地导体板，可等效为带电量为的非接地板.1-1-niiQ此时可转化为各板电荷固定的情况——可以用前面的两端是无限远边界的解法求解.这样处理的一个好处是，如用计算机编程求解的话，可以调用统一的子程序.2.2接地板不在最外侧由于静电屏蔽，非外侧接地导体板将体系在接地板处划分为两个独立的部分（图5），两个独立部分都是2.1节所示情况，可以分别用2.1节所述情况求解.但要注意：不能将接地板j等效为一个电量为其左侧j-1个板，和右侧n-j个板上电量代数和的负值，因为这样处理相当于接地板的两侧互有影响，这与静电屏蔽的实质不符合.图5接地板不在最外侧情况(a)，可等价为2个接地板在最外侧的情况(b).如果写计算机程序求解，可以分别求2个互相屏蔽掉导体板系列对应的9矩阵，还可把求解好的2个子矩阵重新组合为一个大的分块矩阵.通过这一节，还可以得到一个推论：只要有接地板存在，最外侧两个面的电量都为零（不管接地板有多少个，也不管接地板是否在最外侧）.3两边都接地情况图6中，最左的第1板和最右的第n板接地.假设第1和第n板中只有1个板（为不失一般性，称之为第i板），其带电为Qi，其左侧电量为QiL，右侧为QiR.图6.两边都是接地边界的情况第i板分别相对第1板和第n板的电势相等：(9)iniUU1即：(10)ininiidEdE11可解得[2]第i板左侧的电量为：(11)iiniiniQdddQ11右侧电量为：10(12)iiniiiRQdddQ11接地的第1板右侧和第n板左侧电量，则分别取为第2板左侧，和第n-1板右侧电量的相反值即可.如果再在两接地板间插入无厚度一个中性导体薄板j（图6虚线部分）.由于中性板j不改变原第i板相对两接地板的距离，也不改变原来的电场分布，因此中性导体薄板j不影响其插入前的面电荷分布情况.因此，依然可以用叠加原理对两边都是接地边界的情况进行求解.当两个接地板中有多个带电非接地薄板时，某非接地板某侧的电量，等于分别只有1个带电非接地板情况下，所求面上分布电量的线性叠加：(13)iiniinniiLQdddQ112(14)iiniiniiRQdddQ1112如果是有厚度的非接地板，则把所有非接地板的厚度扣除即可.此时，第i板到其右侧接地的第n板距离为：第i板右侧到第n板左侧的距离，减去它们间所有板的总厚度.其他的以此类推.需要说明，与其他两种情况不同，在两边有接地导体板情况下，有厚度的中性导体板，会改变其他面的电荷分布情况；但用等效法处理后（折算为薄板——改变距离的定义），解答的数学形式不变.有了以上典型情况的讨论后，更复杂的情况都可以先按照接地和无限远11的边界条件进行区域划分，每个区域总属于3个大类（∞∞,∞地，地地）中的一种，然后对每个区域分别处理.如果用统一的矩阵表示，被接地导体划分为多个基本区域的情况，就对应于多个分块矩阵.4系列平行板导体问题的整体法求解虽然以上方法是较规范的求解方法，可直接写出所有通解.但也可以用整体法直接求解某个面的面电荷量.这里整体法也是一种等效方法，其思路是将部分连续的板视为一个整体.我们以图7情况为例进行说明.图7中，当只需讨论第i板中右侧面的分布电荷量QiR时，可将第i板与其左侧的所有板视为一个整体，第i板右侧的所有板视为一个整体.左侧整体的总电量为：；右侧整体的总电量为：.此时相当于2个j1QQij左总j1QQnij右总板的情况，很容易套用(5)式解得：(15)2-右总左总QQQiR通过整体法，可以把多个导体板的复杂情况，转化为只有2个板的简单情况.这里特别指出：用整体法时，不要跨过接地边界.图7应用整体法的示意图125结束语教学实践证明，学生可通过简单练习就掌握以上方法；掌握以上方法后，学生可以游刃有余的处理系列平行板导体的静电平衡问题；而且基于以上讨论也易用计算机语言写出规范而高效的计算程序.对于物理的学习，很多学生是“一看就懂，一做就错”.我认为，很多学生只是做一些零散的习题，只注重得到数学的形式解答而不注重解答的物理意义挖掘，也不注重对典型的习题进行拓展而形成典型的物理类型题知识.毕竟，有序的结构化知识，才是容易记忆和使用的.另外，要注意物理基本原理在解题中的合理运用.本文中，静电屏蔽原理，等效原理，叠加原理对平行板静电平衡类型题的拓展和解法规范起到了非常重要的作用.参考文献[1]郭进，刘奕新，冯禄燕，等，[M]大学物理（下册），科学出版社，2009.[2]马文蔚，[M]物理学(中册)，第2版，高等教育出版社，2002.DiscussionsonelectrostaticequilibriumproblemofseriesparallelconductorplatesHUANGCun-ke,ZHAOFeng-chui,WANGXiang-gao,GUOJin13(CollegeofPhysicsScienceandTechnology,GuangxiUniversity,Nanning,Guangxi,530004)Abstract:Principleofequivalenceandsuperpositionprinciplewereadoptedatdiscussionsonelectrostaticequilibriumproblemofseriesparallelconductorplates.Atthesametime,physicalmeaningsaboutthemathematicresultswerealsostudied.Wepointedoutthatplatescanbedividedintosomeclassicandbasicpartitionsaccordingtoboundarycondition;eachpartitioncanbesolvedveryeasily.Meanwile,thistypeofproblemcanbetransformtoverysimplesituationthatonlycontaintwoplatesbyusingintegralmethod.Keywords:Boundarycondition；Physicalmeaning；Principleofequivalence；Superpositionprinciple;Integralmethod