会计学1ch求导的基本法则实用2008年11月3日2(定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题1函数的求导法则、初等函数的求导问题第1页/共68页2008年11月3日3定理2.1的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且(C为常数)和、差、积、商的求导法则第2页/共68页2008年11月3日4此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,第3页/共68页2008年11月3日5(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)第4页/共68页2008年11月3日6(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)第5页/共68页2008年11月3日7例1求证证类似可证:第6页/共68页2008年11月3日8反函数求导法则定理2.3第7页/共68页2008年11月3日9证在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此第8页/共68页2008年11月3日10例2求反三角函数及指数函数的导数.解1)设则类似可求得利用,则第9页/共68页2008年11月3日112)设则特别当时,小结第10页/共68页2008年11月3日12复合函数的链式法则链式法则关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.第11页/共68页2008年11月3日13证在点u可导,故（当时)故有第12页/共68页2008年11月3日14例3解例4解第13页/共68页2008年11月3日15例5求下列导数:解(1)(2)说明:类似可得第14页/共68页例6设解记则(反双曲正弦)的反函数第15页/共68页2008年11月3日17初等函数的求导问题由前面得到的基本初等函数的求导公式以及运算法则，可以得到全体初等函数的导数见课本102页四则运算复合函数反函数第16页/共68页2008年11月3日18基本导数公式（基本初等函数的导数公式）第17页/共68页2008年11月3日19幂指函数的导数第18页/共68页2008年11月3日20例7求下列导数:解(1)第19页/共68页2008年11月3日21EX求下列函数的导数6.设其中可导,求第20页/共68页2008年11月3日221.解:解:第21页/共68页2008年11月3日23解:第22页/共68页2008年11月3日24解:关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导第23页/共68页5.解:第24页/共68页2008年11月3日266.设解:其中可导,求第25页/共68页2008年11月3日27定义若函数的导数可导,或即或的二阶导数,记作的导数为则称2高阶导数1、高阶导数的概念第26页/共68页2008年11月3日28类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或依次类推,分别记作第27页/共68页2008年11月3日29设求解依次类推,例1思考设问可得直接法--由高阶导数的定义逐步求高阶导数.第28页/共68页2008年11月3日30例2设求解特别有:解规定0!=1思考例3设求第29页/共68页2008年11月3日31注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,
分析
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结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得第30页/共68页2008年11月3日32例5解第31页/共68页2008年11月3日33莱布尼兹（Leibniz）公式2、高阶导数的运算法则第32页/共68页2008年11月3日34用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.第33页/共68页2008年11月3日35例6解第34页/共68页2008年11月3日36例7.设求解即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得第35页/共68页2008年11月3日37常用高阶导数公式间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.第36页/共68页2008年11月3日38例8解第37页/共68页2008年11月3日39例9解降幂第38页/共68页2008年11月3日40(1)直接法——逐阶求导法利用归纳法(2)间接法——利用已知的高阶导数公式(3)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法第39页/共68页2008年11月3日411.如何求下列函数的n阶导数?解解练习第40页/共68页2008年11月3日42练习第41页/共68页2008年11月3日43证明第42页/共68页2008年11月3日44解第43页/共68页2008年11月3日453.隐函数求导法则定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第44页/共68页2008年11月3日46例1解解得第45页/共68页2008年11月3日47由方程确定,解方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①例2设第46页/共68页2008年11月3日48解例3第47页/共68页2008年11月3日49EX.解所求切线方程为显然通过原点.第48页/共68页2008年11月3日50多个函数乘积的导数——对数求导法对数求导法的步骤:1.两端取绝对值之后,再取自然对数.2.等式两端分别对自变量求导.第49页/共68页2008年11月3日51例4先对函数取对数,得解再对上式两边分别求对数,得第50页/共68页2008年11月3日52整理后得到第51页/共68页2008年11月3日53例5解等式两边取对数得第52页/共68页2008年11月3日544.由参数方程所确定的函数的导数第53页/共68页2008年11月3日55例如消去参数第54页/共68页2008年11月3日56由复合函数及反函数的求导法则得第55页/共68页2008年11月3日57第56页/共68页2008年11月3日58例6已知注意:解第57页/共68页2008年11月3日59EX.解第58页/共68页2008年11月3日60例7设由方程确定函数求解方程组两边对t求导,得故第59页/共68页2008年11月3日61例8第60页/共68页2008年11月3日62解第61页/共68页2008年11月3日63第62页/共68页2008年11月3日64相关变化率问题第63页/共68页2008年11月3日652.方程F(x,y)=0两边对t求导,得到与的关系式.相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?解决这类问题的一般途径是:1.先建立x,y之间的函数关系F(x,y)=0;第64页/共68页2008年11月3日66例1解t时刻第65页/共68页2008年11月3日67例2解仰角增加率隐藏第66页/共68页2008年11月3日68小结相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第67页/共68页
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