第一章复数与复变函数§1.1习题nn2．设z12,zz,...,n是任意n个复数，证明：|ååzzkk|£||，并给出不等式中等号成立kk==11的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是z12,zz,...,n线性相关）.13．证明：(Rez+Imz)£z£+RezzIm.2证明：设z=+aib，则Reza=，Imzb=，||z=+ab22.由题2知，z£a+bi=+ab2222a+ba+2ab++baba2++b2ab22故()22==+abz£+=||，222221即有(Rez+Imz)£z£+RezzIm.224．若zz12=>ll||,0，证明：z1-llz2=-||zz12.222证明：不妨设z2z1¹=0.lzz212222则z2z1-llz2=z1z2-z2=z1z2-z1=-z1zz122即有z1-llz2=-||zz12成立.za-5．设|a|<1，证明：若|z|=1，则=1.1-az证明：由z=1得zz=1故z-a=z-azz=z11-az=-az即证之.za-6．设|a|<1，|z|<1.证明：<1.1-azPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnza-证明：提示：（<1Û|z|2-2Reaz+|a|2<1-+2Reaz|az|22||;1-az而1-|az|2-||2+|a|2|z|2=(1-|az|22)(1->||)0;）7．设z12,zz,...,n，w12,ww,...,n是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：222nnn2并由此推出Cauchy不等式：åzjwj=(åzj)(ååwj),--zzjkwwkjj=1j=1j=11£j<£kn2nænn22öæözzww=.åjjçååjj÷ç÷j=1èjj==11øèøæözwç÷11æöz12zz...næöz12zz...nç÷zw证明：提示（记A=ç÷，detç÷22=³det(AA')0，www...www...ç÷......èø12nèø12nç÷ç÷wèøznnzzæö2æöjkzjjw2detç÷detç÷=-||zzww，则原式=zzwwkj-³0.(1)ç÷wwç÷jkkjåjkèøjkèøzkkw1£jkn<£æözwæönn2ç÷11ç÷ååzzjjwjæöz12zz...nç÷zwç÷jj==11另外，det22=detç÷ç÷2www.........ç÷nnèø12nç÷ç÷ç÷wç÷ååzjwjwjèøznnèøjj==112n22nn=()()0-³.（2）åzzjjååwwjjj=1jj==11由（1）=（2）可得证.§1.2习题1．把复数zi=1++cosqqsin写成三角形式.111111iq-iqiqiqiiqqq解：z=1+eiq=e2(e2+e2)==e22Reee22(2cos).22．问取何值时有(1+ii)nn=-(1).1+i解：提示（=i,i4k=Î1,kN）1-iPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnq1q1nsin++sin()nqncos-+cos()nq3．证明：cos,kq=22sin,kq=22åqåqk=02sink=02sin22n+1in(+1)qsininqn1-eqnn证明：由于eeikq==22，则即可得coskeq=Reikq，åiqqååk=01-esinkk==002nnååsinkq=imeikq.kk==00z11w14．证明：Dz1zz23和Dw1ww23同向相似的充分必要条件为z22w1=0.z33w1证明：提示（Dz1zz23和Dz1zz23同向相似Û$Îa,bC，使得wkk=az+=bk(1,2,3)æw1öæz1öæ11öæwz11öæöæözw111ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷Ûw=az+Ûb1wz,,1线性相关Û=detzw10.）ç2÷ç2÷ç÷ç22÷ç÷ç÷22ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èw3øèz3øè11øèwz33øèøèøzw3315．设zz12¹，证明：z位于以z1和z2为端点的开线段上，当且仅当存在lÎ(0,1)，使得z=llzz12+-(1)；证明：z位于以z1和z2为端点的开线段上zzÛ$k>0,z-z=-k()zzÛ$kz>0,=+212111++kkkÛ$lÎ(0,1),z=lzz+(1+=ll),().121+kp6．图1.5是三个边长为1的正方形，证明：ÐAOD+ÐBOD+Ð=COD.2EABCOD®®®解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设OA=z1,,OB==z23OCz则z1=1+i,z23=2+i,3zi=+，从而arg(z1z23z)=arg(1+i)(2+i)(3+=ii)arg(10).PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnpp因为i是单位向量，它的辐角为，即ÐAOD+ÐBOD+Ð=COD.22222210．证明：z1+z2+z1-z2=+2(zz12||),并说明等式的几何意义.222222证明：|z1+z2|+|z1-z2|=|z1|+2Rez1z2+|z2|+|z1|-+2Rez1zz22||22=+2(|zz12|||)几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设zz1,...,n是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n个点，如果zz1,...,n是n正n边形的n个顶点，证明：=0.åzkk=1证明：记w=z12+z+...+ÎzCn，设该正n边形的一个圆心角为q，0<
ad0时，L是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.2证明：（i）令lb=d2，则d=2lbb，故原方程为b(zz+lb)+b(+=lb)0，即Reb(z+=lb)0，即z+lb与b垂直，从而轨迹是一条通过点-lb，与b垂直的直线.2（ii）记lb2=->ad0，则ad=-bbl2，2原式Ûa2zz+abz+abz+ad=0Û(az+b)()az+b=l22Ûaz+=bl即证之.§1.3习题11.证明：在复数的球面表示下，z和的球面像关于复平面对称.zPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn2z+-zzzz-1证明：设其球面对应的坐标为z=+xiyx1=2,,xx23==22.1+zi(1++zz)11而球面像对应的坐标为z11+zzz++zzzxx11'==22==,112+z1+1+zz11-zzz--zzzxx22'=2===,122iz(1)+i(1)+iz(1)+z212-12z1-z1-zxx33'====-,11222+z+11+zz1从而有x'=x,,x''=xxx=-，故z和的球面像关于复平面对称.112233z2.证明：在复数的球面表示下，z和w的球面像是直径对点当且仅当zw=-1.11证明：Ü设z=+xiy，由zw=-1得ww=-,=-，zz2z+-zzzz-1由于对应的球面像为，zx1=2,,xx23==221+zi(1++zz)1w对应的球面像为x1',xx23','，计算可得：x1'=-x1,x2'=-x2,'xx33=-，故z和w的球面像是直径对点.Þ由球面表示的几何意义知，z,w位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而z,w必与原点共线，则zw=->ll,0，由xx33='，易知l=1.3.证明：在复数的球面表示下,C¥中的点z和w的球面像间的距离为2z-w.22(zw++11)()证明：设z和w的球面像的坐标为(x1,,xx23)和(x1',xx23',')，PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn222则(x1-x1')+(x2-x2')+(x3-x3')=2-2(x1x1'++x2x2''xx33)，(z+z)(w+w)-(z-zz)(w+ww)+(22-+11)()xx'++xx''xx112233=2(11++z2)(w)222(1+zz)(12+ww)--=2(11++z2)(w)故222d(z,w)=(x1-x1')+(x2-x2'')+-(xx33)2z-w=2-2(x1x1'+x2x2''+=xx33)2(11++z2)(w)æöabazb+4.证明：在复数的球面表示下，若是二阶酉方阵，则的变换w=诱导ç÷C¥èøcdczd+了球面绕球心的一个旋转.证明：先证2zw-æöaz++bawb"z,wÎ=c,,d(zw)，一定有dç÷,,=d(zw).22cz++dcwd(11++zw)()èø2az++bawb2æöab--(zw)detç÷cz++dcwdèøcd而，=2222æaz++b22öæöawbaz+b+cz+daw+b++cwdç++11÷ç÷()()ç÷ç÷ècz++døèøcwdæöab由ç÷是二阶酉方阵知，èøcdæabö22æöacæaböæzzöæödet=1,az+b+cz+d=z1=zz1=+||21,ç÷()ç÷ç÷ç÷()ç÷ècdøèøbdècdøè11øèø22类似的有aw+b+cw+dw=+||21,故22(ad--bc)(zw)zw-原式=，2=22(z2+1)(w+1)(zz++11)()PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnæöaz++bawb故dç÷,,=d(zw)成立，从而诱导变换是一个等距.èøcz++dcwdæöab又等距变换的行列式是ç÷的连续函数且只取±1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，èøcd从而行列式为常数.æöabæö10取ç÷=ç÷，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距èøcdèø01变换为旋转.§1.4习题1.设z0Ï(-¥,0]，zn¹0，"ÎnN.证明：复数列{zn}收敛到z0的充要条件是limzzn=0和limargzzn=arg0.n®¥n®¥证明：因为z00Ï(-¥,0],$d>0,s.tz.p-d>arg>-+pd，由不等式|z-z0|£|znn|-|z0|+-|z00|argzzarg即得充分性argzz-arg由不等式|z-z|³-|zz|||及|z-z|+|z|-³|zz|2||sinn000n0n002ddargzz-arg并注意-pp+È0\}ç÷，={zÎC:z=k+iyy,01££}；èøk=-¥FkFk解：开集；ìü1(iv)G=B(0,1)\íý:k为自然数;îþk+1解：非开，非闭，非紧；(v)C\B(¥，R);PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn解：紧集.8.设D是开集，FDÌ是非空紧集，证明：（i）d(FD,¶>)0;n(ii)对任意0<d(FD,)¶-，即d(ÈB(zk,d),¶D)=infd(zd,¶D)³d(FD,)¶-k=1§1.6习题1.满足下列条件的点z所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？（i）Rez=1;实部是1的直线，不是域(ii)Im5z<-;虚部小于-5的开平面，单连通域(iii)z-i+zi+=5;椭圆曲线不是域(iv)z-ii£-2;闭圆盘单连通域p(v)arg(z-=1;)6半射线不是域1(vi)zz<>1,Im;2开弓形单连通域z-1(vii)£2;z+1圆盘外无界闭区域zi-p(viii)0<$0,d>0，对D上任意的zz1,2，只要zz12-<2,d有f(zz12-<)e.因此"z1,z20ÎÇDBz(,)d，有f(zz12-<)e，由Cauchy收敛原理，极限存在.PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn第二章全纯函数§2.1习题1.研究下列函数的可微性：（i）f(zz);=解：z¹0时f(z)-fz()zz-lim0=lim0不存在z®®zzz00z--z00zz这是因为当z=+x0iy时，x2+y2-x2+y2x2+y2-+xy22lim000=lim000y®®yyy00x0+iy-x0--iy00iyiy当z=+xiy0时，x2+y2-x2+y2x2+y2-+xy22xlim000=lim000=022x®®x00x+iy-x--iyxxxx0000xy00+故z¹0时，fz()不可导.f(Dz)-Dfr(0)Dz当z=0时，有===e-iqDzDDzreiq即知f()zz=在z=0也不可导.从而f()zz=处处不可导.2(ii)f(zz);=解：z¹0时22f(z)-fz()zz-lim0=lim0显然不存在.z®®zzz00z--z00zz这是因为当z=+xiy0时2222x+y0-x0-y0(x-+x00)()xxlim==lim2x0x®®xxx00x+iy0-x0--iy00xx当z=+x0iy时，PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnx2+y2-x22-y(y-+y)(yyy)2lim000==lim000y®®yyy00x0+iy-x0--iy00()yyiiz=0时可导，f¢(0)0=.（iii）f(zz)=Re;f(z)--f(z)RezzRelim00=lim显然不存在.z®®zzz00z--z00zz这是因为当z=+xiy0时，xx-lim10=.xx®0x+iy0--x00iy当z=+x0iy时，xx-lim000=yy®0x0+iy--x00iy从而f(zz)=Re处处不可导(v)fz()为常数不妨设f(zC),=显然fz'()0=故f()zC=在处处可导.fz()fz'()z'02.设f和g都在0处可微，且f(z0)=g(z00)=¹0,gz()0证明：lim=zz®'0g(z)gz()0fz()f(z)-fz()提示：lim=lim0z®®zzz00g(z)g(z)-gz()0f(z)--f(z)zzfz¢()=lim0×=00zz®0z--z0g(z)g(z00)gz¢()4．设域G和域D关于实轴对称，证明：如果fz()是D上的全纯函数，那么fz()是G上的全纯函数.f(z+z)-f(z)éùf(z+-z)fz()提示：limVV=limêú=Îf¢(z),zGVVzz®®00VzëûVzPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn§2.2习题1.设D是域,fÎH(D).如果对每个zÎD,都有fz'()0=,证明f是一常数.¶¶uv证明:因为fz'()0=,而fz'()=+i=0(定理2.2.4)¶¶xx¶u¶v¶u¶v¶u¶v¶u¶v所以=0,=0,而=,=-.故=0,=0.¶x¶x¶x¶y¶y¶x¶y¶y因此f是一个常数.3.设z=x+iy,证明f(z)=xy在z=0处满足Cauchy-Reimann方程,但f在z=0处不可微.提示:u=xy,v=0.直接算偏导.8.设D是域,fÎHD(),f在D中不取零值,22æö¶¶pp-22证明对于任意有2:p>0,ç÷22+fz()=pfz()fz'().èø¶¶xy¶¶22¶21提示:D=+=4,将fz()写成éùf(z)fz()2,¶¶xy22¶¶zzëû¶f¶f¶f¶f利用=0,=0,=f',=f',计算.¶z¶z¶z¶z11.设D是域,f:D®£\(-¥,0]是非常数的全纯函数,则logfz()和Argfz()是D上的调和函数,而fz()不是D上的调和函数.212¶提示:Dlogf(z)=D=logf(z)2log|fz()|22¶¶zz¶¶æö1f(z)fz()¶æöf(z)fz¢()=2ç÷2=2ç÷2¶zèø|fz()|¶z¶zèø|fz()|¶æöfz¢()==20ç÷¶zèøfz()fz()=e2iargfz()对z求偏导fz()PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn¶1fz'()¶2(argfz())=(argfz())=0¶z2ifz()¶¶zz2¶-124(fz())=f(z)fz'()¶¶zz如果fz()调和,则fz'()º0,从而f是常数,矛盾.12.设D,G是域,f:DG®是全纯函数,证明:若u是G上的调和函数,则ufo是D上的调和函数.证明:因为u是G上的调和函数,局部存在全纯函数g，s.t.ug=Re,则gfo局部全纯,于是局部有uoof=Re()gf，从而ufo调和.15.举例说明:存在B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部.解:u(zz)=log||是B(0,1)\{0}上的调和函数,它不是B(0,1)\{0}上全纯函数的实部.(反证)假设存在B(0,1)\{0}上的全纯函数fz(),使得Ref(zz)=log,设f(z)=+log|z|ivz(),vz()是实值函数.fz()f(z)ivz()eivz()则e=×||ze从而=e=1,"ÎzB(0,1)\{0},z.efz()由题2.(iv)可知º常数,故存在qÎs.t.ef()zi=zeqz¡iv()ziqiv(z)iz(arg)+q即||z×=ezeÞ=eeÞv(z)2=argzk++qp.由vz()的连续性可知k是常数.于是argz=v(zk)2--qp在B(0,1)\{0}连续,不可能.16.设f=+uiv,z0=+x00iy.证明:f(z)-fz()0¶u¶v(i)如果极限limRe存在,那么(xy00,)和(xy00,)存在,并且相等.zz®0zz-0¶x¶yf(z)-fz()0¶u¶v(ii)如果极限limIm存在,那么(xy00,)和(xy00,)存在,而且zz®0zz-0¶y¶xPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn¶u¶v(xy00,)=-(xy,).¶y¶x00¶uu(x,y0)-u(xy00,)证明:(i)(xy00,)=lim(z=+xiy0)z0=(xy00,)xx®()¶x0xx-0f(x,y)-f(xy,)=limRe000xx®0xx-0f(z)-fz()=limRe0zz®0zz-0¶vv(x0,y)-v(xy00,)(xy00,)=limyy®¶y0yy-0f(x0,y)-f(xy00,)=limIm(z=+x0iy)yy®0yy-0f(z)-fz()=limIm0zz®0--i(zz0)f(z)-fz()=limImi0zz®0(zz-0)f(z)-fz()=limRe0zz®0zz-0(ii)利用Imf(z)=-Re[ifz()],由(i)即得.PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn§2.3习题z-i1．求映射w=在z=-1和z=i处的转动角和伸缩率.z+i12zi-解：因为f=zi+¶fz+i-+zii2==¶z(z++i)22()zi2ifz'()==1argfz'()=arg(-1)=p1(-+1)i2121iipfz'()===argfz'()=-2(2i)2-22222．设f是域D上的全纯函数，且fz'()在D上不取零值，试证：（i）对每一个u00+ÎivfD()，曲线Ref()zu=0和曲线Imf()zv=0正交；证明：（i）uu=0和vv=0是uv平面中的正交直线.因为fz¢()0¹,故f是保角的.p从而曲线Ref()zu=和曲线Imf()zv=的夹角等于直线uu=和vv=的夹角,等于00002PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn§2.4习题1.验证eezz=证明：令z=+xiy,则z=-xiyezx=+e(cosyiysin)Þezx=-e(cosyiysin)ezx=-e(cosyiysin)所以eezz=.3.证明：若ez=1，则必有z=2kpik,=±0,1,.…证明：ez=1Ûeexz==||1,Argez=yk+=20pÛx=0,y=Î2,kkpZÛ=z2kip，kÎZ.4.设f是整函数，f(0)=1.证明：'z(i)若f(z)=f(z)对每个zκ£成立,则f(ze);'z(ii)若对每个z,wΣ,有f(z+=ww)f(zf)(),且f(0)1=,则f()zeº.证明：（i）(f(z)e-z)''=f(z)e-z-=-=f(z)e-zf(z)e--zzf(ze)0.f()zec-z=,1´1==cc,1，故f()zeºz(ii)f¢¢(z+=ww)f(zf)(),令z=0Þ=ff¢(ww)()7.设f在£\(-¥,0]中全纯，f(1)=0.证明：'-fz()（i）若f(z)=e,zΣ\(-¥º,0],则f(zz)log；'(ii)若f(zww)=+f(zf)(),zΣ\(-¥,0],wÎ¥(0,),且f(1)1=,则f(zz)ºlog.证明：（i）令F()z=-ezfz(),则F'(z)=efz()'×fz()-=10PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnÞ=F()zc(常数)令z=1,则F(1)=ef(1)0-1=ec-10==.ezfz()=ü故ýÞ=f(zz)logf(1)1=þ1(ii)提示wwf¢¢(z)=fz(),令z=1得f¢()w=.w8．证明：f(z)=z2+2z+3在B(0,1)中单叶.证明：取"z1，z2ιB(0,1,)zz12f(z12)-=fz()(z1-z2)(zz12++2)z1¹z2,z1，z2ÎB(0,1)Þf(z1)-f(z2)¹0Þ¹f(z12)fz()故f(z)在B(0,1)中单叶.12．设f在£\(-¥,0]上全纯，f(1)=>1,m0.证明：fz()m(i)若f'(zz)=m,ÎC\(-¥,0]，则f(z);ºzeizmargz(ii)若f(zww)=fzf()()，zÎC\(-¥,0],wÎ¥(0,),且f'(1),=m则mizmargf()zºzemmlogz证明：(i)要证f()z=zeizmarg，即证f()ze=mlogz¢(f(ze)0)=,及f(1)1=mlogzmmiArgzÞf(z)=e=×||ze.(ii)zf(zww)=f(zf)¢()令w=1得zf(z)=mfz()fz()即fz¢()=mz14.证明:(i)cos(z+w)=coszz×cosww-×sinsin;(ii)sin(z+w)=sinzz×cosww+×cossin;PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn证明:(i)cos(z+ww)++izsin()=eiz()+w=coszcosw-sinzsinw++i(sinzzcoswwcossin)(1)在上式中以-z，-w代入，得cos(z+ww)-+izsin()=coszcosw-sinzsinw-+i(sinzzcoswwcossin)（2）(1)+(2)得cos(z+w)=-coszzcoswwsinsin(1)(2)得sin(z+w)=+sinzzcoswwcossinìüpp19.证明:w=sinz将半条形域íýzΣ:-,Im0一一地映为上半平面.îþ22ppp证明:w=sinz=cos(-zz)=-cos()令uz=-,222则wu=cos是由指数z=eiu,(-p0,Im0),11与Rokovsky函数wp=(z+),(zÎB(0,1)\{}0,-<,Im0}一一映成上半平面.£22z20.证明B(0,1)是fz()=的单叶性域,并求出fB((0,1)).(1)-z21-zz证明12:f(z1)-f(z2)=-2()zz12[(1--zz12)(1)]给出f的单叶性11z¹0时,=+-z2由Rokovsky函数的性质易得f()zz1fB((0,1))=\(-¥-,]£421.当z按逆时针方向沿圆周{zz:=2}}旋转一圈后,计算下列函数辐角的增量:1(iii)(zz2+-23);41æöz-12(iv)ç÷.èøz+1解:114(iii)(zz2+-23)4=[(zz+3)×-(1)]-3在圆周|z|2=外,1在圆周||z=内p所以当z按逆时针方向沿圆周旋转一圈后,辐角的增量为2PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn111æöz-12éù(zz-+1)(1)12éù(iv)2ç÷=êú2=êú(zz-+1)(1)èøz+1ëû|zz++1||1|ëûz=±1均在圆周|z|2=内,所以辐角的增量为0.zp-122.设f(zp)=,0<<1.证明:f能在域D=\[0,1]上选出单值的全纯分支.(1)-zp£pzzp-11æö证明:fz()==ipppiç÷(1+-ez)1ezzèøpæöz只需考虑gz()=ç÷èøz-1设g是D中的简单闭曲线,则当z沿g逆时针绕行一周时,若g内部不含[0,1],则辐角增量为0,若[0,1]位于g内部,则辐角增量为2pppp+2(-=)0.故g从而f能在域D=£\[0,1]上选出单值的全纯分支.æöz2-123.证明:f()z=Logç÷能在域D=£\((-¥,-È1][0,1])上选出单值的全纯分支.èøzz2-1证明:将\((-¥,-È1][0,1])映入\(-¥,0]，而对数函数在\(-¥,0]上能选出z£££全纯分支.224.设单叶全纯映射f将域D一一地映为G,证明:G的面积为òòf'(z).dxdy证明:令z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)¶u¶u¶(uv,)¶x¶y¶u¶v¶¶vu变换行列式==×-׶(xy,)¶v¶v¶x¶y¶¶xy¶x¶y2¶¶uv¶¶uv=()22+()=+i¶¶xx¶¶xx2=fz'()¶(uv,)2\S==||dxdyf'()zdxdy.GòòòòDD¶(xy,)25.设f是域D上的单叶全纯映射,z=g(t),(a£t£b)是D中的光滑曲线,证明:wg=ft(())的长度为bf''(gg(t))()tdtòadw证明:=f''(gg(tt))()dt故w=ft(g())的长度为bf''(gg(t))()tdtòaPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn26.设D是z平面上去掉线段[-1,ii],[1,]和射线z=it(1£t<¥)后得到的域,证明函数Logz(1)-2能在D上分出单值的全纯分支.设f是满足f(0)=0的那个分支,试计算f(2)的值.解:取D中任一简单闭曲线g,则±1都不在g内部,从而z沿g逆时针绕行一周时,1-z2=(1-+zz)(1)辐角的增量为0,故能选出全纯分支.设f(z)=log|1-z22|+iarg(1-+zk)2p.由fk(0)=00Þ=,故f(2)=log3+iargi(-3)=+log3p.PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn§2.5习题1.试求把上半平面映为上半平面的分式线性变换,使得¥,0,1分别映为0,1,¥.-1解:w==Tz()z-1azb+2.证明:分式线性变换w=把上半平面映为上半平面的充要条件是a,b,c,d都是czd+实数,而且ad-bc>0.证明:必要性：因为线性变换把实轴映为实轴,azb+故w=中a,b,c,d都是实数；czd+ac+bd+-()adbci因为w()i=属于上半平面，故ad-bc>0.c2充分性：对z=¥0,1,,都有w()zÎR,从而w将实轴映为实轴,又Imw(i)0=ad->bc,故将上半平面映为上半平面.4.试求把单位圆盘的外部{z:z>1}映为右半平面{ww:Re0>}的分式线性变换,使得(i)1,-i,-1分别变为i,0,-i;(ii)-i,i,1分别变为i,0,-i.zi+解:(i)w==Tz()zi-zi-(ii)w==Tz()(2-i)zi+-21-1azb+æaböæabö10.设Tz()=是一个分式线性变换,如果记ç÷=ç÷,那么czd+ècdøègdøabz+Tz-1()=.gdz+证明:-1æaböæd-böæaböç÷=ç÷=ç÷ècdøè-caøèldøazb+b-+dzzabTz()=ÞczT(z)+dT()z=+azbÞTz-1()==czd+cz-+azgdabz+从而证得Tz-1()=.gdz+a1+b1a2+b211.设T1(z)=,T2(z)=是两个分式线性变换,如果记c1+d1c2+d2PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnæaböæaböæaböazb+1122那么ç÷ç÷=ç÷(T12oTz)()=.èc1d1øèc2d2øècdøczd+aaz+ab++bczbd证明12121212:(T12oTz)()=c1a2z+c1b2++d1c2zdd12æa1b1öæa2b2öæabö又Qç÷ç÷=ç÷èc1d1øèc2d2øècdøìa1a2+=b12caïa1a2z+a1b2++b1c2zbd12azb+\ía1b2+=b12dcÞ=ïc1a2z+c1b2+d1c2z++d12dczdîc1b2+=d12ddazb+从而(TTz)()=.12oczd+12.设G是过-1和1的圆周,z和w都不在圆周上.如果zw=1,那么z和w必分别于G的内部或外部.证明:由圆的对称性知G的圆心必然在虚轴上，设圆周与虚轴交个交点为zz12，.1又由平面几何知识知|zz12|×=||1,从而z2=.z111设z在G内部，则z位于走向1，z,-1的左边,因此分式线性变换T(x)=，将=Tz()映1xz为走向T(1)，T(zT1)，(-1)，即1，z2，-1的左边.1注意T()G=G，走向1，z，-1的左边即G的外部，故在G外部.2z15.求一单叶全纯映射,把除去线段[0,1+i]的第一象限映为上半平面.4提示:先作变换z1=z,再作z2=z1+4,最后作变换z3=z2可得.ìüpp16.求一单叶全纯映射,把半条形域íýz:-,Im0映为上半平面,且把îþ22pp,-,0分别映为1,-1,0.22z111提示:先作变换z1=iz,再作z2=e,z3=-iz2,z4=(z3+).2z3PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn11iz即w=()-+ie2-ieiz17.求一单叶全纯映射,把除去线段[a,a+hi]的条形域{zz:0<0,R>0使得当R³R时，有£M00Qz()P(z)P(z)2MMp因此|dz£|||z|£|dzR|=®0()®¥òòò2|z|=RQ(z)|z|==RQ(zR)||zR|z|Pz()所以lim0dz=R®¥òQz()6.设fÎCD1(),g是域D中分别以a和b为起点和终点的可求长曲线.证明：¶¶f(z)fz()òdz+dz=-f(b)fa()g¶z¶z¶（ffz)1f¶¶=（-i),dz=+dxidy¶z2¶¶xy¶（fz)1¶¶ff=（+i),dz=-dxidy¶z2¶¶xy¶f(z)¶f(z)11¶f¶f¶¶ffdz+dz=(-i)(dx+idy)+(+-i)()dxdy¶z¶z22¶x¶y¶¶xy¶¶ff=dx+=dydf¶¶xy¶¶f(z)fz()故òò{dz+dz}=df=-f(b)fa()gg¶z¶z8.设g是域D中以a为起点，以b为终点的可求长曲线，f,gÎÇH(D)CD1().证明分部积分
公式
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：f(z)g'(z)dz=-f(z)g(z)|bf（’z).dzòòaggPDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnf(z)g'(z)dz+f'(z)g(z)dz=[f'(zg)(z)+f(z)g'(z)]dz==[f(zg)(z)]'dzf(z)gz()|bòòòòagggg故f(z)g'(z)dz=-f(z)g(z)|bf'(z)g()zdzòòagg19.设g是正向可求简单曲线，证明：g内部的面积为òzdz.2ir¶z证明：由公式得òzdz=ò(-Ù）dzdz=-òdzÙdzrD¶zD=-ò(dx+idy)Ù(idx-Ùidy）=òò2dxdy=2idADDD=2iA1所以A=òzdz2ir11.设f在z0处连续，证明：2p1iq（i）limf(z00+=re)zdfq（）；r0®ò2p01fz()(ii)limdz=fz()0.r®02piòzz-|zz-=0|r01122pp证明：(i)f(z+reiiqq)dqq-f(z）£|f(z+-re)fz(）|dòò000022pp00+£sup|f(z)-f(zr0)|®®0(0)||z-=zr02p1iq所以limf(z00+=re)dqfz().r0®ò2p01fz()12p(ii)dz=+f()zrediqq22ppiòòzz-0|zz-=0|r001fz()故limdz=fz()0r0®2piòzz-||z-=zr00设在上连续，证明：12.D={zΣ:q000.ò22|z|2=aza+ez11eezzdz=-dzdzò22òò|z|=2az+a2ai2|z|==2az-+aiai|za|2zai112ip=×2ppi×eai-2i×=ea-aisin2ai2aia2.设f在{zÎ:rz<||}<¥中全纯，且limzfA(z).=证明：£z®¥òf(z)dz=2,piA这里R>r||zR=PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn证明：设r>d0,由Cauchy积分公式得òòdz=dz2ppi2|z|==rzziz||d1122pp12p即òòf(reiiqq)dq=f()dqed，令d®0，则有òf(reiq)dfq=(0)22pp002p011r2p(ii)f()zdxdy=rdrf()rqediq（1）2ò2òòpr|z|，那么f是D上的单叶函数.证明："Îz12,zD，zz12¹则z21f(z)-f(z)=f''(xx)d=f(z+t(z--z))()zzdt21òòz01212111f(z21)-fz()'则=f(z1+-t(z21z))dtò0zz21-1f(z21)-fz()'从而³Ref(z1+t(z21->z))0dtò0{}zz21-故f(z12)¹fz()，这表明f是D上的单叶函数.§3.4习题1．计算下列积分：sinz（1）dzò2|z|1=z-1PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnsinz1sinzzæösin解：dz=×dz==2ppiisin1òò2ç÷|zz|=1z-1|-=1|1z-1zz++11èøz=1dz(2);ò2|z|2=1+zdz1æö11解：=-=dz0òò2ç÷|zz|==212+zi||2èøz-+izidz(4);ò223(zz++1)(4)||z=2解：与第二题类似，答案为0.dz为正整数，不在圆周上(6)òn,na¹b|z|=R.||zR=(z--a)()zbì0,ab均在圆外.ï2piïa在圆外，b在圆内.ï()ba-n解：原式=í2piï-a在圆内，b在圆外.ï()ba-nïî0ab,.均在圆内设是由有限条可求长简单闭曲线围成的域，是中个彼此不同的点如果3.Dzz1,…,nDn.1f()zw(zw)-()z，证明：nn是次数不超过的多fÎH(D)ICD()P()zd=òzn-12piz¶Dwn()zz-项式，并且P(zk)=f(zk),k=1,2,¼，n.其中，wnn(z)=(z-¼z1)(zz-).w(zw)-()z（提示：证明nn是z的次数不超过n-1的多项式.）z-z证明：由于wn(z)=-()zz1…(z-z)nw(zw)-()zw(zw)-()z从而nn是z的n-1次多项式，记h(xx,zf)=()nnz-zz-z取e>0充分小，由Cauchy积分公式PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cnnnn1hz(x,)-1P(z)=dx=h(zk,z)P-()zzkjååònj=1k==112pi||xe-=zkjk¹kP-()xzjj=1-w()z因为h(xx,zf)=()n是z的次数不超过n-1的多项式，故P(z)是关于z的次数不超过z-zn-1的多项式.n又-wn(z)=(zkj-z)P-(zz),故P(z)=fz()是关于z的次数不超过n-1的多项式.j=1kkjk¹设证明：5.fÎH(B(0,1))ICB((0,1)).2p2iq2æöq(1)f(e)cosç÷dq=+2ff(0)¢(0);pò0èø222pæöq(2)f(eiq)sin2dq=-2ff(0)¢(0)ò0ç÷pèø21æ1öddzz11æö（提示：分别计算积分òòç2+z+÷ff(z)和ç÷2--zz()22piizz==11èzøzpèøzz即可.）证明：由Cauchy公式，得iq1f(z)122ppfe()1f(0)=dz==ieiiqqdqqf()ed2piòz22ppiòò00eiiqz=1,1f(z)12pf¢(0)==dzqf()eiiqqed-22piòòzp20z=1②12p又由Cauchy定理，fd(zz)0=即f(eiiqq)0edq=③òò0z=12p1122ppq②+③得f¢(0)=f(eiiqq)cosqdqq=-f(ed)(2cos21)ppòò0022122ppq即f(eiiqq)cos2dqq=f¢¢(0)+f(e)d=+ff(0)2(0)ppòò0026.利用上题结果证明：设fÎH(B(0,1))ICB((0,1)),且f(0)=³1,Refz()0,那么-2££Ref¢(0)2.22pq证明：f(eiq)cos2dq=+ff¢(0)2(0)pò02PDF文件使用"pdfFactory试用版本创建Pro"www.fineprint.cn两边取实部,即2p2iq2qRef(e)cosdfq=2+³Re¢(0)0pò0222pq同理f(eiq)sin2dq=-2ff(0)¢(0)pò0222pqRef¢(0)=2-f(ediq)sin2q£-=202pò02所以-2££Ref¢(0)2.§3.5习题fz()1．设f是有界整函数,zz,是Br(0,)中任意两点.证明：dz=0并由12òzr=(z--z12)()zz得出Liouyille定理.证明：利用Cauch
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