期末提分练案人教九年级上第7讲 与圆有关的位置关系2素养专项提升专项与圆的切线有关的计算与证明的七种常见类型提示：点击进入习题答案显示见习题见习题1234习题链接5见习题6见习题见习题7见习题8见习题见习题素养专项提升证明：连接OD.∵AB是直径，∴∠BDA＝90°.∴∠BDO＋∠ADO＝90°.又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，1．【2022·衡阳】如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为BD的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B.(1)求证：CD是⊙O的切线；︵∴∠B＝∠BDO＝∠CDA.∴∠CDA＋∠ADO＝90°.∴OD⊥CD.又∵OD为⊙O的半径．∴CD是⊙O的切线．返回(2)若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．︵2.【中考·绍兴】在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．(1)在屏幕内容中添加条件∠D＝30°,求AD的长，请你解答．解：连接OC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.∴∠OCD＝90°.∵∠D＝30°，∴OD＝2OC＝2.∴AD＝AO＋OD＝1＋2＝3.(2)以下是小明、小聪的对话：小明：我添加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长．小聪：你这样太简单了，我添加的条件是∠A＝30°，连接OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答．返回答案不唯一，如：添加条件∠DCB＝30°，求AC的长．解：连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＋∠DCB＝90°.∴∠ACO＝∠DCB.∵OA＝OC，3.【中考·沈阳】如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.【点方法】看到切线，就想作过切点的半径，这是解决本题的关键.(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；解：连接OA.∵AC为⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC.∴∠OAC＝90°.∵∠ADE＝25°，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°.∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径长．返回4．【中考·陕西】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点M，N.【点易错】切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用．它们是一个互逆的过程，不要混淆.(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；证明：连接ON，则OC＝ON.∴∠DCB＝∠ONC.∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD＝DB.∴∠DCB＝∠B.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE是⊙O的切线，∴NE⊥ON.∴NE⊥AB.(2)连接MD，求证：MD＝NB.返回证明：连接ND，则∠CND＝∠CMD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴四边形CMDN是矩形．∴MD＝CN.由(1)知CD＝BD，又∵DN⊥BC，∴CN＝NB.∴MD＝NB.5.【中考·黔东南州】如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，∴AB＝2BC.∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠BCP.又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝∠BCP＝30°.∵∠ABC＝90°－30°＝60°，∴∠P＝30°.∴∠P＝∠BCP.∴PB＝BC.∴PA＝3PB.返回6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；证明：连接OB.∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP.又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)．∴∠APO＝∠BPO.∴PO平分∠APC.(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.返回又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形．∴∠OBD＝60°.∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°.∴∠DBP＝∠C.∴DB∥AC.7.【中考·贺州】如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.(1)求∠ADB的度数；(2)求AC的长度．返回8.【中考·江西】如图①，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC.(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；证明：连接OC.∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形．∴OB＝CD.∵OA＝OB，∴CD＝OA.又∵CD∥OA，∴四边形ADCO是平行四边形．∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD.∴平行四边形ADCO是矩形．∴OC⊥CD.∴CD是半圆的切线．(2)如图②，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．解：∠AED＋∠ACD＝90°.证明：连接BE.∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠EBA＋∠BAE＝90°.∵AB⊥AD，∴∠DAE＋∠BAE＝90°.∴∠ABE＝∠DAE.返回∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE.∵CD∥AB，AB⊥AD，∴CD⊥AD，即∠ADE＝90°.∴∠AED＋∠ACD＝∠AED＋∠DAE＝90°.
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