第十讲矩阵的三角分解一、Gauss消元法的矩阵形式aaab1111221nn1aaab2112222nn2Axaaabn11n22nnnnA(a)••ijx丄J[,,]T12nb[b,bb]T12n设A0Aa••ij,设A的k阶顺序主子式为nna(°)若1a(0)11°,可以令Cili1a°11并构造FrobeniuS矩阵1°1°Lc1c121L1211c011c°1n1nnn元线性方程组n1计算可得ka(0)a(0)a(0)11121nA(1)L1A(0)10a(1)a(1)222nA(0)LA(1)1a(1)a(1)n2nn初等变换不改变行列式，故2a0a1，若01122，若2则a1220，又可定义ca(1)i2(13,4,n)i2a⑴并构造FrobeniuS矩阵221111LcL1c232232c1c1n2n2a(0)a(0)a(0)a(0)1112131na(1)a(1)a(1)22232nA(2)L1A(1)a(2)a(2)2333na(2)a(2)n3nnA(1)LA(22依此类推，进行到第（r-1步，则可得到nrnrA(r1)矩阵L1ra(0)11a(0)a(0)a(0)1r11r1na(r2)a(r2)a(r2)r1r1r1rr1na(r1)a(r1)rrrna(r1)a(r1)nrnn(r=2,3,,n-1阶顺序主子式则ar1rrcr11nra(0)a(1)1122a(r2)ar1，若r1r1rr0可定义cirirar1irar1'rr并构造Frobenius1c1r11a(0)a(0)a(0)a(0)111r1r11na(r1)a(r1)a(r1)A(r)L1Ar1rrrr1rnra(r)a(r)r1r1r1na(r)a(r)nr1nnA(r1)LA(r)r(r=2,3,,n-1直到第(n—1)步,得到a(0)a(0)a(0)11121na(1)a(1)A(n1)222n则完成了消元的过程an1nn而消元法能进行下去的条件是0r(r=1,2,,n-1二、LU分解与LDU分解AA(0)LA(1)LLA(2)LLLLA(n1)112123n1容易求出1c121LLLL12n1为下三cc1n11n12ccn1n2c1nn1角矩阵令UA(nl)为上三角矩阵，则ALU(L:lowerU:upperL:leftR:righ)t以上将A分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为LU分解或LR分解。LU分解不唯一，显然，令D为对角元素不为零的n阶对角阵，则ALULDD1ULU可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求L为单位下三角矩阵或U为单位上三角矩阵或将A分解为LDU，其中L，U分别为单位下TOC\o"1-5"\h\z三角，单位上三角矩阵，D为对角阵A=diagd,d,d］，而dk/(k=1,2,—n),1，12nk/ki0n阶非奇异矩阵A有三角分解LU或LDU的充要条件是A的顺序主子式0(r=1,2,n)rn个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中，a(k-1)很小时可能会带来kk大的计算误差。因此，有必要采取选主元的消元方法，这可以是列主元(在a(k-1)，a(k-1)，…a(k-D中选取模最kkk1knk大者作为新的a(k-1))、行主元(在a(k-1)，a(k-1)，•••a(k-1)kkkkkk1kn中选取模最大者作为新的a(k-D)全主元(在所有a(k-1)kkij(ki,jn)中选模最大者作为新的a(k-i))o之所以这kk样做，其理论基础在于对于任何可逆矩阵A，存在置换矩阵P使得PA的所有顺序主子式全不为零。列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未知数前的系数|a|最大i1的一个，将其所在的方程作为第一个方程，即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找|a|(i2)中最大的一个，然后按照第一步的方法继i2续。行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便。全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素与以上两种方法相比，其计算稳定性更好，精度更高计算量增大。AxbALULybUxy两个三角形方程回代即可m1三、其他三角分解定义设A具有唯一的LDU分解⑴若将D,结合起来得ALU(UDU),则称为A的Doolittl分解(2)若将L,D结合起来得ALU(LLD),则称为A的Crout分解算法(1)Crout分解，设l1uu11121nll,U1uL21223nlll1n1n2nn由ALU乘出得1)la(第1列)(i1,2,3,n)(A,L第1列)i1i1⑵Uij垢f11(第1行)(j2,3,n)(A,U第1行)1alu第2列)(i2,3,n)(A,L第2列)i2i2i112u_Lalu(j3,4,n)(A,U第2行)2jl2j211j22—般地，对A,l的第k列运算，有lak1luikikimmk(k1,2,n;ik1,k2;n)6)对A，U的第k行运算，有u—(ak11u)(k1,2,n1;jk1,k2,n)kjlkjkmmjkkm1直至最后，得到的l,u恰可排成ijijluu111213llu212223lll313233llln1n2n3u1nu2nu3nlnn先算列后算行厄米正定矩阵的Cholesky分解AGGHgiji1aiik1丄(agijjj0gikjlgg)ikikk1••ij••ij••ij理论上，Cholesky具有中间量g可以控制ijqg』柯)的好处，应较稳健，但实际计算中发现,对希尔伯特矩阵问题，不如全主元方法。作业：pl952、3
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