数值分析原理习题答案

篇一：数值分析习题】学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）4设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm,底面半径r的值为r?5cm,已知?5|h?h*|?0・2cm,|r?r*|?0・1cm,求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8设in?e?1nxx?edx,求证：0（1）in?1?nin?1（n?0,1,2?）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）第二章插值法姓名学号班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。1已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)2已知y?x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。(拉格朗日线性插值)3若xj(j?0,1,・・・n)为互异节点，且有lj(x)?试证明(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)?xlj?0nkjj(拉格朗日插值基函数的性质)(x)?xk(k?0,1,...n)。,sin0・34?0・333487,sin0・36?0.3522744已知sin0・32?0・314567，用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)5用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式，并近似计算cos日二次插值)已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差?4，x2??2三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值?6及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]o(均差的计算)设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值，其中p?n?1,而节点xi(i?0,1,?n?1)互异。(均差的计算)8如下函数值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件：p(1)?2，p(2)?4，p?⑵?3,p(3)?12。(插值多项式的构造)10构造一个三次多项式h(x),使它满足条件h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1(埃尔米特插值)。11设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在？1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式h(x),使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1),h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。12若f(x)?c2［a,b］,f(a)?f(b)?0,试证明：32max|f(x)|?a?x?b?b?a?2max|f??(x)|(插值余项的应用)a?x?b813设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)；又设|f???(x)|?m，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。(插值误差的估计)姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设f(x)?sin?x，求f(x)于［0,1］上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)2令f(x)?ex,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为心)于［?1,1］上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)3证明：切比雪夫多项式序列tk(x)?cos(karccosx)在区间？？1,1?上带权？(x)?1?x正交。(正交多项式的证明)?x1?x2?3?4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。小二乘法)?x?x?22?15已知一组试验数据试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数)。(最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式，使与下列数据相拟合。最小二乘二次逼近)姓名学号班级习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯形，辛甫生公式)，复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式?h?hf(x)dx?af(?h)?bf(O)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能高。(代数精度的应用和计算)2求积公式?1f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0)，试确定系数a0,a1及b0,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)3数值积分公式?303f(x)dx?[f(1)?f(2)],是否为插值型求积公式，为什么？又该公式2b的代数精确度为多少？(插值型求积公式特征)4如果f??(x)?0,证明用梯形公式计算积分几何意义。(梯形求积)5用n?4的复化梯形公式计算积分?af(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其?211dx,并估计误差。(复化梯形求积)x6设f(?1)?1,f(?0・5)?4,f(0)?6,f(0・5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算1?1f(x)dx，若有常数m使|f(4)|?m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复化辛甫生公式)17已知高斯求积公式?1?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735)将区间［0,1］二等分，用复1化高斯求积法求定积分?xdx的近似值。(高斯公式)8试确定常数a,b,c和a,使得数值积分公式?2?2f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)9设?pn(x)?是［0,1］区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系(1)求p2(x)。(2)构造如下的高斯型求积公式?1xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。(高斯求积)【篇二：数值分析简单习题】章：基本概念第二章：gauss消去法,lu分解法第三章：题型：具体题＋证明,误差分析三个主要迭代法,条件误差估计,范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日,牛顿,厄尔米特,误差简单证明,构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）,简单欧拉法。第一章误差科学计算中的误差来源有4个，分别是，，用taylor展开近似计算函数f（x）?f（x0）?f（x0）（x?xO），这里产生是什么误差？0.7499作3的近似值，是位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有几4位有效数字，相对误差限为.0.0032581是四舍五入得到的近似值，有位有效数字.改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）（3）11?x?,1?2x1?x|x|?1（2）|x|?11?cosx,xx?0,|x|?1.（4）sin??sin?,???5.采用下列各式计算1）6时，哪个计算效果最好？并说明理由。（1）6（2）（3）（499?（3?6・已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题：xkx1、利用taylor展开公式计算e??,编一段小程序，上机用单精度计算e的函数k?0k!x?值.分别取x=1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.2、已知定积分in??in??110xndx,n?O,1,2,?,2O,有如下的递推关系x?60n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?in?10x?6x?6n?6可建立两种等价的计算公式(1)in?11?6in?1,取i0?0.154；1?nin),取i20?0.(2)in?1?n6n来计算i1,i2,i3,i4,?,i19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。第二章插值法TOC\o"1-5"\h\z已知f(0)?2,f(1)??1，那么差商f[1,0]?-n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?.由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=。已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9,试构造lagrange插值多项式。5■取节点x0?0,x1?1,x2?2,对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1,f(x1)?2,f(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2，插值多项式如何计算？)6•已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.7.设f(x)?c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件?p(xi)?f(xi),??p(x1)?f(x1)i?0,1,228■设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区间。试证明：对任一给定的x?[a,b]，在(a,b)上总存在一点？，使得r(x)?f(x)?p1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。2!n9■证明关于互异节点｛xi｝in?0的lagrange插值基函数｛li(x)｝满足恒等式i?0l0(x)?l1(x)???ln(x)?1上机习题：1.绘制4题的lagrange的插值函数的图像。第三章数据拟合数据拟合与插值的区别是什么？最小二乘原理是使偏差？i的达到最小求过点(2,3)，(0,1)，(3,5)的线性拟合函数。用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合第四章线性方程组的直接解法1.线性方程组的解法大致可分为平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足上三角和下三角方程组的解法分别称为，严格对角占优矩阵的定义是什么？试求下面矩阵的杜利特尔分解?62?(1)?。??3?4??213??。457(2)??????285???15?2??x1??1???x???13?。0436.用列主元高斯消去法求解方程组????2??????206????x3????3???211??x1??1???x???1?。6?167.用lu分解法解方程组????2?????1027????x3????2??上机实验题：编程实现列主元的高斯消去法编程实现lu分解法第五章线性方程组的迭代解法?1.向量x?(3,2,?1,?7)t，计算||x||1,||x||2,||x||?・?31?2??，计算||a||，||a||，||a||.0102.a=?2?1????126???20?3.a???,分别计算a的谱半径?(a),条件数cond?(a),||a||103??矩阵a的范数与谱半径的关系为求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子。写出下面方程的jacobi迭代格式?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8??x?x?5x?43?12给定下列方程组，判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?(1)?(2)??5x1?12x2?8?2x1?x2?8?x?x?5?13对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示：先调整方程组)?16?2??x1??1??3?26??x???2????2?????41?1????x3????4??10.给定方程组?12?2??x1??1??111??x???2?，???2?????221????x3????1??■■(1)分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。(2)证明jacobi迭代法收敛，而gauss-seidel迭代法发散。上机实验题：【篇三：数值分析 题库 doc摄影基础题库高中语文题库及参考答案安全生产模拟考试平台题库选择大学英语b统考题库消防知识竞赛题库 】lass=txt>1・在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为a0.001523b0.15230c0.01523d1.523002．设方阵a可逆，且其n个特征值满足：?1a1?10?5，则该数是()2c??2?・・・??n，则a?1的主特征值是()11b?1?n11?1或？nd或?1?n?(k?1)3・设有迭代公式x?bx?(k)?f?。若||b||1,则该迭代公式()a必收敛b必发散c可能收敛也可能发散4・常微分方程的数值方法,求出的结果是()a解函数b近似解函数c解函数值d近似解函数值5・反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的()a追赶法blu分解法c雅可比迭代法d高斯—塞德尔迭代法二・填空题(每小题4分,共20分)1・设有方程组?x2?x3?4??x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?023?1，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为?????■■■■??101???2・设a??21?1,则a???????111??23・设y?x?2y,y(0)?1，则相应的显尤拉公式为yn?1?4・设f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在［0,1］上正交，则a=?5・设x?(2,?2,?1)t，若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p=???????????三・计算题(每小题10分,共50分)1・求27的近似值。若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字？2・设f(x)?x?2x4,若在［-1，0］上构造其二次最佳均方逼近多项式，请写出相应的法方程。3・设有方程组4・试确定常数a,b,c及?,使求积公式?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。?2x?2x?x?123?1??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)为高斯求积公式。?5・设有向量x?(2,1,2)t，试构造初等反射阵h使hx?（3,0,0）t。2阶收敛的，并求四．证明题（每小题10分，共20分）1．设有迭代公式xk?12xk?4*，试证明该公式在x?4邻近是？2xk?3xk?1?4k??（x?4）2klim??2.设x,y是n维列向量，q为n阶正交矩阵，且模拟二一、单项选择题（每小题2分，共10分）y?qx??1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为1?10?5，则该数是（）。2a0.00217b0.02170c0.21700d2.170002・已知?是a的特征值，p是给定参数，则b=a-pe的特征值是（）。ac?+pb?-p?+2pd?-2p?（k?1）3．设有迭代公式x?bx?（k）?f?，贝Ml1是该迭代公式收敛的（）。a充分条件b必要条件c充分必要条件4．三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（）求解。a雅可比迭代b高斯-塞德尔迭代c平方根法d追赶法5・若尤拉公式的局部截断误差是o(h2)，则该公式是()方法。a1阶b2阶c3阶d无法确定二、填空题(每小题4分，共20分)a)b)??21?1???设a??12?2,则a?。1????10?3???2x2?x3?1?设有方程组?2x1?x3?1，则可构?x?x?x??123?1?????造高斯—塞德尔迭代公式为设y?xy?2，则相应的显尤拉公式为yn?1??设x?(1,2,?3)t，若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0则p=??????????e)设f(x)?ax?2,g(x)?2x2■若要使f(x)与g(x)在［-1,0］上正交，则a=三．计算题(每小题10分,共50分)1．设f(x)?x3?2x,若在［0,1］上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。2．求的近似值。若要求相对误差小于1%,问近似值应取几位有效数字？3．设有方程组4•试确定常数a,b,c及？，使求积公式?2x1?x2?x3?0??x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。?x?x?2x??123?11??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。212,,?)t5•设有向量x?(333?，试构造初等反射阵h使h?x?(1,0,0)t四．证明题(共20分)2(xk?2)*1•设有迭代公式xk?1?xk?,试证明该公式。在x?2附近是平方收敛的，并2xk求limxk?1?2k??(x?2)2k。2.设l1(x)是f(x)的一次拉格朗日插值，试证：1f(x)?l1(x)?(x1?x0)2maxf(x)x0?x?x18模拟三一、单项选择题(每小题2分，共10分)、若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为()。II?10?7b.?10?62211?10?5d.?10?4c.222、若已知迭代过程xk?1??(xk)是3阶收敛，c是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是a.()。a．limk??k?1?*kk?1k*x?x?c．limx?xk??*?3b．limk??*(x?x)??cd．lim(x?x)kk?1kk??k?1?**3*?3*3?c3、4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有()次代数精度。4b.5c.8d.94、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的()。a.lu分解法b・追赶法c■高斯消去法d■平方根法5、设a的特征值满足|?1a.。|?|?r?1|?????|?n|，则相应幂法的速比ra?()?2?1b.?r?1?1c.?2?nd.?2?n二、填空题(每小题4分，共20分)1、过节点x0??1，x1?0，x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值，其表达式是。2、若?x30?x?1?s(x)??32(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3??是三次样条函数，则a?,b?,c?。?10?3、设a???,则cond?(a)?。21??4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵，?2?11????，若使a??03?1=0,则p?c31?????2????31???。???5、设y?2xy2?1，贝卩相应的隐尤拉公式为。三、计算题(每小题10分，共50分)。1、利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组?x1?x2?1??x1?x2?2的近似解。?2x?x?12?1?2?11??a??111????11?2????2、设，?????b???2????1????。若线性方程组ax?b????仅有右端有扰动x??10?4。试估计由此引起的解的相对误差1??■■??■■?■b。x?3、确定求积公式?1?f(x)dx?af(?1)?a1f(0)?a2f(1),并指明其代数精度。?x1?2x2?x3?1?4、设有方程组?x1?x2?x3?0,试考察求解该方程组的高斯■塞德尔迭代公式的敛散性。?2x?2x?x??123?125、设有方程x?2x?3?0。试确定迭代函数?(x),使迭代公式xk?1??(xk)在x*=3附近收敛,并指出其收敛阶。四、证明题(每小题10分,共20分)1、设u是n阶正交矩阵，a是n阶方阵。试证明||(提示：||a||2?2、设有差分公式au||2?||ua||2?||a||2。yn?1?(ata))h?yn?(3yn?yn?1)。试证明该公式是二阶公式。2模拟四一、单项选择题(每小题2分,共10分)1、按四舍五入原则,数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是()oa.-7.0004b.-7.000c.-7d.-7.00032,讹昱e7alr?=Ma3W1^()。=a__wb__a=wc・__a__nd・一亘_n3,洒手彗cond(all()。卩卩亘-a2」-b・=a7aTI=