引入随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的变化情况。如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高情况。平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字特征，我们分别称之为数学期望、方差。数学期望、方差、协方差和相关系数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是第四章随机变量的数字特征第一节随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、应用实例一、数学期望的概念1.问题的提出1654年,一个名叫德.梅尔的贵族就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a
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定理的特殊情形:单调连续,xf1y为其反函数,并且可导,同时y,则即解E(Y)=E(sinX)=X的概率密度为例9设某种商品的需求量X是服从[10,30]上的均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元.若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每一单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.(考研试题)解设进货量为a,则利润为因此期望利润为因此即最少进货量为21单.对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以由类似于定理1得到.1.二维离散型情形(二)二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量,ZgX,Y为二元函数,如果EZ存在,其中X,Y的联合概率分布为pij.2.二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,ZgX,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则其中X,Y的联合概率密度为fx,y.例10设X,Y的分布律为解X的分布律为求EX,EY,因为(X,Y)的分布律为Y的分布律为计算可得5.E(X)=解E(XY)=解三、数学期望的性质性质1设C是常数,则有ECC.证性质2设X是一个随机变量,C是常数,则有证性质3设X、Y是两个随机变量,则有证推广这一性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形.线性性质性质4设X、Y是相互独立的随机变量,则有注连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.上述证明只证了一类.证则X、Y不独立.这一性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形.例12若X~B(1,0.2)，求Y=2X+1的数学期望解E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1E(X)=0.2=2×0.2＋1=1.4解E(Z)=例14若X~B(n,p)，求X的数学期望设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数.又设X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，n则=np所以E(X)=E(Xi)==p若X~B(n,p)，则X的数学期望E(X)=npXi的分布律为四、应用实例厂家的销售策略按规定:出售的设备在售出的一年内损坏可予以调换.若出售一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.求厂方出售一台设备净赢利Y的数学期望.解依题设,有某设备寿命X(以年计)服从的指数分布.寿命不超过1年的概率＝出售的设备在售出一年之内调换的概率寿命超过1年的概率＝不需调换的概率因此出售一台设备净赢利Y的分布律为 .发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各1百元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为0.5(元).如何确定投资决策方向?某人现有10万元现金,想投资于某项目,为期一年.欲估成功的机会为30%,并可获利8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,哪一种
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可使投资的效益较大?解设X为投资利润,则存入银行的利息:故应选择投资.内容小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.如何度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.§2方差求证:随机变量X没有数学期望.证由定义,数学期望应为由微积分学可知,右边的级数发散.因此,随机变量X没有数学期望.设随机变量X的分布律为备用题例1解由于例2(柯西分布)设随机变量X服从柯西分布,求EX.因X服从柯西分布,则其密度函数为因而其数学期望E(X)不存在.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,例3解已知X在[0,60]上服从均匀分布,其密度为电梯于每个正点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.假设在早上的8点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀分布求游客等候时间的数学期望.（考研试题）设Y是游客等候电梯的时间(单位:分),则因此11.67解例4设随机变量X的分布密度函数为解例5（报童问题）设某报童每日的潜在卖报数若记真正卖报数为Y,则Y与X的关系如下：X服从参数为的泊松分布.如果每卖出一份报可报酬a,卖不掉而退回则每份赔偿b,若某报童买进n份报,试求其期望所得.进一步,再求最佳的卖报份数.因此期望所得为记所得为Z,则Z与Y的关系如下:则Y的分布为当a,b,给定后,求n使Mn达到极大.利用软件包求得计算结果如下:§2方差一、方差的定义及计算二、常见随机变量的方差三、方差的性质1.方差的定义方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.一、概念 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,2.方差的意义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差3.随机变量方差的计算(1)利用定义计算g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.证明(2)利用公式计算例1设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为求D(X).解由公式因此,0-1分布E(X)=解D(X)=解例3X的分布律为k=0,1,2,…E(X2)=常见随机变量的方差P(X=k)=D(X)=E(X2)D(X)=E(X2)-[E(X)]22.二项分布X～b(n,p)则有3.均匀分布4.指数分布5.正态分布则有证明三.方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证明(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明若X与Y独立，则(1)D(X+Y)=D(X)+D(Y);(2)D(X-Y)=D(X)+D(Y);推广解:X~E(Z)=E(3X-2)E(X)=2,D(X)=2E(Y)=E(X2)=D(X)+(EX)2=6=3E(X)-2=4例5设X~B(n,p),求D(X).设i=1,2，…，nD(Xi)==p,p(1-p)设X表示n重贝努里试验中的“成功”次数E(Xi)Xi的分布律为于是由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)则X~B(n,p),有EX=np,DX=np(1-p).若在已知某些分布类型时，知道期望方差，便能够确定其分布。例6设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.解:(E(Z),D(Z))Z~N(5,32)且X与Y独立,Y~N(0,1)，X~N(1,2),则Z~NE(Z)==2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)=D(2X-Y+3)=4D(X)+D(Y)=9故Z的概率密度是契比雪夫不等式证明契比雪夫不等式得例7已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002由切比雪夫不等式即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.
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