探析三角函数的最值求三角函数的最值和值域是近几年高考的常考内容，又是三角函数解答题的主要题型，解决这类问题不仅要用到三角函数的定义域和值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变形，还常常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这些问题概念性强，具有一定的综合性和灵活性。题型1。利用有关三角公式化简求最值。例1、(2020北京理)若f(x)＝cos4x-2sinxcosx-sin4x。(1)求f(x)的最小正周期。（2）若x∈〔0,〕，求f(x)的最大值，最小值。解：f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T==。（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤。当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；当2x+=时，cos（2x+）取得最小值-1。所以f(x)在〔0,〕最大值为1，最小值为-。点评：充分利用三角的有关公式将所给函数进行化简，转化为熟悉的正余玄函数。变式训练：1、求函数f(x)=sin2x+4sinxcosx+5cos2x的最值。2、（2020全国）函数f(x)=（sin4x+cos4x+sin2xcos2x）/(2-sin2x)的最值。
答案
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：1、f(x)的最大值为2，最小值为-22、f(x)的最大值为，最小值为题型2。利用公式asinx+4bcosx=sin(x+θ)来求最值。例2．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx+1，xR 求当取最大值时，自变量Ｘ的集合？该函数图像可由f(x)＝cos2x+经过怎样的变换得到？解：f(x)=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+所以f(x)的最大值为，这时2x+=+2k,x=+k,x的集合为｛x|x=+k｝由f(x)＝cos2x+向右平移个单位得f(x)=sin(2x+)+题型3。利用配方法或换元法把三角函数的最值转化为二次函数的最值。（注意区分有限制条件和无限制条件两种类型以及隐含条件的挖掘）例３、已知函数f(x)=2sincos+sin-cos(0≤θ≤)求函数Ｙ的最值解：令t=sin-cos=sin(-),因为[-，]，所以t[-1，]，则t2=1-2sinxcosx2sinxcosx=1-t2f(x)=1-t2+t=-(t-)2+,当t=时，f(x)的最大值为，当t=-1时，f(x)的最小值为-1点评：此题在代换中，根据角θ的取值范围确定了参数t[-1,]的范围，从而正确求解。若忽视这一点，会发生t=时有最大值而无最小值的错误结论。变式训练：3、设－≤x≤，求函数f(x)=4sin2x-12sinx-1的最值．答案：f(x)的最大值为6f(x)的最小值为-9例４：设函数f(x)＝sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值为1,求a的值.解:f(x)＝sin2x+acosx+a-=-cos2x+acosx+a-,令t=cosx,则t[0,1]f(x)＝-t2+at+a-=-(t-)2+(+a-)分情况讨论：当a<0时，f(x)的最大值为1，a无解当0
2时,f(x)的最大值为1，a无解.综上所述：a=点评:换元之后,将三角函数转化为二次函数(动函数)在一定区间上的最值问题;注意要分类讨论。题型4、与平面向量、三角形相结合求最值。例5、（2020全国文）三角形ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+2cos取得最大值,并求最大值。解：由A+B+C=，得=-，所以cos=sincosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2（sin-+当sin=时，即A=时,cosA+2cos取得最大值。点评:重要考察三角函数的化简,求值及运算能力,应注意内角的取值范围.例6.已知向量=（cos,sin）,向量=（cos,-sin）且x[0,],若f(x)=.-2|+|的最小值为-求的值。解：f(x)=.-2|+|=cos2x-4cosxx[0,]=2cos2x-4cosx-1=2(cosx--2-1cosx[0,1]分情况讨论：当＜0时，无解。当0＜＜1时，=当＞1时，无解。综上所述：=点评：重要考察向量的运算，进而转化成三角函数的化简，注意三角函数的公式运用和分情况讨论。变式训练：4、设向量 =(sinx,cosx),=(cosx,cosx),xR。f(x)=.(+)求函数f(x)的最值及最小正周期。求使不等式f(x)≥成立的取值集合。答案：（1）f(x)的最大值为+f(x)的最小值为-最小正周期为T=（2）取值集合为｛x|k｝
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