...第五章平抛运动§5-1曲线运动&运动的合成与分解1、曲线运动1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。③F合≠0，一定有加速度a。④F合方向一定指向曲线凹侧。⑤F合可以分解成水平和竖直的两个力。4.运动描述——蜡块运动2、运动的合成与分解1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。3、有关“曲线运动”的两大题型（1）小船过河问题模型一：过河时间t最短：模型二：直接位移x最短：模型三：间接位移x最短：[触类旁通]1．(2011年上海卷)如图5－4所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（C）。解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度v在绳子方向上的分量等于船速，故v船＝vcosα，C正确．2．(2011年江苏卷)如图5－5所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为(C)A．t甲
t乙D．无法确定解析：设游速为v，水速为v0，OA＝OB＝l，则t甲＝＋；乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB方向，则t乙＝2·，联立解得t甲>t乙，C正确．（2）绳杆问题(连带运动问题)1、实质：合运动的识别与合运动的分解。2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。模型四：如图甲，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子。处理方法：如图乙，把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2，v1就是拉绳的速度，vA就是小船的实际速度。[触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，则下列说法正确的是(C）A．物体做匀速运动，且v2＝v1B．物体做加速运动，且v2>v1C．物体做加速运动，且v2r，联立①②③式解得r＝v.§5-3圆周运动&向心力&生活中常见圆周运动一、匀速圆周运动1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。3.描述圆周运动的物理量：（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s；（3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min．4.各运动参量之间的转换关系：5.三种常见的转动装置及其特点：模型一：共轴传动模型二:皮带传动模型三：齿轮传动[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则(AC)A．A球的角速度必小于B球的角速度B．A球的线速度必小于B球的线速度C．A球的运动周期必大于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力解析：小球A、B的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传送。则可以知道，两个小球的线速度v相同，B错；因为RA>RB，则ωA<ωB,TA小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动杆对球可以是拉力也可以是支持力①若F＝0，则mg＝，v＝②若F向下，则mg＋F＝m，v>③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则0≤v<小球在竖直细管内转动管对球的弹力FN可以向上也可以向下依据mg＝判断，若v＝v0，FN＝0；若vv0，FN向下球壳外的小球在最高点时弹力FN的方向向上①如果刚好能通过球壳的最高点A，则vA＝0，FN＝mg②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力FN＝0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析（1）解题步骤：①明确研究对象；②定圆心找半径；③对研究对象进行受力分析；④对外力进行正交分解；⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；⑥解方程并对结果进行必要的讨论。（2）典型模型：I、圆周运动中的动力学问题谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。模型一：火车转弯问题：模型二：汽车过拱桥问题：[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则(A) A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C．这时铁轨对火车的支持力等于D．这时铁轨对火车的支持力大于解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为。2、如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v。若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f，则物体与碗的动摩擦因数μ为（B）。A、B、C、D、解析：设在最低点时，碗对物体的支持力为F，则，解得，由f=μF解得，化简得，所以B正确。II、圆周运动的临界问题A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：[触类旁通]1、如图所示，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2，求： (1)在最高点时，绳的拉力？ (2)在最高点时水对小杯底的压力？(3)为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少?
答案
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：(1)9N，方向竖直向下；(2)6N，方向竖直向上；(3)m/s=3.16m/s2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使其做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是(AB)A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力3、如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5m，MPQ是一半径R=1.6m的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m=1kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力，欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？（取g=10m/s2）解析：物体A经过Q时，其受力情况如图所示：由牛顿第二定律得：物体A刚好过A时有FN=0；解得，对物体从L到Q全过程，由动能定理得：，解得F=8N。B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。模型六：转盘问题【综合应用】1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点A，当A通过与圆心等高的a处时，有一质点B从圆心O处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为R，求：(1)轮子的角速度ω满足什么条件时，点A才能与质点B相遇？(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时，点A与质点B的速度才有可能在某时刻相同？解析：(1)点A只能与质点B在d处相遇，即轮子的最低处，则点A从a处转到d处所转过的角度应为θ＝2nπ＋π，其中n为自然数．由h＝gt2知，质点B从O点落到d处所用的时间为t＝，则轮子的角速度应满足条件ω＝＝(2n＋)π，其中n为自然数．(2)点A与质点B的速度相同时，点A的速度方向必然向下，因此速度相同时，点A必然运动到了c处，则点A运动到c处时所转过的角度应为θ’＝2nπ＋π，其中n为自然数．转过的时间为此时质点B的速度为vB＝gt′，又因为轮子做匀速转动，所以点A的速度为vA＝ω′R由vA＝vB得，轮子的角速度应满足条件，其中n为自然数．2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1kg，通电后以额定功率P＝1.5W工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L＝10.00m，R＝0.32m，h＝1.25m，x＝1.50m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10m/s2)解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律x＝v1t，h＝gt2，解得：v1＝x＝3m/s设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得mg＝m，mv＝mv＋mg(2R)解得v3＝＝4m/s通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4m/s设电动机工作时间至少为t，根据功能关系Pt－FfL＝mv，由此可得t＝2.53s.3、如下图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好到最低点B位置时线被拉断．设摆线长为L＝1.6m，摆球的质量为0.5kg，摆线的最大拉力为10N，悬点与地面的竖直高度为H=4m，不计空气阻力，g取10m/s2。求：（1）摆球着地时的速度大小．（2）D到C的距离。解析：（1）小球刚摆到B点时，由牛顿第二定律可知：①，由①并带入数据可解的：，小球离开B后，做平抛运动.竖直方向：②，落地时竖直方向的速度：③落地时的速度大小：④，由①②③④得：（2）落地点D到C的距离第六章万有引力与航天§6-1开普勒定律一、两种对立学说（了解）1.地心说：（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。2.日心说：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。二、开普勒定律1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同，即值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴a即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是(AB)。A．地心说的参考系是地球 B．日心说的参考系是太阳C．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值 D．日心说是由开普勒提出来的2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是(B) A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大 C．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律 D．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作§6-2万有引力定律一、万有引力定律1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。3.表达式：，4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。5.四大性质：①普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。②相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。③宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。④特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。6.对G的理解：①G是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是。②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力大小。③G的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有(B) A．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B．可看作质点的两物体间的引力可用F=计算 C．由F=知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大D．引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于6.67×10－11N·m2/kg22、下列说法中正确的是(ACD) A．
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出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒 B．总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略 C．总结出万有引力定律的物理学家是牛顿D．第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许7.万有引力与重力的关系：(1)“黄金代换”公式推导：当时，就会有。(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。[牛刀小试]设地球表面的重力加速度为g0，物体在距地心4R(R为地球半径)处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g，则g∶g0为(D) A．16∶1B．4∶1C．1∶4D．1∶168.万有引力定律与天体运动：(1)运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。(2)从力和运动的关系角度分析天体运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F需=F万。如图所示，由牛顿第二定律得：，从运动的角度分析向心加速度：（3）重要关系式：[牛刀小试]1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比=q，则两颗卫星的周期之比等于。2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为。3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M2之比=p；火星的半径R1与地球的半径R2之比=q，那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比等于(A)A．B．pq2C．D．pq9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。模型：如右图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。根据“思路分析”所述，引力F可视作F=F1+F2：,,则挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为。[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg，周期为1h的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的，月球表面重力加速度约为地球的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证
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。(地球半径约为6.4×103km)证明：因为G＝mR，所以T＝2π，又G＝mg得g＝，故Tmin＝2π＝2π＝2π＝2π＝2πs＝6.2×103s≈1.72h。环月卫星最小周期约为1.72h，故该报道是则假新闻。§6-3由“万有引力定律”引出的四大考点1、解题思路——“金三角”关系：（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即是本章解题的主线索。（2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。（3）重力与向心力的联系：为对应轨道处的重力加速度，适用于已知g的特殊情况。2、天体质量的估算模型一：环绕型：谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。①已知r和T:②已知r和v:③已知T和v:模型二：表面型：谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：[触类旁通]1、(2013·福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )A．GM＝ B．GM＝C．GM＝D．GM＝解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由＝mr可得GM＝，A正确。2、(2013·全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为( D )A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kg解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由G＝mr得M＝，又r＝R月＋h，代入数值得月球质量M＝7.4×1022kg，选项D正确。3、土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105km，公转周期为18h46min，则土星的质量为5.21×1026kg。4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量。5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是(A)A．M=B．M=C．M=D．M=解析：月球绕地球运转的周期T与月球的质量无关。3、天体密度的计算模型一：利用天体表面的g求天体密度：物体不在天体表面：模型二：利用天体的卫星求天体的密度：4、求星球表面的重力加速度：在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )A．1－B．1＋C.D.解析：设地球的质量为M，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝，地球的质量可表示为M＝πR3ρ因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝π(R－d)3ρ，解得M′＝()3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝，所以矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比＝1－，选项A正确，选项B、C、D错误。5、双星问题：特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。符号表示：.处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。(2)由于ω＝，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝。[牛刀小试]1、(2010年全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者的平方之比．(结果保留两位小数)解析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等，且A和B与O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L联立解得R＝L，r＝L对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：，化简得.(2)将地月看成双星，由(1)得将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得化简得所以两种周期的平方比值为＝＝＝1.01.2、(2013·山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(B)A.TB.TC.TD.T解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由＝mr1ω2；＝Mr2ω2；r＝r1＋r2得：＝rω2＝r同理有＝nr，解得T1＝T，B正确。§6-4宇宙速度&卫星1、涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度：1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。2.取值范围及运行状态：①,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。②，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。③,一般情况下人造地球卫星发射速度。（三）运行速度：1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。2.大小：对于人造地球卫星，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行的环绕速度，其大小随轨道的半径r↓而v↑。3.注意：①当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；②当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。[牛刀小试]1、地球的第一宇宙速度约为8km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍。该行星上的第一宇宙速度约为(A)A．16km/sB．32km/sC．46km/sD．2km/s解析：由公式m=G，若M增大为原来的6倍，r增大为原来的1.5倍，可得v增大为原来的2倍。2、某行星的质量为地球质量的16倍，半径为地球半径的4倍，已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s,该行星的第一宇宙速度是多少？解析：思路与第一题相同，答案可易算得为15.8km/s。3、某星球半径为R，一物体在该星球表面附近自由下落，若在连续两个T时间内下落的高度依次为h1、h2，则该星球附近的第一宇宙速度为。2、两种卫星：（一）人造地球卫星：1.定义：在地球上以一定初速度将物体发射出去，物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的人造卫星。2.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。3.三个”近似”：①近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。②在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力。③天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。4.四个等式：①运行速度：。②角速度：。③周期：。。④向心加速度：。（二）地球同步卫星：1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。2.五个“一定”：①周期T一定：与地球自转周期相等（24h），角速度ω也等于地球自转角速度。②轨道一定：所有同步卫星的运行方向与地球自转方向一致，轨道平面与赤道平面重合。③运行速度v大小一定：所有同步卫星绕地球运行的线速度大小一定，均为3.08km/s。④离地高度h一定：所有同步卫星的轨道半径均相同，其离地高度约为3.6×104km。⑤向心加速度an大小一定：所有同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等，约为0.22m/s2。注：所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。3、卫星变轨问题：1.原因：线速度v发生变化，使万有引力不等于向心力，从而实现变轨。2.条件：增大卫星的线速度v，使万有引力小于所需的向心力，从而实现变轨。3.注意：卫星到达高轨道后，在新的轨道上其运行速度反而减小；当卫星的线速度v减小时，万有引力大于所需的向心力，卫星则做向心运动，但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速度反而增大。4.卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。四、与卫星有关的几组概念的比较总结：1.天体半径R和卫星轨道半径r的比较：卫星的轨道半径r是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半径，与天体半径R的关系是r=R+h（h为卫星距离天体表面的高度），当卫星贴近天体表面运动时，可视作h=0，即r=R。2.卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较：（1）卫星运行的加速度：卫星绕地球运行，由万有引力提供向心力，产生的向心加速度满足,其方向始终指向地心，大小随卫星到地心距离r的增大而减小。（2）物体随地球自转的向心加速度：当地球上的物体随地球的自转而运动时，万有引力的一个分力使物体产生随地球自转的向心加速度，其方向垂直指向地轴，大小从赤道到两极逐渐减小。3.自转周期和公转周期的比较：自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是某星球绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般两者不等（月球除外），如地球的自转周期是24h，公转周期是365天。4.近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较：（1）近地卫星和赤道上的物体：内容近地卫星赤道上的物体相同点质量相同时，受到地球的引力大小相等不同点受力情况只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力运动情况角速度、线速度、向心加速度、周期均不等（2）近地卫星和同步卫星：相同点：都是地球卫星，地球的引力提供向心力。不同点：近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星的大，而周期比同步卫星的小。（3）赤道上的物体和同步卫星：内容近地卫星赤道上的物体相同点角速度都等于地球自转的角速度，周期都等于地球自转的周期不同点受力情况只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体做圆周运动的向心力轨道半径同步卫星的轨道半径比赤道上的物体的轨道半径大很多运动情况同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体[牛刀小试]1、(多选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星的路线示意图如图6－2所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a∶1，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b∶1，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星（AD）A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为∶B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为∶C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速解析：由G＝m得v＝，所以＝＝，选项A正确．由G＝mr得＝＝，选项B错误．由v＝可知，轨道半径越大，运行速度越小，所以选项C错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D正确．2、(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6－3所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(BD）A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度解析：由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则有G＝m＝mω2r，所以v＝、ω＝.由题图可得轨道半径r1v3、ω1>ω3，A错B对．Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点，由于万有引力提供向心力，则有G＝ma向，所以a向＝，显然，卫星在经过圆周轨道1上的Q点和在经过椭圆轨道2上的Q点时具有的向心加速度均为a向＝，C错；同理可得D对．3、(多选)地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝求出．已知式中x的单位是m,y的单位是s，z的单位是m/s2，则A．x是地球半径，y是地球自转的周期，z是地球表面处的重力加速度B．x是地球半径，y是同步卫星绕地心运动的周期，z是同步卫星的加速度C．x是赤道周长，y是地球自转周期，z是同步卫星的加速度D．x是地球半径，y是同步卫星绕地心运动的周期，z是地球表面处的重力加速度解析：由，可得r3＝①，与题目中给出的r3＝相比需再作进一步处理．考虑到z的单位是m/s2，是加速度的单位，于是引入加速度a＝G②，上式中a为同步卫星的加速度，r为同步卫星到地心的距离，由①②两式可得r3＝，显然与所有选项不对应；引入地球表面处的重力加速度：g＝G③，由①③两式可得r3＝，与r3＝相比，形式相同，并且与A、D对应．对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期T相同．【题外延伸】此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解．要结合同步卫星的知识进行推导，推导的方向是既要符合题目中给出的r3＝形式，又要符合选项的要求．在推导的过程中思路要清晰，量纲要相符，形式要相同，表面上看是一件很难的事情，其实只要尝试多几次即可．4、(多选)下列关于同步卫星的说法，正确的是(AC）。A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率是确定的B．同步卫星的角速度是确定的，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大，且仍保持同步C．一颗人造地球卫星的周期是114min，比同步卫星的周期短，所以这颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低D．同步卫星的速率比地球大气层附近的人造卫星的速率大解析：同步卫星和地球自转同步，即它们的周期T相同，同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动，所需向心力由卫星m和地球M之间的万有引力提供．设地球半径为R，同步卫星高度为h，因为F引＝F向，所以G＝m(R＋h)，得h＝－R，可见h是一定的；由G＝m得：v＝，可见v也是一定的，A正确．由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则h和v均随之确定，不能改变，否则不能同步，B错误．由h＝－R可知，当T变小时，h变小，可见，人造卫星离地面的高度比同步卫星低，速率比同步卫星大，C正确，D错误。5、2007年10月24日18时，“嫦娥一号”卫星星箭成功分离，卫星进入绕地轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道①→24小时椭圆轨道②→48小时椭圆轨道③→地月转移轨道④。11月5日11时，当卫星经过距月球表面高度为h的A点时，再一次实施变轨，进入12小时椭圆轨道⑤，后又经过两次变轨，最后进入周期为T的月球极月圆轨道⑦。如图所示。已知月球半径为R。(1)请回答：“嫦娥一号”在完成三次近地变轨时需要加速还是减速？(2)写出月球表面重力加速度的表达式。解析：(1)加速(2)设月球表面的重力加速度为g月，在月球表面有G＝mg月，卫星在极月圆轨道有，G＝m()2(R＋h)，解得g月＝。6、2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(ABC)A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度解析：逐项判断A．根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A正确；B．由I轨道变到II轨道要减速，所以B正确；C．根据开普勒定律，=c，R2＜R1，所以T2＜T1。C正确；D．根据a=，应等于，D错误。7、我国发射的“嫦娥一号”卫星经过多次加速、变轨后，最终成功进入环月工作轨道。如图所示，卫星既可以在离月球比较近的圆轨道a上运动，也可以在离月球比较远的圆轨道b上运动。下列说法正确的是(D)A．卫星在a上运行的线速度小于在b上运行的线速度B．卫星在a上运行的周期大于在b上运行的周期C．卫星在a上运行的角速度小于在b上运行的角速度D．卫星在a上运行时受到的万有引力大于在b上运行时的万有引力解析：根据万有引力提供向心力，推导出线速度、角速度和周期与轨道半径的关系式。第七章机械能守恒定律运动§7-1能量&功&功率一、能量的转化和守恒1.能量的物理意义：一个物体如果具备了对外做功的本领，我们就说这个物体具有能量。能量是状态量，是标量，与物体的某一状态相对应。能量的表现形式多种多样，如动能、势能等。2.能量守恒与转化定律：能量只能从一种形式转化成另一种形式，或从一个物体转移到另一个物体，但能的总量保持不变，这就是能量守恒和转化定律。3.寻找守恒量的方法：寻找守恒量必须讲究科学的方法：如观察此消彼长的物理量、研究其相互的关系、科学构思巧妙实验、精确地论证、推理和计算等。二、功1.概念：如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，则这个力就对物体做了功。2.公式：W=Flcosθ[F为该力的大小，l为力发生的位移，θ为位移l与力F之间的夹角]。注：功仅与F、S、θ有关，与物体所受的其它外力、速度、加速度无关。3.单位：焦耳，简称“焦”，符号J。4.标量：但它有正功、负功。功的正负表示能量传递的方向，或表示动力做功还是阻力做功，即表示做过的效果。5.物理意义：功是能量转化的量度。功是一个过程所对应的量，因此功是过程量。6.合力的功：①总功等于各个力对物体做功的代数和：；②总功等于合外力所做的功：W总=F合lcosθ。7.判断力F做功的情况的方法：①利用公式W=Flcosθ来判断：当时，即力与位移成锐角，力做正功，功为正当时，即力与位移垂直，力不做功，功为零当时，即力与位移成钝角，力做负功，功为负②看物体间是否有能量的转化或转移：若有能量的转化或转移，则必定有力做功。此方法常用于两个相互联系的物体。三、功率1.概念：描述力对物体做功快慢的物理量。2.公式：（定义式），适用于任何情况，。3.单位：瓦特，简称“瓦”，符号W。4.标量：功率表示功的变化率，是一种频率，只有大小，没有方向。5.分类：额定功率：指发动机正常工作时最大输出功率，电器的铭牌上写的功率即为额定功率；实际功率：指发动机实际输出的功率即发动机产生牵引力的功率，P实≤P额。6.机械效率：输入功率：机器工作时，外界对机器做功的功率。输出功率：极其对外做功的功率。机械效率：7.机车的两种启动方式：启动方式恒定功率启动恒定加速度启动过程分析阶段一：阶段二：阶段一：,直到P=P额=F·vm’。阶段二：.阶段三：。运动规律做加速度逐渐减小的变加速直线运动（对应下图中的OA段）→以vm做匀速直线运动（对应下图中AB段）以加速度a做匀加速直线运动（对应下图中的OA段，）→做加速度减小的变加速直线运动（对应下图中的AB段）→以vm做匀速直线运动（对应下图中的BC段）v-t图像注意：①不管哪种启动方式，机动车的功率均是指牵引力的功率，对启动过程的分析也都是用分段分析法。②P=Fv中的F仅是机动车的牵引力，而非机动车所受的合力，这一点是在解题时极易出现错误的地方。§7-2重力做功&重力势能&弹性势能一、重力做功1.特点：重力做的功由重力大小和重力方向上发生的位移（数值方向上的高度差）决定。2.公式：WG=mg·Δh。3.注意：重力做功与物体的运动路径无关，只决定于运动初始位置的高度差。二、重力势能1.定义：物体由于位于高处而具有的能量。2.表达式：Ep=mgh[h为物体重心到参考平面的竖直高度]，单位J。3.影响因素：物体的质量m和所在的高度h。4.标量：正负不表示方向。重力势能为正，表示物体在参考面的上方；重力势能为负，表示物体在参考面的下方；重力势能为零，表示物体在参考面的上。5.重力势能的变化：ΔEp=Ep2-Ep1，即末状态与初状态的重力势能的差值。6.对Ep=mgh的理解：①其中h为物体重心的高度。②重力势能具有相对性，是相对于选取的参考平面而言的。选择不同的参考平面，确定出的物体高度不一样，重力势能也不同。③重力势能可正可负，在参考平面上方重力势能为正值，在参考平面下方重力势能为负值。重力势能是标量，其正负表示比参考平面高或低。注：a、在计算重力势能时，应该明确选取参考平面。b、选择哪个水平面作为参考平面，可视研究问题的方便而定，通常选择地面作为参考平面。7.系统性：重力势能属于地球和物体所组成的系统，通常说物体具有多少重力势能，只是一种简略的说法。8.重力做功与重力势能变化的关系：重力势能变化的过程也就是重力做功的过程，重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加，即满足WG=-ΔEp=Ep1-Ep2。三、弹性势能1.概念：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用具有势的能。2.表达式：，单位为J。3.影响因素：弹簧的劲度系数k和弹簧形变量x。4.弹力做功与弹性势能的关系：。弹力做正功时，物体弹性势能减少；弹力做负功时，物体弹性势能增加，即。§7-3动能&动能定理一、动能1.概念：物体由于运动而具有的能量，称为动能。2.表达式：，单位为J。3.影响因素：只与物体某状态下的速度大小有关，与速度的方向无关。注：动能是相对量（因为速度是相对量）。参考系不同，速度就不同，所以动能也不同，一般来说都以地面为参考系。4.动能的变化：，即末状态动能与初状态动能之差。注意：ΔEK>0，表示物体的动能增加；ΔEK<0，表示物体的动能减少。5.说明：①动能具有相对性，与参考系的选取有关，一般以地面为参考系描述物体的动能。②动能是表征物体运动状态的物理量，
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