圆锥曲线与方程

圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程 第1课时 椭圆 1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ． ②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数 ，且 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． 2．椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 (1) 焦点在 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： ，其中( > >0，且 ) (2) 焦点在 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 ，其中a，b满足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对 ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率： ( 与 的比)， ， 越接近1，椭圆越 ； 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设 分别为椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，则 ， = 。 4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）： (1) 定义：r1＋r2＝2a (2) 余弦定理： ＋ －2r1r2cos ＝(2c)2 (3) 面积： ＝ r1r2 sin ＝ ·2c| y0 |(其中P( )为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝ ) 变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆 （a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目得证。 例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点 与抛物线 的焦点重合，过 的直线 与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线 与x轴垂直时， ． （1）求椭圆的方程； （2）求过点O、 ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （3）求 的最大值和最小值． 解：（1）由抛物线方程，得焦点 ． 设椭圆的方程： ． 解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ∴ ， ， ∴ ． …………2分 ∴ 又 ， 因此， ，解得 并推得 ． 故椭圆的方程为 ． …………4分 （2） ， 圆过点O、 ， 圆心M在直线 上． 设 则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ∴ 由 得 解得 所求圆的方程为 …………………………8分 （3） 由 ①若 垂直于 轴，则 ， ， …………………………………………9分 ②若 与 轴不垂直，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 由 得 ， 方程有两个不等的实数根． 设 ， . , ………………………………11分 = ，所以当直线 垂于 轴时， 取得最大值 当直线 与 轴重合时， 取得最小值 变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围； （3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ . ∴ . ∴ W: . … (2) 设直线l的方程为 ，代入椭圆方程，得 . 整理，得 . ① 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得 或 . ∴ 满足条件的k的取值范围为 （3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则 ＝（x1+x2，y1+y2), 由①得 . ② 又 ③ 因为 ， ， 所以 .……… 所以 与 共线等价于 . 将②③代入上式，解得 . 所以不存在常数k，使得向量 与 共线. 例4. 已知椭圆W的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为 ，过左准线与 轴的交点 任作一条斜率不为零的直线 与椭圆W交于不同的两点 、 ，点 关于 轴的对称点为 . （1）求椭圆W的方程； （2）求证： ( )； （3）求 面积 的最大值. 解：（1）设椭圆W的方程为 ，由题意可知 解得 ， ， ， 所以椭圆W的方程为 ．……………………………………………4分 （2）解法1：因为左准线方程为 ，所以点 坐标为 .于是可设直线 的方程为 ． 得 . 由直线 与椭圆W交于 、 两点，可知 ，解得 ． 设点 ， 的坐标分别为 ， , 则 ， ， ， ． 因为 ， ， 所以 ， . 又因为 ， 所以 ． ……………………………………………………………10分 解法2：因为左准线方程为 ，所以点 坐标为 . 于是可设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标分别为 ， , 则点 的坐标为 ， ， ． 由椭圆的第二定义可得 , 所以 ， ， 三点共线，即 ．…………………………………10分 (3)由题意知 ， 当且仅当 时“=”成立， 所以 面积 的最大值为． 变式训练4：设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值； （2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）易知 设P（x，y），则 ， ，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值3； 当 ，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值4 （2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k 直线l的方程为 由方程组 依题意 当 时，设交点C ，CD的中点为R ， 则 又|F2C|=|F2D| ∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线 ，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效． 2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a、b、c，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏． 3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是 ． 4．“设而不求”，“点差法”等 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会． 5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，应引起重视． 第2课时 双 曲 线 例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且 =13×2 (m)， =25×2 (m).设双曲线的方程为 （a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以 解方程组 由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得 化简得 19b2+275b－18150=0 （3） 解方程（3）得 b≈25 (m).所以所求双曲线方程为： 例3. 中，固定底边BC，让顶点A移动，已知 ，且 ，求顶点A的轨迹方程． 解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为 ，所以B( )， ．利用正弦定理，从条件得 ，即 ．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为 的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为 ( )． 变式训练3：已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，两条准线的距离为l. （1）求双曲线的方程； （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值. （1）解：依题意有： 可得双曲线方程为 （2）解：设 所以 例4. 设双曲线C： 的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。 （1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且 ，求点T的坐标； （2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程； （3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设 ，若 （T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。 解：（1）由题，得 ，设 则 由 …………① 又 在双曲线上，则 …………② 联立①、②，解得 由题意， ∴点T的坐标为（2，0） …………3分 （2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y） 由A1、P、M三点共线，得 …………③ …………1分 由A2、Q、M三点共线，得 …………④ …………1分 联立③、④，解得 …………1分 ∵ 在双曲线上， ∴ ∴轨迹E的方程为 …………1分 （3）容易验证直线l的斜率不为0。 故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 ……⑤ ……⑥ …………2分 ∵ ∴有 将⑤式平方除以⑥式，得 …………1分 由 …………1分 ∵ 又 故 令 ∴ ，即 ∴ 而 ， ∴ ∴ 变式训练4：)已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为 的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点. （1）求双曲线C的标准方程 （2）当直线l的斜率为何值时， 。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。 解（1）设双曲线C的方程为 又P（6,6）在双曲线C上， 由①、②解得 所以双曲线C的方程为 。 （2）由双曲线C的方程可得 所以△A1PA2的重点G（2,2） 设直线l的方程为 代入C的方程，整理得 整理得 解得 由③，可得 解得 由④、⑤，得 5．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断． 第3课时 抛 物 线 1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)． 2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程 ① ，焦点为 ，准线为 ． ② ，焦点为 ，准线为 ． ③ ，焦点为 ，准线为 ． ④ ，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率 ． ④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点， 是抛物线上一点，则 ． ⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦) i) 若 ， ，则 ＝ ， ． ii) 若AB所在直线的倾斜角为 ( 则 ＝ ． 特别地，当 时，AB为抛物线的通径，且 ＝ ． iii) S△AOB＝ （ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成P与θ的关系式）． iv) 为定值，且等于 ． 例1. 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值． 解：设抛物线方程为 ，则焦点是F ∵点A(－3，n)在抛物线上，且| AF |＝5 故 解得P＝4， 故所求抛物线方程为 变式训练1：求顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程． 解：因为对称轴是 轴，可设抛物线方程为 或 ∵ ，∴p＝12 故抛物线方程为 或 例2. 已知抛物线C： 的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B． (1) 若 ，求直线l的方程． (2) 求 的最小值． 解：(1)解法一： 设直线 的方程为： 代入 整理得， 设 则 是上述关于 的方程的两个不同实根，所以 根据抛物线的定义知：| AB |＝ ＝ 若 ，则 即直线 有两条，其方程分别为： 解法二：由抛物线的焦点弦长公式 |AB|＝ (θ为AB的倾斜角)易知sinθ＝± ， 即直线AB的斜率k＝tanθ＝± ， 故所求直线方程为： 或 . (2) 由(1)知， 当且仅当 时，|AB|有最小值4． 解法二：由(1)知|AB|＝ ＝ ∴ |AB|min＝4 (此时sinθ＝1，θ＝90°) 变式训练2：过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无数条 D．不存在 解：B 例3. 若A(3，2)，F为抛物线 的焦点，P为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的P的坐标． 解：抛物线 的准线方程为 过P作PQ垂直于准线于Q点，由抛物线定义得|PQ|＝| PF |，∴| PF |＋| PA |＝| PA |＋| PQ | 要使| PA |＋| PQ |最小，A、P、Q三点必共线，即AQ垂直于准线，AQ与抛物线的交点为P点 从而|PA|＋|PF|的最小值为 此时P的坐标为(2，2) 1.（2008·辽宁理，10）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 . 答案 变式训练3：一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2 ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是 。 解： 例4. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线． (1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论？ (2)当直线l的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围． 解：(1)F∈l |FA|＝|FB| A、B两点到抛物线的准线的距离相等． ∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于 y1＝y2 (x1＋x2)(x1－x2)＝0 ∵x1≠x2 ∴x1＋x2＝0 即当且仅当x1＋x2＝0时，l过抛物线的焦点F． (2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－ x＋m 所以x1、x2满足方程：2x2＋ x－m＝0 且x1＋x2＝－ ，由于A、B为抛物线上不同的两点，所以△＝ ＋8m＞0，即m＞－ 设AB之中点为N(x0，y0)，则x0＝ y0＝－ x0＋m＝ ＋m 由N∈l得： ＋m＝－ ＋b 于是b＝ ＋m＞ － ＝ 即l在y轴上截距的取值范围是( ，＋ ) 变式训练4：正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C、D在抛物线y2＝x上，求正方形的面积． 设C、D的坐标分别为(y12，y1)，(y22，y2)( y1> y2)，则直线CD的斜率为1． ∴ ＝ ＝1，即y1＋y2＝1 ① 又| CD |＝ ＝ ＝ (y1－y2) | BC |＝ (y12－y1＋4恒正) 由| CD |＝| BC |，有 (y1－y2)＝ ② 解①、② 得 y1＝2或y1＝3 当y1＝2时，有| BC |＝3 ，此时SABCD＝18 当y1＝3时，有| BC |＝5 ，此时SABCD＝50 ∴ 正方形的面积为18或50． 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法． 2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化． 3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算． 4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质． 第4课时 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线） 2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：｜AB｜=————————或：—————————． 利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得 即 ． 对于双曲线、抛物线，可得类似的结论． 例1. 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点． (1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？ (2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① 显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足： a∈(－ ，－ )∪( ， ) 若A、B分别在双曲线的两支上，则有： a∈(－ ， ) (2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝ ，x1x2＝ ． ∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1 ＝a2· ＋a· ＋1＝1 ∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴ ＋1 a＝±1 此时△＞0，符合 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ． 变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值. 解：联立方程为 (1) 当a＝0时，此时方程组恰有一组解 (2) 当a≠0时，消去x得 ① 若 ＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解 ② 若 ≠0，即a≠－1，令△＝0 得1＋ ，解得a＝－ 此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－ 时，直线与曲线只有一个公共点． 例2. 已知双曲线方程2x2－y2＝2. (1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 解：(1)即设 的中点弦两端点为 ，则有关系 ．又据对称性知 ，所以 是中点弦 所在直线的斜率，由 、 在双曲线上，则有关系 ．两式相减是： ∴ ∴ 所求中点弦所在直线为 ，即 ． (2)可假定直线 存在，而求出 的方程为 ，即 方法同(1)，联立方程 ，消去y,得 然而方程的判别式 ，无实根，因此直线 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线 不存在． 变式训练2：若椭圆 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A．2 B．－2 C． D．－ 解：D 例3. 在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围． 解法一：设 、 关于直线 对称，直线 方程为 ，代入 得， ，设 、 ， 中点 ，则 ∵点 在直线 上，∴ ∴ ，代入 ，得 ，即 解得 解法二：设 ， 关于 对称，中点 ，则 相减得： ∴ ，则 ∵ 在抛物线 内部，∴ 化简而得 ，即 ，解得 ． 变式训练3：设抛物线 的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则 . 解：8 例4. 已知椭圆 ＝1(a为常数，且a>1)，向量 ＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以 为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )； (2) 若a＝2，t∈[ , 1]，求S( t )的最大值． 解：(1) 直线AB的方程为：y＝t(x＋a)， 由 得 ∴ y＝0或y＝ ∴ 点B的纵坐标为 ∴ S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB ＝ (2) 当a＝2时，S(t)＝ ＝ ∵ t∈[ ，1]，∴ 4t＋ ≥2 ＝4 当且仅当4t＝ ，t＝ 时，上式等号成立. ∴ S(t)＝ ≤ ＝2 即S(t)的最大值S(t)max＝2 变式训练4：设椭圆C： 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且 （1）求椭圆C的离心率； （2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l： 相切，求椭圆C的方程. 解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0） A（0，b）知 …2分 设 ，得 …… 因为点P在椭圆上，所以 …… 整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac， ,故椭圆的离心率e＝…… ⑵由⑴知 ， 于是F（－a，0）， Q △AQF的外接圆圆心为（ a，0），半径r=|FQ|=a……… 所以 ，解得a=2，∴c=1，b= ， 所求椭圆方程为 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况． 2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验． 3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．