用mathematica解偏微分方程

用mathematica解偏微分方程 72 第七章数学物理问题的 Mathematica求解 §7.1 偏微分方程的解析解 1．一阶偏微分方程的通解 Mathematica中的 DSolve命令也可以用来求偏微分方程的通解，使用格式为 DSolve[偏微分方程，未知函数,{自变量}]。例如，求一阶偏微分方程 0x yu u+ = 的通解，命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y]m0,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 {{u[x,y]→C[1][-x+y]}} 注意其中的 C[1]是...

72 第七章数学物理问题的 Mathematica求解 §7.1 偏微分方程的解析解 1．一阶偏微分方程的通解 Mathematica中的 DSolve命令也可以用来求偏微分方程的通解，使用格式为 DSolve[偏微分方程，未知函数,{自变量}]。例如，求一阶偏微分方程 0x yu u+ = 的通解，命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y]m0,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 {{u[x,y]→C[1][-x+y]}} 注意其中的 C[1]是一个任意函数，而不是常微分方程通解中的任意常数。上面的结果可以写成我们更习惯的方式 1( , ) ( )u x y C y x= − 上例中的一阶偏微分方程是线性齐次的，现在我们再看一个线性非齐次的偏微分方程 1/( )x yu u xy+ = ，求解的命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y]m1/(x y),u[x,y],{x,y}] 输出结果为 ::u@x, yD → −Log@xD + Log@yD+ xC@1D@−x+ yD− yC@1D@−x+ yDx− y >> 上面的结果可以写成 1 1 1 ln ln ( ) ( ) ln ln( , ) ( )x y x C y x y C y x x yu x y C y x x y x y − + + ⋅ − − ⋅ − −= = − −− − 结果中的第一项为对应齐次方程的通解，第二项为非齐次方程的特解。下面再看一个非线性的一阶偏微分方程 2x yu u u+ = ，求解的命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y]mu[x,y]^2,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 ::u@x, yD → 1−x− C@1D@−x+ yD >> 上面的结果可以写成 1 1( , ) ( ) u x y x C y x = − − − 73 2．二阶偏微分方程的通解现在，我们来看二阶偏微分方程的求解。例如求波动微分方程 2tt xxu a u= 的通解，命令语句为 DSolve[D[u[t,x],t,t]ma^2 D[u[t,x],x,x],u[t,x],{t,x}] 输出结果为 ::u@t, xD → C@1DB−"#####a2 t+ xF+ C@2DB"#####a2 t+ xF>> 注意现在通解中有 C[1]和 C[2]二个任意函数，由于 Mathematica不知道参数 a的性质，因而未对 2a 进行化简。设 a>0，写成习惯的形式为 1 2( , ) ( ) ( )u x t C x at C x at= − + + 按照方程的要求，这两个任意函数都应该存在二阶偏导数。我们也可以用 DSolve来求拉普拉斯方程 0xx yyu u+ = 的通解，命令语句为 DSolve[D[u[x,y],x,x]+D[u[x,y],y,y]m0,u[x,y],{x,y}] 输出结果为 {{u[x,y]→C[1][Ç x+y]+C[2][-Ç x+y]}} 注意现在通解中的二个任意函数 C[1]和 C[2]都应该是解析函数。不是所有的偏微分方程都可以用 DSolve 来求出通解的，例如，我们所熟悉的热传导方程 2 t xxu a u= 虽然存在形式上的通解 2( ) 41( , ) ( ) 2 x s atu x t s e ds a t ϕπ −−∞ −∞= ∫ ，但是用 DSolve命令 DSolve[D[u[t,x],t]ma^2 D[u[t,x],x,x],u[t,x],{t,x}] 得到的结果为 DSolve@uH1,0L@t, xD m a2 uH0,2L@t, xD, u@t, xD, 8t, x 内容原样输出，表明它无法按要求执行。 DSolve 通常也不能求出非齐次二阶线性偏微分方程的通解。例如，非齐次波动方程 2 tt xxu a u x− = 的求解命令为 DSolve [ D[u[x,t],x,x]+D[u[x,t],t,t]mx , u[x,t] , {x,t} ] 输出结果为 DSolve@uH0,2L@x, tD + uH2,0L@x, tDm x, u@x, tD, 8x, t, u@t, xD, 8t, x]}} 这表明Mathematica得到了一个在 [0,1], [0,0.3]x t∈ ∈ 范围内的插值函数 u(x, t)。在此基础上，我们可以用三维作图命令 Plot3D来画出插值函数的图像，命令语句为 Plot3D[Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1},{t,0,0.3}] 输出结果为 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.1 0.20 0.1 0.2 0 0.25 0.5 0.75 我们也可以用一系列的时间抽样图像来显示温度 u随着时间的演化情况，如果抽样的间隔为 0.1，命令语句如下 Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1}],{t,0,0.3,0.1}] 输出结果为 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t= 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.02 0.04 0.06 0.08 t= 76 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 t= 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 t= 虽然所显示的温度分布的图形相似，但是数值的标度范围在迅速变小，这说明物体中的温度随时间迅速下降。我们可以调整 Plot 中的参数来保持标度范围不变，如果要取作图的纵坐标范围固定为[0, 0.25]，可以设置参数为 PlotRange->{0,0.25}，命令语句为 Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1},PlotRange->{0,0.25}],{t,0,0.3,0.1}] 输出的结果为 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t= 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t= 77 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t= 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 t= 这样就可以明显地看出不同时刻的温度分布情况的变化，即温度分布随着时间的演化情况。我们也可以固定某个位置，观察温度随着时间变化的规律。如果固定位置的坐标为{0.1, 0.5, 0.9}，对应的命令语句为 Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{t,0,0.3},PlotRange->{0,0.25}],{x,0.1,0.9,0.4}] 输出的结果为 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x= 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x= 78 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x= 上面的%表示引用刚刚结束的操作结果，因此对应的命令必须紧邻，如果隔开了就会出错。为了提高用 Mathematica 解题的灵活性，我们可以给操作结果起一个名，以后可以在任何时候按名引用。例如，上面的命令组可以改写为 Solution = NDSolve [ { D[u[x,t],t]==D[u[x,t],x,x] , u[x,0] x(1　 -x) , u[0,t] 0 , u[1,t]==0 } , u , 　 {x,0,1} , {t,0,0.3} ] Table [ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[Solution]],{t,0,0.3},PlotRange->{0,0.25}] , { x,0.1,0.9,0.4} ] 2．其它热传导定解问题下面，我们再考虑几个热传导方程的定解问题。例 1 在时间范围 [0,1]t∈ 内数值求解第二类边界条件齐次泛定方程问题 0 2 0 , 0 | 0, | 0 | sin t xx x x x x t u u x u u u x π π = = =  = < < = = = 命令语句为 solution= NDSolveA9∂tu@x, tD == ∂x,xu@x, tD, u@x,0D m Sin@xD2, uH1,0L@0, tD ==0, uH1,0L@π, tD ==0=, u, 8x, 0, π<, 8t, 0, 1 = = = = 的命令语句组为 solution= uê. FirstANDSolveA9∂x,xu@x, yD+ ∂y,yu@x,yD ==0,u@x, 0D == Cos@2 π xD,uH0,1L@x, 0D == 0, u@0,yD == 1,u@1,yD ==1=,u, 8x, 0,1<, 8y,0,180] 结果得到 0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1 -2×109 0 2×109 0 0.25 0.5 0.75 NDSolve命令还可以用来求解非线性问题。例如，求定解问题 0 1 0 , 0 1 | | | sin 2 t x x x t u uu x u u u xπ = = = = − < < = = 的命令语句组为 solution= uê. First@NDSolve@8∂tu@x, tD == −u@x,tD ∂xu@x, tD,u@x,0D == Sin@2 π xD,u@0,tD ==u@1,tD<,8u<, 8x,0,1<, 8t,0, .5]}} 追加一个绘图命令 Plot3D[Evaluate[u[t,x]/.First[solution]],{t,0,10},{x,-10,10},PlotPoints→80] 得到输出结果为 0 2 4 6 8 10 -10 -5 0 5 10 -1 0 1 0 2 4 6 8 我们也可以用下面的命令来绘制一张平面的灰度图 DensityPlot[Evaluate[u[10-t,x]/.First[solution]],{x,-10,10},{t,0,10},PlotPoints→200,Mesh→False] 85 结果得到 -10 -5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 §7.3 拉普拉斯变换方法 1．典型案例利用拉普拉斯变换也可以求解偏微分方程。例如，下面的热传导问题 0 4 0 , 0 4 | 0, | 0 | 6sin( / 2) 3sin t xx x x t u u x u u u x xπ π = = = = < < = = = + 对时间变量 t作拉普拉斯变换，得到 ( ) 6sin( / 2) 3sin ''( ), 0 4 (0) 0, (4) 0 sU x x x U x x U U π π− + = < < = = 其中 ( )U x 为 ( , )u x t 的拉普拉斯变换。由上式解出 ( )U x 后，再作拉普拉斯变换的逆变换，得到 ( , )u x t 。这个过程的Mathematica语句如下 eq= ∂tu@x, tD == ∂x,xu@x, tD;e1 = LaplaceTransform@eq,t, sD e2= e1ê. 9u@x,0D→ 6 Sin@π xê2D +3 Sin@π xD, LaplaceTransform@u@x,tD,t,sD → U@xD, LaplaceTransformAuH2,0L@x,tD,t, sE→ D@U@xD, 8x,2

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