高等数学中求极限几种常见方法

高等数学中求极限几种常见方法第 l3卷第 6期 2005年 1 2月呼伦贝尔学院学报 ournal of Hulunbeir C0n No．6 V0I_13 Published in December．2oo5 高等数学中求极限几种常见方法林新和 (呼伦贝尔学院数学系内蒙古海拉尔区 021008) 摘要：极限概念在高数的基本概念中占有重要地位，高数中比较重要而又常见的计算便是求解极限。本文把授课中常见的求极限方法加以归纳，目的使学生学*-7极限知识时提高学习效率。关键词：极限；概念；方法...

第 l3卷第 6期 2005年 1 2月呼伦贝尔学院学报 ournal of Hulunbeir C0n No．6 V0I_13 Published in December．2oo5 高等数学中求极限几种常见方法林新和 (呼伦贝尔学院数学系内蒙古海拉尔区 021008) 摘要：极限概念在高数的基本概念中占有重要地位，高数中比较重要而又常见的计算便是求解极限。本文把授课中常见的求极限方法加以归纳，目的使学生学*-7极限知识时提高学习效率。关键词：极限；概念；方法中图分类号：0171 文献标识码：A 文章编号：1009-4601(2005)06-0102-03 1、据极限定义求极限例题：求证 l-肌q =0，(其中 I q I<1) 证明：已知 I q I< 1，则存在口>0，使 I q I= — ，对任意 s>0，根据二项式定理：放大、再解不等式 I q o I_ l q I，I 1 得 ≥ ，取N=[ ]，对任意s>o，总存在自然数 N=[ ]，当 ≥N时，有 I q 一O l s，即 li q =O．一 ■— ∞ 用定义求极限虽说是最基本的求极限的方法，但由于证明比较烦琐，故一般不采取这种方法。高数中许多定理、法则给我们提供了很多简单的求极限的方法。 2、利用单调有界公理求极限例题求1．肌√3√3⋯ n—÷∞ 证明：设 zl=√3，x2=√3√3，⋯⋯，z = √3~／3⋯ 有z = 1)证明{z }有界，显然zl=√3 3，设z 3，则 z +l= _3 3，所以{z }有上界。 2)证明{z }单调增加。因为Xn+l—z =佤 =罢冬= 。，(工 ≤3)，所以{z }单调，所以存在极限，设 lim 、 x = 口 = lim 、 x +l，因为 z +l= ~／3x ，所以口=√3a，a=O(舍去)或口=3，所以 lim√3~／3⋯,／3=3 3、用乘子法求极限例题：设 I z I< 1，求lim(1+z)(1+x )(1+x )⋯(1+x ) 解：因为(1一z)(1+z)(1+z )⋯(1+x )= 1-x2 + 当 I z I< 1时，原式： lim ： ∞ i 一工上 1一 z’ 4、用有理化分子、分母求极限例题：求lim(~／x2+x+1一、／／z 一z+1) 解：原式 1 ；葡 1 (、／z‘+z十一~／z‘一z+ ) ： lim—_=============— ．_———======== =1 √-+ + 1+／1一 + 1 5、利用夹逼定理求极限收稿日期：2005一O5一l1 ．．．．柞著简介：林新和(1964一)，男，呼伦贝尔学院数学系讲师，从事基础数学教育教学研究。 · 102 - 维普资讯 http://www.cqvip.com 定理：若存在自然数 N，当 >N时，总有口 <6n< 且口姆 =z，则有 b =l n—，0 —^'曲。．— ∞“ 2 [~JO —lim蠢 -o， )=0。例题2：求I zI l —^÷∞ L Z J 解：任意z≠0，则一1 [ ‘]≤ ，根据取整函数性质z一1< [z]0，则z( 一1) z[ ] 1，若z 0 n +1) 。 103 · ， ●‘- 吕阜 =1 ：：= ．r1 求．i ．■J 一^ 题力～～， lj 式原 4—4 直维普资讯 http://www.cqvip.com 解．原式姆毒 =J-。137 = 上口 + 1 12、利用积分中值定理求极限例题：求lim=I 例出解：V￡>0，<号，∞s ∈[￡，号J，由积分中值定理得一：J-： + 妇 J-：-如 +(号一￡) ，上不等式≤ ￡+( 一￡)￡所以，I岫=I 出=0 13、利用数列递推关系求极限例题：设 l≥ 2≥ o~a2k+l：，口2^ a2k-la2k-2 证{口 }收敛证明：往证{口2^}单调递增且有上界。{a2k—l}单调递减且有下界，且 a2k 姆a2k—l， a2≤ a3= a2 a4=~／a2a3 a3，且口2 口4 a3 al，类似，口4 a3：：：~tl4 a6 a5 a3，由归纳法知，a2 a4≤ 口6 ⋯ 口2K 口2K—l ⋯ a 3 a l，即偶子列{口2^}单增有上界口l，奇子列{口2^一l}单减有下界口，，故均收敛。设 a2k----)fl，a2k—l 口，所以，口22^ =a2k—la2k一2 两端取极限 = ，卢(卢一口)=o，所以，卢=口≥ 0。所以证{口 }收敛，即存在极限 l4、利用斯托兹(Stolz)定理求极限例题：若口 =口，则了__二 =口 T ⋯ ‘t- ⋯ 一口1 口 + + ⋯ + 证：往证lim — ——— ：。 — ∞ 口根据 Stolz定理上 + +⋯ + 1 ．口1 口2 口 ^ Ilm 一 — ÷∞ ，z ． 1 口 1 。 + +-．‘+ )-( +．．。+ ) = ( — — -^÷∞ 一～，z一 1 ．．口" 1 Bm ■ 一 — ÷∞ 1 口所以，原式 =口。参考文献： [1]刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．高等教育出版社． 2oo3，第三版．【2]华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社， 2001，第三版． (上接第98页)口语交际能力学习完课文之后，根据课文的特点，教师可以组织学生通过双人、小组或全班活动的形式，进行简单的讨论，戏剧表演，扮演角色等以提高学生的学习兴趣。 (三)运用课文培养学生的书面表达能力教师在教学过程中应努力使学生高度重视英语写作。引导学生树立提高英语写作能力的信心。让学生对已学的课文进行缩写、改写、续写、模仿写或对课文中的某个人物、事件、观点进行简单的评析。这样既能巩固所学的知识，又能培养学生综合运用知识的能力。总之，培养阅读能力，掌握阅读方法是教学中应该长期坚持的，只有经过不懈努力才能取得好的 · 104 · 效果。作为教师，要不断地更新教育观念，不断研究，学习教育学理论，不断地进行教改尝试，以新的教学理论为指导，以21世纪对人才的要求为目标，从远处着眼，从近处着手，切实通过课堂教学这条主渠道，认真地指导学生的学习方法，培养学生的创新意识，提高他们的创新能力。参考文献： [1]杭宝桐．中学英语教学法[M】．华东师范大学出版社出版．1988． [2]英语教育专业教学大纲[M]．东北师范大学出版社， 1992．【3]外语教育心理学[M]．安徽教育出版社，1986． [4)Albert J．Harris．How tO Increase Reading Ability[M)． 1948． [5]Fry．Edward．Teaching Faster Reading[M]．Cambridge University Press，1963．维普资讯 http://www.cqvip.com

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