变式教学：促进有效的数学学习的中国方式

变式教学：促进有效的数学学习的中国方式 口顾泠沅 黄荣金 费兰伦斯·马顿(MAR r0N Ference) 自20世纪80年代以来，许多中国 中小学生参加的有关数学成绩的国 际比较研究一直重复着矛盾的结果。 一 方面，许多研究 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，中国学 生无论在数学成绩国际比较中，还是 在国际奥林匹克数学竞赛中，表现都 优于西方学生。另一方面，许多西方 研究者发现中国的学习环境不太可 能产生“好的学习”，比如 ，根据教学 方法，中国的学习环境被形容为“被 动灌输”和“机械t¨I练”，认为这种形 式的教学是教师控制下的学生被动 学习。相当于一个受人尊敬的长者把 知识传授给一个驯服的年轻人。因 此，这表明中国的数学教学是相当传 统和保守的。 针对这种“矛盾”情况，西方学者 给出了诸多解释。那么，作为局内人， 能否对我国有效的数学学习提出更合 理的解释呢?为此，我们聚焦变式教学。 一 、变式教学的分类和教学含义 变式教学在中国由来已久，并被 广大教师自觉或不自觉地应用着。在 运用前人经验和实验的基础上，顾泠 沅系统地 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和综合了变式教学的 概念。他确认和说叽俩种变式：“概 念性变式”和“过程性变式”。 1．概念性变式 ：对概念的多角度 理解 变式教学是在教学中使学生确 切掌握概念的重要方法之一。即在教 学中用不同形式的直观材料或事例 说明事物的本质属性，或变换同类事 物的非本质特征以突出事物的本质 特征。目的在于使学生理解哪些是事 物的本质特征，哪些是事物的非本质 特征，从而对一事物形成科学概念 (M．Cu，1999)。 传统意义上的概念性变式主要 包括以下两类变式 ：一类是改变概念 的外延，称为概念变式 ；另一类是改 变一些能混淆概念外延的属性，比如 举反例，称为非概念变式。这两种变 式构成“概念性变式”，目的是让学生 获得对概念的多角度理解。下面的例 子可以说明这两种变式的作用。 (1)通过直观或具体的变式引入 概念 数学概念的一个基本特征是抽 象性，但许多概念来源于现实世界的 物理背景。因此，概念引入教学的关 键是允许学生具有具体直观的经验 ， 使他们能够建立起抽象概念和感性 经验之间的联系。 以“两条直线异面”概念的教学 为例。实践表明，学习这一概念有如 下难点：(1)概念的定义比较抽象，学 生不易理解；(2)异面直线属于三维 图像，用平面直观图去表示难免会造 成视觉上的失真，因此概念的对象 (即外延)就难以鉴别。为了解决这两 个难点，有经验的教师通常会借助下 面两类变式：一是通过日常生活中的 直观材料(见图1(1))组织已有的感 性经验，使学生理解概念的具体含 义；另一则是利用不同的图形变式作 为直观材料和抽象概念之间的过渡。 通过第二种变式 ，帮助学生把已有的 一 一 — — 图1(。1) 图1(2) 这里必须强调的是，在概念的引 入阶段，具体或直观的变式主要是为 了帮助学生建立感性经验和抽象概 念之间的联系。由于数学概念的本质 是抽象的，因此，在教学的适当阶段 还应尽可能地摆脱具体或直观的背 景，使概念上升到抽象的水平。 另外，数学概念具有不同的抽象 水平。数学概念是抽象的还是具体的 是相对而言的，例如，为了说明“方 程”概念的本质属性是“含有未知数 的等式”，可以使用以下的概念变式： 2x=l，÷+l-2，4x-3=5，3x+4y=12， X-1=0，X+y=1 o 尽管这些变式是抽象的代数符 号表达式，但相对于方程概念采说则 是具体的。 (2)通过非 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式突出概念的 本质属性 既然数学概念包含清晰的外延， 掌握一个概念就意味着能够分辨一 个对象是否属于概念的外延集合。因 云南教育·中学教师 200"／·3● 维普资讯 http://www.cqvip.com 此，教概念的一种有效途径就是通过 类化不同变式的共同属性而突出概 念的本质属性。 在概念的外延集合中，尽管从逻 辑的角度看，每个对象都是等价的，其 实有些对象具有特殊地位。比如，一些 对象，由于受到感性经验的影响，或者 在引入概念时先人为主，进而成为某 种相关概念的标准形式。如图2。 嚣_l- △ >＼◇ 图 2 几何概念的标准和非标 准的图形变式 标准形式虽然有利于学生对概 念的准确把握，但也很容易限制思维 的灵活性，甚至不恰当地缩小概念的 外延?解决这个问题的一种有效方法 是充分利用非标准形式，通过变换概 念的非本质属性，突出其本质属性。 (3)非概念变式 概念的内涵和外延是对立统一的。 内涵明确贝『J夕 延清晰，反之亦然。因此概 念的教学需明晰概念的内涵，并对概念 的外延集合有—个清晰的界定。不同概 念之间的关系可以用图3表示。 图3 概念之间的关系 该图显示了不同概念之间的关 系。比如，B是A的上位概念，C是A的 下位概念 ，A和D是相交关 系．A和E 则是矛盾的。因此，要明确概念的外 延就必须划清概念与其周边概念之 间的界限。 使用“非概念变式”可以有效地 达到这一目的。比如，在平面几何 中，通过比较非概念图形和概念图 形，可以直观地理解概念的本质属 性 ，如图4。 _乏图形 苎!童堕兰 一 X >< >< ⑧ 图4 用于概念辨析的非概念图 形变式(LCu，1981) 非概念图形变式的形式有很多， 反例变式是其中常用的一种，如图5。 @ Jt'-径垂直 对角线 村j垂直 的直线是网 的四边形一一定是 的切线 菱肜【ll57 5 反例 左边的 彤清楚地表明直线与 半径垂直却不一定 相切，右边的 图形则令人信服地表示f}{对角线互 相垂直的四边形不一定是菱形。 2．过稗性变式 ：数学活动的有层 次推进 数学教学包括两种类型的活动： 一 种是教陈述性知识(即概念 )，另一 种是教程序性知识(即过程 )。由于程 序性知识 (问题解决和元认知策略) 是动态的，采用静止的概念性变式不 能促进其学习过程。因此，顾泠沅提 H{了“过程性变式”，推广了变式的概 念来解决程序性知识的教学。 数学活动过程的基本特征是层 次性，它包含为解决问题而采用的一 系列不同步骤和策略。采用过 性变 式，学生能够解决问题，并形成不同 概念之间的层次关系或获得多种方 法。下面将阐述过程性变式的作用。 (1)促进概念的形成 概念被认为是静止对象时，概 念性变式足 皂有成效的教学方法。然 而，如果概念是通过一系列过程的发 展而形成的，那么对过程的理解也是 掌握概念的重要方面。为了掌握概念， 允许学生体验概念的形成过程，尤其 是引入新概念的必要性，是很有帮助 的。例如“方程”概念的教学，主要有两 个困难：一是“平衡”的思想，二是未知 数的含义。如果我们只是让学生记住 方程的定义 “含有未知数的等式称为 方程”，并给出一些具体的概念l生变式 让学生鉴别的话 ，学生通常能够鉴别 哪些是方程，哪些不是，但这时候学生 对方程的理解是形式的、外延的，并没 有真正理解概念的本质属性。有经验 的教师会采用“过程性变式”来帮助学 生逐步地建立方程的概念。 铺垫一：f1．~-．tk的事物表示未知量 比如，“小明花 了丽元钱买了=三 块橡皮，结果找给他两角钱。问：每块 橡皮多少钱?”这个问题f叮以形象地 表示如下： 2元一咖 =2角或2元一3口=2角 (1) 铺垫二：用简记符号表示未知量 2元一3x=2角 (2) 或者20-'-3x=2， (3) 以一L三种表达式的某种意义上 反映了代数符号系统发展的三个阶 段 ：象形代数、简写代数和符号代数。 此过程不仅可以帮助学生体验到用 符号代替具体数字的简洁性，同时也 建立了“方程”概念的具体模型。但是 在这个阶段，对未知量的理解仍然停 留在具体对象上。比如，学生会把上 述(2)，(3)两式中的x与橡皮的具体 价格联系起来，而不是看作一般化的 符号。为了发展关于x的抽象概念，设 置下述铺垫大有帮助。 铺垫三：用符号“口”替换x， 20—3口：2 (4) 尽管从形式上看，从(3)到(4)离 “方 式”的写法似 、乎远了，但实际 上，(4)式中的“口”更具有一般意义。 它可以被想象成一个呵在其中填写 数字的方框 ，进而让学生在框内填 数，使等号丽边相同。用这种方法使 学生理解这个数字就是未知数的值。 云南教育·中学教师 2007·3 维普资讯 http://www.cqvip.com 因此，(3)是(4)的一个特例。而且，用 这种方法可以帮助学生理解(3)式中 的X不是代表某个特定的对象，而是 像(4)式中的“口”一样可以代表任何 数字。通过这个游戏，学生不仅理解 了“未知数”的本质，还体会了平衡的 基本思想。 过程性变式和概念性变式有本 质的区别。前者的目的是提供逐步形 成概念的过程 ，而后者是为了从多种 角度来理解某一概念。 (2)问题解决的铺垫 数学问题解决的一个基本思路 是把没有解决的问题化归为已经解 决的问题 ，复杂的问题化归为简单的 问题。由于在未解决问题(复杂问题 ) 和解决了的简单问题之间没有清晰 的联系，因此有必要为了完成这种化 归设置一些路径。这一转换过程可以 用图6来表示。 图6 解决问题的变式 运用变式为化归作铺垫是中国 教师引导学生进行问题解决的关键 环节。学生的数学活动经验在一定程 度上的就体现在变式问题的丰富性 以及化归策略的多样性上。 我们发现，通过对问题的多层次 的变式构造，不仅可以使学生对问题 解决过程及问题本质的结构有一个 清晰的认识，而且也能有效地帮助学 生积累问题解决的经验和提高解决 其他问题的能力。 (3)构建数学经验体系 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 过程性变式的目的是增加活 动途径的多样性和活动过程的层次 性。每个数学活动都包含一个或一系 列过程性变式，这些变式包括化归或 探索的步骤和策略。所有这些变式构 成一个有层次策略的经验系统，并可 以内化为认知结构的—个重要部分。 知识体系(概念体系 )反映蕴涵 概念命题的逻辑结构 ，而经验系统 (即过程)则反映学习者主观的问题 解决的特定经验。两者合起来就构成 了认知结构。经验系统的丰富性和有 效性对于完善认知结构极为重要。 构建特定经验系统的变式 (即过 程能力)来自问题解决的--'I"-维度。(1) 改变某一问题：改变初始问题成为一 个铺垫，或者通过改变条件、改变结论 和推广结论来拓展初始问题。(2)同一 个问题的不同解决过程作为变式 ，形 成一个问题的多种解决方法，从而联 结各种不同的解决方法。(3)同一方法 解决多种问题，将某种特定的方法用 于解决一类相似的问题。 简而言之，在概念形成的过程 中，过程性变式反映了概念形成的逻 辑过程、历史过程和心理过程 ，从而 使学生的学习可循序渐进地进行。在 问题解决的过程中，过程性变式既可 表现为一系列用于铺垫的命题或概 念。也可表现为某种活动的策略和经 验，从而使学生的问题解决活动具有 多个层次或者多种途径。在形成认知 结构的过程中，过程性变式创造了一 个多层次的经验和策略系统；这样， 片断的、零散的经验活动就构成一个 有机整体。 二、理论解释 显然 ，基于变式的中国数学学习 方式，绝不是局外人所认为的“机械 记忆”“无意义学习”，实是高效的有 意义学习。有意义学习理论的创建者 奥苏 尔断言 ，只有建立学习者新旧 知识的合理和实质性的联系，有意义 学习才可能发生。 通过使用“概念性变式”，学生可 以多角度地理解概念：从具体到抽 象，从特殊到一般，通过排除背景干 扰，突出概念的本质属性 ，阐明概念 的内涵。这样，通过概念性变式教学 可以帮助学生理解概念的本质和建 立本质的联系。 通过使用“过程性变式”，学生可 以理解知识的起源以及用什么方法 和在什么地方运用它们。这样良好的 知识结构得以建立。通过使用这种变 式，帮助学生形成概念，解决问题 ，构 建一个活动经验系统 ，进一步可以帮 助学生理解知识的不同组成部分和 完善知识结构；同时 ，建立新旧知识 的合理本质的联系。 如何判断学生是否真正建立 了 新旧知识的本质联系呢?一种有效的 手段就是给学生提供一组变式问题 和解决这些问题必要的知识。如果学 生可以正确地解答这些问题 ，我们就 可以断言学生已经理解了这概念。 三、启示和讨论 1．反思中国数学课堂 如上文所分析的，变式教学，一种 在中国盛行的数学教学方法，满足了 数学教学的两个目标：(1)通过使用概 念性变式，从多角度理解数学对象(概 念和原理)；(2)采用过程f生变式开展有 层次的数学活动。基于上述观点，以下 将讨论中国数学课堂教学的特征。 中国数学课堂强调数学学科知 识的系统建构，设计恰当的“潜在距 离”和变异空间是构成有效教学的关 键。中国课堂教学的表面现象，如大 班教学，教师控制整个班级活动，教 师倾向于清晰而高效地讲授内容，可 能会导致西方研究者认为中国课堂 是以教师为中心的灌输式教学。然 而，如果深入调查课堂的组织和学生 在课堂中的参与，就可发现即使是大 班教学，由于采用了变式教学策略， 学生仍然能够积极参与到课堂学习 中去并进行有意义学习。而且，运用 一 些变式的策略，可以避免机械训 练。因此，“中国学习者悖论”的根源 云南教育·中学教师 2007·3 维普资讯 http://www.cqvip.com 可能在于西方学者受他们的哲学和 教学理论限制而形成的错误印象。 2．讨论 基于从变式教学角度对中国课 堂教学的分析，我们提炼出中国数学 课堂教学的一些特征，解读了“中国 学习者”悖论。因而，我们认为，正是 通过恰当的变式教学 ，才使得中国数 学课堂教学成为有意义学习；也正是 对变式教学的不恰当应用 ，使数学课 堂教学成为被动灌输和机械操练。 当然，有人可能这样认为，这仅 仅是在中国某一地区发展起来的一 种数学教学方法 ，不能作为整个“中 国教学”的代表。但是，我们不应忘 记，我们主要是通过归纳得到此方 法，因此它主要是试图描述而不是规 定中国数学教学实践的特性。再者， 马顿等人指出，在中国的教学环境 中，被认为是好的教学实践必然包括 变异不变异模式。否则，学生就不能 学到要求他们掌握的内容以及处理 他们在现实世界遇到的各种事物。 成功教师自觉或不 自觉地应用 着这些原理 。通过对它们的清晰阐 述，其他人可以学习，并在以后的教 学中发展 自己的教学能力。 (1)关注探索：铺设适当的潜在 距离 中国传统课堂教学强调学科 内 容的系统性。教师在课堂教学中占有 主导地位。通过一定的变式教学策略 可以帮助学生系统地、有效地理解和 掌握学科知识。然而，一些国际比较 研究显示，与西方学生相比，尽管中 国学生在解决常规问题上有相当的 优势 ，但是在解决应用题、开放性问 题上则表现平平。我们要认识到，如 果变式教学运用不当，比如不完善的 铺垫呈现得太慢，学生将感觉不到学 习的挑战性而消极厌学。因此 ，我们 必须认识到知识探究 、解决应用题和 开放题的重要性。从变式教学的角度 看，这些可以整合到教学的过程中。 通过设计较远的潜在距离或较大跨 度的铺垫，学习过程变得更具有挑战 性 ，并且通过解决开放性问题 ．可以 提高创造性的问题解决能力。 (2)关注体验 ：建构适当的变异 空间 ‘学 习的空间”包含学习对象各种 关键特征的不同维度上的变异，使学习 行为可能发生并受到约束。这个学习空 间的丰富程度影响着学生对学习对象 理解的深度和广度。如果这个空间太窄， 它将提供不完整的学习条件，导致学生 对学习对象理解的偏差。反之，如果这个 空间太宽，虽然可以提供更丰富的探究 可能陛，但也会分散学生学习的注意力， 从而影响对概念本质性的理解和掌握。 因此，在变式教学中，师生共同构造—个 恰当的学习空间将有助于获得探究性 的有意义学习。 从更广义的角度看，为了使学生为 未来的变化的环境作准备。我们必须通 过学校学习阶段创造机会，让他们学会 面对环境的各种关键因素的变异。 (摘 自《时代数学学习》：教研版 (南京)．2006．7) 测 测 的 幽 黑犬感 你用新鲜的水果与生菜，再淋 上优酪乳做成的美味沙拉，最后你 会选择哪种颜色的盘子来装? A．，纯白色 B．草绿色 C．艳红色 D．透明色 A．冷面笑匠型 走高雅气质路线的你，平常一 颦一笑都以不引起大家注意为最高 指导原则，像说笑话这种事情，通常 就交给丑角去做就可以了。这是大 家平日对你的印象，但是真实的你， 可说是一位冷面笑匠，正当大家开 玩笑在兴头上时，你突然插进的一 句话，却最叫大家喷饭，而你不动声 色的颜面表情 ，还是维持一副优雅 的形象，让大家对你又爱又恨。 B公私分明型 平常你在与人交往的时候，不 苟言笑，正经八百的样子颇为唬人， 带点神经质，没有人敢在这时候在你 太岁头上开玩笑，因此刚认识你的同 学通常觉得你有点难亲近，缺乏幽默 感。但是只要你一放松，到了你所熟 悉的环境，你就会肆无忌惮地表现真 我，说些带点亲切感、生活化的小故 事或小笑话，让人觉得你可爱多了! C．喜剧演员型 其实呢，你也没有刻意搞笑，原 本只想随便说说笑话，没想到笑死别 人这么多细胞，真可说是“笑”果浑然 天成，是个天生的搞笑专家。而且你 的反应很快，很容易抓住别人的小缺 点，只要别人一出错，你一定拼命取 笑别人，让别人对你又好气，又好笑， 一 边觉得你讨厌，一边又觉得你可 爱，拿你没办法。而且你的笑话充满 厉袍U性，很少学吴宗宪或周星驰式的 笑话，可说是创意十足，幽默感满分。 D．另类思考型 你的笑话总带点另类的成分，所 谓的冷笑话就是你的style。真不知道 你的脑子里装了什么怪异的思想，别 人眼中正常的事物，到了你的嘴边， 总有办法从反面来看待，说出的笑话 不仅好笑，简直可以训练人做脑筋急 转弯，非常有益思考。不过，有些长辈 可能无法领略你的笑话之美，只用 “无厘头、胡闹”来形容你，这时候奉 劝你先装一下正经，等回到同辈之 间，再施展你另类的幽默感，放心，你 的观众可是非常期待你的演出的。 (摘自 《中小学心理健康}2007 年总第73期) 云南教育·中学教师 2007·3 维普资讯 http://www.cqvip.com