第二讲 速算与巧算

讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 奥数讲义组 第二讲 速算与巧算（二） 教学目标 本节课学习根据数的某些特点及运算定律、性质、 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 等，把常规的计算转化为简便的计算. 在秋季的学习中，学生已经会正确地熟练地运用加减法的运算规律和性质，选用合理的、灵活的计算方 法进行速算.本节课在以前学习的基础上对加减法的速算进行巩固与拓展，并初步介绍乘法速算方法. 学而思教育 08 年寒假 三 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 提高班 第二讲 教师版 Page 11 冬冬、亮亮、小刚和明明四人玩射箭游戏，下面是他们各 射完两次的成绩，他们前两次分别可能射到多少分呢?你能一 一列出不同的组合吗?当他们第三次射完后，成绩达到 1200 分 的人可得到一份奖品，你知道谁可能得奖吗? 前两次积分： 东东：800 分 小刚：600 分 亮亮：500 分 明明：750 分 分析：这个活动的目的是锻炼学生凑整的能力，并激发他们的思考空间. 只要从靶上找到两个数可以凑成所给的积分，就是一种成功的组合.可以从最大数或最小数开始，依序 排列列举，看看分别有多少种不同的组合.别忘了 0 的存在.第三次每人分别射中多少分就能夺标呢? 冬冬前两次可能得分(500、300)(300、500) (400、400)，有 3 种组合. 亮亮有 7 种组合，小刚有 7 种组合，明明有 4 种组合，请你试着自己写出来. 冬冬和明明都有可能得奖. 亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己 变得更聪明吗？你想拥有更多的时间去做自己喜欢的事吗？那么学习了 一些速算技巧后你就可以把这些变成现实.来吧，让我们一起试试吧！ 你还记得吗？ 之前我们已经学习过了一些速算巧算的方法，首先我们对这些知识进行复习巩固. （1） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. （2） 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再 与第一个数相加，它们的和不变. （3） 在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 的运算符号“搬家”. （4） 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的 运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变 为“－”，“－”变为“＋”. （5） 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算 符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－” 变为“＋”. 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 12 1. 多位数连加要凑整，计算起来快又准，快试一下吧. 278＋353＋22 （1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650） 分析：（1）原式＝（278＋22）＋353＝300＋353＝653 （2）原式＝1350＋49＋68＋51＋32＋1650＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32） ＝3000＋100＋100＝3200 2. 巧算方法多，添个括号不一样. 756－248－352 894－89－11－95－5－94 分析：（1）原式＝756－（248＋352）＝756－600＝156 （2）原式＝（894－94）－（89＋11）－（95＋5）＝800－100－100＝600 专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 精讲 （一） 加、减法中的速算与巧算 一、凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千…… 的数，再将各组的结果相加. 1. 移位凑整法.先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加. 2. 借数凑整法.有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整. 3. 分组凑整法.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与 被减数有相同尾数的减数.“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就 把其中的一个数叫做另一个数的“补数”. 二、找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要 注意把多加的数减去，把少加的数加上） 有些计算题需要我们通过观察数，运用数的特征来进行速算与巧算.加减运算要熟练和准 确，不但要会笔算，还要会心算.心算是一种思维能力.心算好，脑子里能盘算的问题就多.这 就要求我们要熟练运用运算性质，并锻炼观察分辨数字特征的本领. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 例1 （学而思题库） 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 13 78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85 分析：同学们要注意，当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为 “基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退 少补”，修正过来. 原式＝（80－2）＋（80－4）＋（80＋3）＋（80＋2）＋（80－3）＋80＋（80－1）＋（80＋5） ＝80×8－2－4＋3＋2－3＋0－1＋5＝640 [巩固]计算 1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002＋2003 分析：原式＝2000×7＝14000 例2 （学而思题库）下面这道题的所有加数都是很有特点的，仔细观察，快速计算，其实并不难. 199999＋19999＋1999＋199＋19 分析：（方法一）由于此题的各个加数恰好接近整十、整百、整千……把每个加数加上 1 后就凑成了整 十、整百、整千……然后从总和中减去 5 个补数的和. 原式＝(200000－1)＋(20000－1)＋(2000－1)＋(200－1)＋(20－1) ＝222220－5＝222215 （方法二）把加数 19 分解成 15＋1＋1＋1＋1，然后运用加法交换律和结合律进行巧算 原式＝199999＋19999＋1999＋199＋15＋1＋1＋1＋1 ＝（199999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋15 ＝200000＋20000＋2000＋200＋15＝222215 同学们，在秋季我们已经系统全面的学习过凑整的数学方法，当遇到数字比较多的计算 题时，千万不要慌张，仔细审题，选择合适的方法进行巧算. 例3 （学而思题库）张老师带着 600 元钱去商店买文具用品，依次花掉 50 元、90 元、80 元、70 元、60 元、50 元、40 元、30 元、20 元、10 元，你能快速算出最后张老师还剩多少钱吗？ 600－50－90－80－70－60－50－40－30－20－10 分析：这道题可用移位凑整法来速算，题中的十个减数可移位凑成五个 100. 原式＝600－(50＋50)－(90＋10)－(80＋20)－(70＋30)－(60＋40) ＝600－100×5 ＝100 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 [拓展]1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9 分析：这道题用“移位凑整”的方法来速算就简单多了.把题目的 18 个减数移位后凑成 9 个 100，从而 达到巧算的目的. 1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9 ＝1000－(91＋1＋92＋2＋93＋3＋94＋4＋95＋5＋96＋6＋97＋7＋98＋8＋99＋9) ＝1000－[(91＋9)＋(92＋8)＋(93＋7)＋(94＋6)＋(95＋5)＋(96＋4)＋(97＋3)＋(98＋2)＋(99＋1)] ＝1000－(100×9) ＝1000－900＝100 在加减法混合算式与连减算式中，将减数先结合起来，集中一次相减，可简化运算. 例4 (2001 年“我爱数学”夏令营计算竞赛试题)竞赛题不可怕，移位凑整好方法. (1＋11＋21＋31＋41)＋(9＋19＋29＋39＋49) 分析：把第一个括号内的加数与第二个括号内的加数适当配对，1＋49＝50，11＋39＝50，21＋29＝50…… 每对数的和为 50，共 5 对. 原式＝(1＋49)＋(11＋39)＋(21＋29)＋(31＋19)＋(41＋9) ＝50×5＝250 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 14 在一个晚会上，萧伯纳正在专心地想他的心事.坐在旁边的一个富翁不禁感到好奇，就问道：“萧 伯纳先生，我愿出一美元，来打听你在想些什么.” “真抱歉，”萧伯纳回答说：“我想的东西真的不值一块钱.” 富翁更加好奇了：“那么，你究竟在想什么呢？” 萧伯纳不动声色地回答道：“我正在想着您啊！” 例5 （学而思题库）连续数字相加也是可以巧算的，不信的话请试试看吧. 1＋2＋3＋…＋18＋19＋20 分析：通过观察这道题我们会发现，所有的加数是一些连续的数按顺序排列着，每相邻两数的差都相等， 求这列连续数的和.可采用“移位分组”的方法解.我们把 1 和 20，2 和 19，3 和 18……两个数一组； 每组两个数的和都是 21；有 20 个数，每两个数一组，共有 10 组.因此，解法有二. （方法一）原式＝(1＋20)＋(2＋19)＋(3＋18)＋…＋(9＋12)＋(10＋11) ＝21×10＝210 一般地，像这样一类题，一列数的第一个数称为首项，最后一个数称为末项，这列数的个数称为项 数.可归纳为一列连续数的和＝(首项＋末项)×项数÷2 （方法二）原式＝(1＋20)×20÷2＝21×20÷2＝210 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 15 传说大数学家卡尔·弗里得利希·高斯(1777－1855)在很小的时候，就表现出非凡的数学才能. 他 10 岁那一年，还是一个小学生.在一次算术课上，老师给所有的学生出一道题目：1＋2＋3＋…＋100 一共等于多少？看谁算得快.老师刚把题目说完，小高斯就举起了手发言：这一百个数的和是 5050. 同学们听到小高斯这样快得出结果，都用惊异与怀疑的目光看着他.只有老师心中明白，这个答案 是对的，是 5050.但是小高斯是怎样算出来的呢？连老师也有些惊异和怀疑了.小高斯告诉大家，他发 现从 1～100 这一百个数，有一个奇妙的特性，那就是依次把头尾两个加起来都等于 101，而这样的数 刚好有 50 对，那么，也就是在 1 到 100 这一百个数中共有 50 对 101，因此，这一百个数的总和就是 50 ×101＝5050.那就让我们看看这一百个数吧： 不正是小高斯所发现的情形吗？很多有名的数学家和科学家，他们都是从小就非常细心地观察和注 意周围发生的各种现象，从这些现象里得到启示，因而后来有了重大的发现和发明. 例6 （学而思题库） 掌握刚学过的公式了吗？检验一下吧. 4＋6＋8＋10＋…＋32＋34＋36 分析：这列数的首项是 4，末项是 36.每相邻两数的差都是 2，这列数一共有 17 个数，故项数是 17.这 道题是求相邻差为 2 的 17 个连续自然数的和，可以这样解. 原式＝(4＋36)×17÷2 ＝40×17÷2 ＝340 [拓展]177－2－5－8－11－14－17－20 分析：从 177 中连续减去几个数，可以先把所有的减数相加，再从被减数中减去它们的和.而这连续的 几个减数，由于相邻两个数相差 3，所以可以把求这几个减数的和看成是求相邻差为 3 的连续数的和， 首项为 2，末项为 20，项数为 7，因此，可以这样解. 原式＝177－(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20) ＝177－(2＋20)×7÷2 ＝177－77 ＝100 例7 （学而思题库）看到下面的算式不要害怕，仔细考虑，相信你可以找到巧算的方法的. （1＋3＋5＋7＋…＋99）－（2＋4＋6＋…＋98） 分析：算式中只有加减法运算，可以去掉括号重新组合，1～99 共 99 个数，奇数有 50 个， 偶数有 49 个，除 1 以外，将剩余的 49 个奇数和 49 个偶数两两分组重新组合，这样每相 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 邻的两个数的差都是 1. 原式＝1＋3＋5＋7＋…＋99－2－4－6－…－98 ＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋…＋（99－98） ＝1＋1×49 ＝50 [拓展]计算：（2000－1）＋（1999－2）＋（1998－3）＋…＋（1002－999）＋（1001－1000） 分析：这道题若按运算顺序计算，计算量较大，去掉小括号，适当的改变运算顺序，看看能否巧算呢？ 我们先把所有的小括号去掉，然后把差为 1000 的每两个数作一组，便可很快巧算出结果来. 原式＝2000－1＋1999－2＋1998－3＋…＋1002－999＋1001－1000 ＝（2000－1000）＋（1999－999）＋（1998－998）＋…＋（1002－2）＋（1001－1） ＝1000 1000 1000 1000 1000+ + + +"������ ����� 个 ＝1000×1000 ＝1000000 （二）乘法中的速算与巧算 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 16 乘法的运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即： a×b＝b×a 2. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变.即 a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c） 3. 乘法分配律：两个数之和（或差）与数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后 再把这两个积相加（或减）.即 （a＋b）×c＝a×c＋b×c （a－b）×c＝a×c－b×c 例8 （学而思题库）运用乘法的运算律大显身手吧，可以 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 自己速算的时间啊. (1)99×4×25 (2)125×119×8 (3)125×72 (4)25×125×16. 分析：由于 25×4＝100，125×8＝1000，125×4＝500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把 25 与 4、把 125 与 8 或 4 结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算. (1)99×4×25 ＝99×（4×25） ＝9900 (2)125×119×8 ＝（125×8）×119 ＝119000 (3)125×72 ＝125×8×9（这一步是把 72 分成 8×9，目的是把 125 与 8 结合） ＝1000×9 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 ＝9000 (4)25×125×16 ＝25×125×2×8 ＝(25×2)×(125×8) ＝50×1000 ＝50000 或 25×125×16 ＝25×125×4×4 ＝(25×4)×(125×4) ＝100×500 ＝50000 我们什么时候运用乘法分配律巧算呢？一般来说，两个数之和（或差）与一 个数相乘，如果两数与这个数相乘都便于计算，这时往往运用乘法分配律计算. 例9 （学而思题库） 下面这些题你会算吗？ (1)125×(40＋8)； (2)(100－4)×25； (3)2008×25； (4)125×792. 分析：(1)125×(40＋8) ＝125×40＋125×8 ＝5000＋1000 ＝6000 (2)(100－4)×25 ＝100×25－4×25 ＝2500－100 ＝2400 (3)2008×25 ＝(2000＋8)×25 ＝2000×25＋8×25 ＝50200 (4)125×792 ＝125×(800－8) ＝125×800－125×8 ＝1000×100－1000 ＝1000×(100－1) ＝99000 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 17 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 例10 （学而思题库）下面的题会不会有点难度呢？相信你一定能行！ 156＋78×1994＋22×1996 分析：把 156 拆成 78×2，这样，156＋78×1994＝78×2＋78×1994，可运用乘法分配律巧算了. 原式＝156＋78×1994＋22×1996 ＝78×2＋78×1994＋22×1996 ＝78×（2＋1994）＋22×1996 ＝78×1996＋22×1996 ＝1996×（78＋22） ＝199600 [巩固]35×20＋70＋35×78 分析：原式＝35×20＋35×2＋35×78＝35×（20＋2＋78）＝35×100＝3500 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 18 正确、迅速、合理的进行数的运算是同学们学习数学所必需达到的要求.怎样才能达到这个要求呢？ 首先要掌握好运算的性质和定律，才能在实际运算中运用的灵活自如；另外，还要养成“一看、二想、 三选择”的良好习惯. “一看”就是仔细观察整个题目的运算符号、数据特点及他们之间的内在联系； “二想”就是根据观察结果，联想与此相关的运算定律和性质，想能否运用运算定律和性质进行简 便运算； “三选择”就是在看和想的基础上，选择最佳的算法，从而达到灵活、合理的目的. 专题展望 计算是数学的“地基”，只有打牢这个“地基”，我们的数学大厦才能建高、建好！在数学计算中 有许多好的方法技巧和规律，我们如果能理解掌握、灵活运用，“数学大厦”的地基就会为你的成长提 供最好的帮助！关于速算与巧算在春季班还会有更精彩的内容，请继续关注吧！ 练习二 1. 计算下面各题 (1) 997＋995＋998＋1007＋1006＋1010 (2)198＋203＋194＋202＋200＋203 分析：（1）原式＝1000－3＋1000－5＋1000－2＋1000＋7＋1000＋6＋1000＋10＝1000× 6＋13＝6013 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 19 （2）原式＝200×6－2＋3－6＋2＋3＝1200 2. 计算下面各题 (1)99999＋9999＋999＋99＋9 (2)19＋299＋3999＋49999 分析：（1）原式＝（100000－1）＋（10000－1）＋（1000－1）＋（100－1）＋（10－1） ＝111110－5＝111105 （2）原式＝（20－1）＋（300－1）＋（4000－1）＋（50000－1）＝54320－4＝54316 3. 计算下面各题 (1)1＋2＋3＋…＋19＋20 (2)2＋4＋6＋…＋48＋50＋52 分析：（1）原式＝（1＋20）×20÷2＝210 （2）原式＝（2＋52）×26÷2＝702 4. 用简便方法计算 （1）12×4×25 （2）19×125×8 （3）125×56 分析：（1）原式＝12×（4×25）＝12×100＝1200 （2）原式＝19×（125×8）＝19×1000＝19000 （3）原式＝125×8×7＝1000×7＝7000 5. 用简便方法计算 （1）125×（80＋4） （2）（100－8）×25 （3）18×125 分析：（1）原式＝125×80＋125×4＝10000＋500＝10500 （2）原式＝100×25－8×25＝2500－200＝2300 （3）原式＝（10＋8）×125＝10×125＋8×125＝1250＋1000＝2250 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组 学而思教育 08 年寒假 三年级 提高班 第二讲 教师版 Page 20 智破宝石案 夏季的一天，女盗梅姑乔装改扮，混进珠宝拍卖会场，盗出 2 颗大钻石.一回到家，她马上将钻石 放在水里做成冰块放在了冰箱里.因钻石是透明无色的，所以藏到冰块里，万一有警察来搜查也不易被 发现. 第二天，矶川侦探来了.“还是把你偷来的钻石交出来吧.珠宝拍卖现场的闭路电视已将化妆后的你 偷盗时的情景拍了下来，虽然警察没看出是你化的妆，但你瞒不了我的眼睛，一看就知道是你.”矶川 侦探说. “如果你怀疑是我干的，就在我的家搜好了，直到你满意为止.”梅姑若无其事地说. “今天真热呀，来杯冰镇可乐怎么样？” 梅姑说着从冰箱里拿出冰块，每个杯子放了 4 块，再倒上可乐，递给矶川侦探一杯.将藏有钻石的 冰块放到了自己的杯子里，即使冰块化了，钻石露出来，在喝了半杯的可乐下面是看不出来的，矶川侦 探怎么会想到在他眼前喝的可乐中会藏有钻石呢，梅姑暗自盘算着.“那么，我就不客气了.”矶川侦探 接过杯子喝了一口，下意识地看了一眼梅姑的杯子.“对不起，能换一下杯子吗？” “怎么！难道怀疑 我往你的杯子里投毒了吗？”“不，不是毒.我想尝尝放了钻石的可乐是什么味道.” 矶川侦探一下子从 梅姑手里夺过杯子. 冰块还没溶化，那么矶川侦探是怎么看穿梅姑的可乐杯子里藏有钻石呢？ 答案见第三讲. 第一讲“聪明的阿凡提”答案： 推理小故事 在现实生活中，任何事情都遵循一个规律，要么是这，要么是那，不可能两者都是，这一规律叫 排中律.如果珍珠在红盒子中，自然珍珠便不在黄盒子中，那么红盒子上的话和黄盒子上的话都是真话， 这与“只有一句是真话”相矛盾，所以这是不可能的.如果珍珠在蓝盒子中，自然珍珠就不在红盒子和 黄盒子中，那么蓝盒子和黄盒子上的话也都是真话.因此，这也是不可能的.因为珍珠在三个盒子中的一 个盒子里，既然不在红盒子和蓝盒子里，那么一定在黄盒子里. 同学们，你答对了吗？