1995年全国初中数学联赛试题及解答

1995 年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1.已知 ,则有( ) 334455 5,4,3 === cba (A) ; (B)cba << ;abc << (C) bac << ; (D) . bca << 2.方程组 的正整数解的组数是( ) ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 23 63 yzxz yzxy (A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 3.如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么 实数 m 的取值范围是( ) 0)2)(1( 2 =+−− mxxx (A)0≤m≤1; (B)m≥ 4 3 ; (C) 4 3 ≤m≤1; (D) 4 3 ≤m≤1 4.如果边长顺次为 25，39，52和 60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为( ) (A) π62 ; (B) π63 ; (C) π64 ; (D) π65 . 5. AB 是 圆 O 的 一 条 弦 , 是 圆 O 的 直 径 , 且 与 弦CD AB 相 交 , 记 DABSΔCABSM Δ −= . ,则( ) OABSN Δ= 2 (A) ; (B) ; (C)NM > NM = NM < ; (D) M , 的大小关系不确定. N 6.设实数 a ,b 满足不等式 ( ) baabaa +−<+− ,则( ) (A) 且 ; (B)0>a 0>b 00 >< ba 且 ; (C) 00 <> ba 且 ; (D) 00 << ba 且 . 二、填空题 1.在 12,22,33,…,952这 95 个数中,十位数字为奇数的数共有 个. 2.已知α是方程 0 4 12 =−+ xx 的根,则 2345 2 1 αααα α −−+ − 的值等于 . 3.设 x 为正实数,则函数 x xxy 12 +−= 的最小值是 . 4.以线段 AB 为直径作一个半圆,圆心为 , 是半圆周上的点,且 . 则 = O C BCACOC ⋅=2 CAB∠ . 第二试 一.已知 ,点 B 在 CE 上, CA=CB=CD,过 A, C, D 三点的 圆交 AB 于 F(如图),求证:F 为 的内心. °=∠=∠ 90CDEACE CDEΔ 二.在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数 5 9 1010 2 +−= xxy 的图像上找出满足 y≤ x 的所有整点 ,并说明理由. ),( yx 三.试证:每个大于 6 的自然数 n 都可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为两个大于 1 且互质的自然数之和. 1995 年全国初中数学联赛试题答案 第一试 一、选择题 1．（C） 1111555 243)3(3 ===a ， ， ， 1111444 256)3(4 ===b 1111333 125)5(5 ===c ∴ . bac << 2．（B） 第二个方程可以改写为 23)( =+ zyx 因为 x+y≥2,且 23 是质数，故 z=1，x+y=23，由此得 y=23-x，将此代入第一 个方程得 ，即 . 63)1)(23( =+− xx 040222 =+− xx 解之得 ,21 =x 202 =x . 因此，原方程组的两组解为： 21 =x , 211 =y , 11 =z ； 202 =x , , . 32 =y 12 =z 3．（C） 因为 有两根，故022 =+− mxx m44 −=Δ ≥0，得 m≤1.原方程的三根为 11 =x ， mx −−= 112 ， mx −+= 113 . 显 然 ， x2 ≤ x1 ≤ x3. 注 意 到 −=+ 221 xx 3111 xmm =−+>− ，由此得 4 3>m . 4．（D） 设 ABCD 为圆内接四边形，且 AB=25，BC=39，CD=52， DA=60.圆内接四边形对角互补，故 AC ∠−°=∠ 180 .连接 BD，由余弦定理（如 图）， AADABADABBD ∠⋅−+= cos2222 CCDCBCDCB ∠⋅−+= cos222 即 A∠×××−+ cos602526025 22 A∠×××++= cos523925239 22 解得 0 )52396025(2 52396025cos 2222 =×+× −−+=∠A 故 为圆的直径. BDA °=∠ 90 656025 22 =+=BD 故圆周长为 π65 . 5．（B） 如图，作 ABDE⊥ 于 E， ABCF⊥ 于 F，延长 CF 交圆 O 于 G，连接 DG，因 CD 是直径，故 是直角，从而 EFGD 是矩形，DGC∠ GFDE = .不妨设 ， 作 于 G， 于 L，则 H是 CG 的中点，于是 FGCF > CGOH⊥ ABOL⊥ OLHFFCHFCHFGCF 22 ==−+=− . 因此 DABCAB SSM ΔΔ −= 2 )( 22 FGCFABDEABCFAB −⋅=⋅−⋅= . OABSOLAB Δ=⋅= 2 6．（B） 若 a,b 满足题设的不等式.则有 22)( baabaa +−<+− ， 经化简整理得 baabaa +>+ )( . 由此知 ， .从而0≠a 0≠+ ba a a ba ba >+ + ， 上式仅当 ， 时成立，从而 0+ ba 0>−> ab 。 二、填空题 1．9 在 12,22,…102中，十位数字是奇数的只有 ， .两位数的平方可 以表示为 ，它的十位数的奇偶性与b 1642 = 3662 = 222 20100)10( bababa ++=+ 2十位数字的奇 偶性相同.因此，b只能取 4与 6.即相邻的每 10 个数中有两个数的十位数字是奇 数.因此，题目给的 95 个数中，十位数字是奇数的共有 19 个. 2．20 )1)(1()1(1 23 ++−=−=− aaaaa , . 222345 )1)(1( +−=−−+ aaaaaaa ∵a 满足等式 0 4 12 =−+ aa ，∴ 1≠a ， 01≠−a . 所以 22 2 2345 3 )1( 11 + ++=−−+ − aa aa aaaa a 20 ) 4 1( 1 4 1 2 = + = . 3．1 1)1()1(11)1( 222 +−+−=−++−= x xx x xxy . 当 x=1 时， 与2)1( −x 2)1( x x − 同时取最小值 0，因此 y 的最小值为 1. 4．75°或 15° 如图，因 AB 是直径，故 °=∠ 90ACB ， AB BCCAB =∠sin .由 得BCACOC ⋅=2 BC OC OC AC = . 在 中，由正弦定理得 ABCΔ OC CABACAOC ∠⋅=∠ sinsin 2 1==⋅= AB OC AB BC BC OC ∴ 或 . °=∠ 30AOC °150 在等腰 中， OACΔ °=∠−°=∠ 75 2 180 AOCCAB 或 . °15 第 二 试 一、证明 ∵ ， ， ∴ BCAC = °=∠ 90ACB °=∠=∠ 45CBACAB . ∵ A,C,F,D 四点共圆. ∴ °=∠=∠ 45CAFCDF ， ∵ °=∠ 90CDE ，∴ CDFCDEEDF ∠−∠=∠ CDF∠=°= 45 ， 即 DF 平分 . CDE∠ ∵ ， ∴CDCA = CDACAD ∠=∠ ， 又 CADCFD ∠−°=∠ 180 CDA∠−°=180 CFA∠−°=180 CFB∠= °=∠=∠ 45CBFCDF ∴ CDFCFDDCF ∠−∠−°=∠ 180 CBFCFB ∠−∠−°=180 BCF∠= 即 CF 平分 . DCE∠ 所以 F是 的内心. CDEΔ 二、由 y≤|x|，得 10 182 +− xx ≤|x|，即 ≤10|x|. 182 +− xx 当 x≥0时，（*）式为 ≤10x，即 ≤0，解得 2≤x≤9. 182 +− xx 18112 +− xx 对于上述区间内 x 的整数值，当 x=2,4,7,9 时，相应的 y 为整数值.此时， 满足条件的点有(2,2),(4,3),(7,6),(9,9). 当 时，（*）式为 ≤-10x，即 ≤0，解得 -6≤x≤-3. 01,k 为整数）.若 n=4k，此时 . )1( ++= kkn 由于 ，上述表示符合 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 . 1)1,( =+kk （2）当 n 为偶数时， 设 或 (k>1,k 为整数). kn 4= 24 +k 若 ，此时kn 4= )12()12( ++−= kkn . 12 −k 与 12 +k 是互质的，因为若它们 有公因数 d≥2，设 ,ndk =−12 mdk =+12 (m,n 是自然数)，则 ， 可见 2)( =− dnm 2d ，所以 2=d ，这与 12 −k ， 12 +k 均为奇数相矛盾. 若 ，此时24 += kn )32()12( ++−= kkn 12 −k 与 是互质的.因为若它们有公因数 d≥2，设32 +k ndk =−12 , (m,n 是自然数)，则 ，可见 mdk =+ 32 2)( =− dnm 2d ，所以 2=d ，这与 ， 均 为奇数相矛盾. 12 −k 12 +k 若 ，此时24 += kn )32()12( ++−= kkn , 12 −k 与 32 +k 是互质的.因为若 它们有公因数 d ≥2，设 ndk =−12 , mdk =+ 32 (m,n 是自然数)，则 ，可见4)( =− dnm 4d ，即 d=2 或 4.这与 12 −k ， 32 +k 均为奇数相矛盾. 综上所述，原命题得证.