2003年全国初中数学联赛试题及解答

2003 年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月 13日上午 8:30—9:30） 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 2 3 2 2 17 12 2− + − 等于（ ） A. 5 4 2− B. 4 2 1− C.5 D.1 2.在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 3.若函数 ( )0y kx k= > 与函数 1y x= 的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则 △ABC 的面积为（ ） A.1 B.2 C.k D. 2k 4.满足等式 2003 2003 2003 2003x y xy x y xy+ − − + = 的正整数对 ( )x y， 的个数（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.设△ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 13ADAB = ．若在边 AC 上取一点 E， 使四边形 DECB 的面积为 34 ，则 CEEA 的值为（ ） A. 12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 D C A B E 6.如图，在□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E， 且与 CD 相切．若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为（ ） A.3 B.4 C. 154 D. 16 5 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1.抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．若△ABC 是直角 三角形，则 ac=__________． 2y ax bx c= + + 2. 设 m 是 整 数 ， 且 方 程 23 2x mx 0+ − = 的 两 根 都 大 于 9− 5 而小于 37 ，则 m=____________． 3.如图， 'AA ， 分别是∠EAB，∠DBC 的平分线． 'BB 若 ' 'AA BB AB= = ，则∠BAC 的度数为_____________． 4.已知正整数 a，b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那 么 a，b 中较大的数是_________． C B D A 'B 'A E 第二试（A） 一、（本题满分 20 分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别 组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 二、（本题满分 25 分）在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E， F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．设线段 PA，PB 的 中点分别为 M，N． 求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF． 三、（本题满分 25 分）已知实数 a，b，c，d 互不相等，且 1 1 1 1a b c db c d a x+ = + = + = + = ， 试求 x 的值． 第二试（B） 一、（本题满分 20 分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组 成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 二、（本题满分 25 分）在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E， F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF． 三、（本题满分 25 分）已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是 整数，且它们的和为 16． ⑴这样的四边形有几个？ ⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值． 第二试（C） 一、（本题满分 20 分）已知实数 a，b，c，d 互不相等，且 1 1 1 1a b c db c d a x+ = + = + = + = ， 试求 x 的值． 二、（本题满分 25 分）在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 AC，BC 到点 E， F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 AC，BC 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF． 三、（本题满分 25 分）已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是 整数，且它们的和为 16． ⑴这样的四边形有几个？ ⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值． 2003 年全国初中数学联赛试卷答案 第一试 一、选择题 1、(D)； 2、(C)； 由于任何凸多边形的外角之和都是 360º，故外角中钝角的个数不超过 3 个，即 内角中锐角最多不超过 3 个。 3、(A)； 设 A( yx, )，则 ，故1=xy 1 1 2 2ABO S xyΔ = = 。又因为△ABO 与△CBO 同底等高， 因此， 2 1ABC ABOS SΔ Δ= × = 4、(B)； 由已知等式可得 ( 2003)( 2003) 0xy x y− + + = 而 2003 0x y+ + > ，所以， 2003 0xy − = 。故 2003=xy 又因为 2003 为质数，必有 或 1 2003 x y =⎧⎨ =⎩ 2003 1 x y =⎧⎨ =⎩ 5、(B)； E D CB A 如图，连结 BE ， 3 11 4 4ADE SΔ = − = ，设 CE xAC = ，则 。1ABES xΔ = − 1 1 ,3 4ADE xS xΔ −= = = 1 4 。故 1 3 CE EA = 6、(D)； 如图，连结 AC、CE。 E D C BA 由 AE∥BC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 AC＝BE＝5。 又因为 DC∥AB，DC 与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝ ∠ABC。 则 AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4 因为 2DC AD DE= ⋅ ，故 2 16 5 DCDE AD = = 二、填空题 1、－1； 设 A 。由△ABC 是直角三角形可知1 2( ,0), ( ,0)x B x 1 2,x x 必异号。则 1 2 0 cx x a = < 由射影定理知 2OC AO BO= ⋅ ，即 2 1 2 cc x x a= ⋅ = ；故 1, 1ac ac= = − 2、4； 由题设可知， 2 2 9 93 2 0 5 5 3 33 2 0 7 7 m m ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − + × − − >⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ × + × − >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎨ , 解得 8 133 421 45m< < 。故 4m = 3、12º； 设∠BAC 的度数为 x ,因 'AB BB= ，故∠ ' 2 ,B BD x CBD x4= ∠ = 又 'AB AA= ， 则∠ ' 'AA B ABA= ∠ ＝∠CBD＝ 。因为∠x4 1' (180 2 )A AB x= °− 故 1 (180 ) 4 4 180 2 x x x° − + + = °，解得 12=x º 4、225； 设( )＝ d ，且 ，ba, mda = ndb = ，其中 ，m 与 互质。于是 的最 小公倍数为mnd 。依题意有 nm > n ba, 120 105 md nd mnd d − =⎧⎪⎨ =⎪⎩ ，即 3( ) 3 5 d = × 2 3 5 (1) 7 (2) m n mn − = × × × 又m ，据式(2)可得n> 105 1 m n =⎧⎨ =⎩ 35 3 m n =⎧⎨ =⎩ 21 5 m n =⎧⎨ =⎩ 15 7 m n =⎧⎨ =⎩ 根据式(1)，只能取 ，可求得15 7 m n =⎧⎨ =⎩ 15=d 故两个数中较大的数是 225=md 。 第二试(A 卷) 一、解：设前后两个二位数分别为 yx, ，10 , 99x y≤ ≤ 有 2( ) 100x y x+ = + y ；即 2 22( 50) ( ) 0x y x y y+ − + − = 当△＝ 2 24( 50) 4( ) 4(2500 99 ) 0y y y y− − − = − ≥ 即2500 ，则 时，方程有实数解99 0y− ≥ 25y ≤ 50 2500 99x y y= − ± − 由于 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为 0，1，4， 5，6，9，故 仅可取 25；此时， y－2500 y 30=x 或 20= 故所求四位数为 2025 或 3025 二、(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM， DN＝AM, 故∠AMD＝∠BND 因为 M、N 分别是 Rt△AEP 和 Rt△BFP 斜边的中点， 所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM 又已知 DE＝DF，故△DEM≌△FDN (2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝ ∠BNF, 而△AME、△BNF 均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF. P N M F E D C B A 三、解：由已知有 1a b + = x ①； 1b c + = x ②； 1c d x+ = ③； 1d x a + = ④ 由式①解出 1b x a = − ⑤ 式⑤代入式②得 2 1 x ac x ax −= − − ⑥ 将式⑥代入③得 2 1 1 x a x x ax d − + =− − 即dx ⑦ 3 2( 1) (2 ) 1 0ad x d a x ad− + − − + + = =由式④得 ad ax1 0，代入式⑦得 3( )( 2 )d a x x− − = + 由已知 d a ，故 0− ≠ 3 2 0x x− = 若 ，则由式⑥可得0=x ca = ，矛盾。故有 2 2, 2x x= = ± 第二试(B 卷) 一、同(A 卷)第一题的解答。 二、如图，分别取 AP、BP 的中点 M、N。连结 EM、DM、FN、DN。由 D 是 AB 的中点，则 P F E NM D C B A DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM。故∠AMD ＝∠BND。 又因为 M、N 分别是 Rt△AEP、Rt△BFP 斜边的中 点，所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。 因为 DE＝DF，则△DEM≌△FDN 故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF 而△AME、△BNF 均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF 三、(1)如图，记 AB＝a，CD＝b，AC＝ ，并设△ABC 的边 AB 上的高为 ，△ADC 的边 DC 上的高为 。 则 l 1h 2h ABCD ABC ADCS SΔ Δ= +四边形 S ＝ 1 21 12 2( ) ( )h a h b l a b 1h 2h l b a D C BA + ≤ + l= = l+ = − 仅当h h 时等号成立。即在四边形 ABCD 中，当 AC⊥AB，AC⊥CD 时等号成立。 1 2 由已知可得64 ( )l a b≤ + 又由题设 a b ，可得16 264 (16 ) 64 ( 8) 64l l l≤ − = − − ≤ 于是， l a ，且这时 AC⊥AB，AC⊥CD 8, 8b= + = b l= = = = 2) 因此，这样的四边形有如下 4 个： 7,1 == ba ， l a 8; 2, 6, 8 3, 5, 8; 4, 8a b l a b l= = = = = = 它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。 (2)又由 AB＝ ，CD＝8 ，则a a− 2 2 2 2 28 , 8 (8BC a AD= + = + − a 因此，这样的四边形的边长的平方和为 2 2 22 2(8 ) 128 4( 4) 192a a a+ − + = − + 故当 a 时，平方和最小，且为 192。 4== b M N F P C E D BA 第二试(C 卷) 一、同(A 卷)第三题的解答。 二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B 卷)第二题 三、同(B 卷)第三题解答。