不等式证明的几种常用方法
一、比较法
差值比较法
要证明a＞b,只要证明a-b＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；
②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；
③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】
求证：
证明：
商值比较法
已知a,b都是正数，要证明a＞b,只要证明a/b＞1
①作商：将左右两端作商；
②变形：化简商式到最简形式；
③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】
已知a,b>0，求证
证明： =
∵a,b>0+,当a＞b时，＞1,a-b＞0，＞1;
当a≤b时,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即
综合法
利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn-B，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。重点：基本不等式
【例三】
已知a,b,c是不全等的正数，求证 a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.
证明： ，，
，，
a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc.
又因为a,b,c是不全等的正数
所以有a(c2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)＞6abc.
分析法
分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明A-B的逻辑关系为：B-B1-B2- B3 … Bn-A，
书
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写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
【例四】
求证：
证明:
四、反证法
有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
【例五】
已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：
.
证明：假设
，则
.
由a+b=1，得
，于是有
.
所以
，这与
矛盾.
所以
.
换元法
换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。
三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量
表
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示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，常用的三角代换方法有：
已知
，可设
；
已知
，可设
(
)；
已知
，可设
；
已知
，可设
；
增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。
【例六】
已知a，b∈R，且a+b=1. 求证：
证明：∵
，
所以可设
，
，
∴左边＝
＝右边.
当且仅当t=0时，等号成立.
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.即可设
，
六、放缩法
放缩法是要证明不等式A
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