圆方程复习题（难）-普通用卷

圆方程复习题（难）一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x-2）2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，则a的取值范围是（  ）A.B.[6−52,6+52]C.D.​二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）已知点P是圆C：x2+y2－8x－8y+28=0上任意一点，曲线N：x2+4y2=4与x轴交于A，B两点，直线OP与曲线N交于点M，记直线MA，MB，OP的斜率分别为k1，k2，k3，则k1·k2·k3的取值范围是________．已知点A（-3，0），B（-1，-2），若圆（x-2）2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是______．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则S1S2的最小值是     ．已知直线l：x+y-1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为14，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m-1）y-3m=0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为______．已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为______．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-m=0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为APPB=12，求此时直线l的方程．已知以点C（t，2t）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求证：△AOB的面积为定值．（2）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y-6=0切于点M（35，65）（1）求直线12x-5y-1=0被圆C截得的弦长（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点（i）求证：1x1+1x2为定值（ii）若|PN|2+|QN|2=24，求直线L的方程．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x−3y=4相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若圆O上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且MN=23，求直线MN的方程；（Ⅲ）设圆O与x轴的交点为A，B，若圆内一动点P满足​|PA|⋅|PB|=|PO|2，求动点P的轨迹方程．已知圆E：（x+3）2+y2=16，点F（3，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）直线l过点（1，1），且与轨迹Γ交于A，B两点，点M满足AM=MB，点O为坐标原点，延长线段OM与轨迹Γ交于点R，四边形OARB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C．（1）求圆C的方程；（2）过点(−1,0)作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点.设OS=OA+OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由．已知⊙M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=423，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．已知圆M：x2+y−42=4，直线l的方程为x−2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B．（1）当P的横坐标为165时，求∠APB的大小；（2）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出该定点的坐标；（3）求线段AB长度的最小值．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M在直线y+1=0上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程；（Ⅱ）若点M在直线l：x–y–1=0的上方，且到l的距离为22，求圆M的方程；（Ⅲ）设圆M与x轴交于P，Q两点，E是圆M上异于P，Q的任意一点，过点A(33，0)且与x轴垂直的直线为l1，直线PE交直线l1于点P′，直线QE交直线l1于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（-2，0）和（2，0），点C在x轴上方．（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圆的方程；（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？请说明理由．1.【答案】C解：圆C：（x-2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，∵在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P，Q为切点）满足∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得-16≤a≤4，故选：C．2.【答案】[−4−712,−4+712]4.【答案】（22，922）解：由题意可得|AB|==2，根据△MAB和△NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2；由于AB的方程为=，即x+y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r+2，解得r=；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r-2，解得r=；综上，r的取值范围是（，）．故答案为：（，）．5.【答案】​2−3解：设、分别为点A、B到直线OP的距离，，设点P（m，n），则直线OP方程为：，所以，由圆心为（4，0），半径为2，可得，当时，，所以.故答案为.6.【答案】[6−2，6+2]解：∵圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）的圆心（0，0）到直线l：x+y-1=0的距离d==，直线l：x+y-1=0截圆Ω：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，∴=，解得r=2.∵直线l'：（1+2m）x+（m-1）y-3m=0过定点P，直线l'的方程整理为（2x+y-3）m+x-y=0，由，得，∴P（1，1），设MN的中点为Q（x，y），则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，∴4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，化简，得：（x-）2+（y-）2=，∴点Q的轨迹是以（）为圆心，为半径的圆，∴|PQ|的取值范围是[，]，∴|MN|的取值范围为.故答案为.【答案】-348.【答案】（Ⅰ） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：圆C：x2+（y-1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为5．∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d=|−m|m2+1≤|m||2m|=12＜5．∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，设M（x，y）（x≠1），则x2+（y-1）2+（x-1）2+（y-1）2=1，化简得：x2+y2-x-2y+1=0（x≠1），当M与P重合时，x=y=1也满足上式．故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2-x-2y+1=0．（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由APPB=12，得AP=12PB，∴1−x1=12(x2−1)，化简的x2=3-2x1…①又mx−y+1−m=0x2+(y−1)2=5消去y得（1+m2）x2-2m2x+m2-5=0…（*）∴x1+x2=2m21+m2   …②由①②解得x1=3+m21+m2，带入（*）式解得m=±1，∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．9.【答案】（1）证明：由题意可得：圆的方程为：(x−t)2+(y−2t)2=t2+4t2，化为：x2-2tx+y2-4ty=0．与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B(0，4t)．∴S△OAB=12|2t|⋅|4t|=4，为定值．（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，OC的斜率k=2tt=2t2，∴2t2×（-2）=-1，解得t=±2，可得圆心C（2，1），或（-2，-1）．带入可得，方程为：（x-2）2+（y-1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5．若圆C的方程为：（x+2）2+（y+1） 2=5，此时圆心（-2，-1）到直线2x+y-4=0的距离d=2×−2+−1−45=955>5=r,无交点，舍去所以，圆C的方程为：（x-2） 2+（y-1） 2=5（3）解：由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=5，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=(−6)2+(−3)2-5=25，则|PB|+|PQ|的最小值为25．直线B′C的方程为：y=12x，此时点P为直线B′C与直线l的交点，故所求的点P(−43，−23)．10.【答案】解：（1）由题意，C（a，0），则kCM=6535−a，∴6535−a•（-43）=-1，∴a=-1，∴C（-1，0），|CM|=2，即r=2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2=4．圆心到直线12x-5y-1=0的距离为1，∴所求弦长为24−1=23；（2）设直线l的方程为y=kx（k＞0），与圆的方程联立，可得（1+k2）x2+2x-3=0，∴x1+x2=-21+k2，x1x2=-31+k2．（i）1x1+1x2=x1+x2x1x2=23为定值；（ii）|PN|2+|QN|2=(x1−2)2+(y1−1)2+(x2−2)2+(y2−1)2=(1+k2)(x1+x2)2−2(1+k2)x1x2-（4+2k）（x1+x2）+10=12+4k1+k2+16=24，∴k=1或-12，经检验k=1满足题意，∴直线L的方程为y=x．11.【答案】解:（Ⅰ）依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x−3y=4的距离,即r=41+3=2，所以圆O的方程为x2+y2=4.（Ⅱ）由题意,可设直线MN的方程为2x−y+m=0,则圆心O到直线MN的距离d=m5.由垂径定理得m25+(3)2=22，即m=±5.所以直线MN的方程为2x−y+5=0或2x−y−5=0.（Ⅲ）不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1