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方法
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成都理工大学 核自学院蒙特卡罗方法成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是在20世纪40年代中叶由于当时的原子能工业的需要而发展起来的。
真正发展是从五十年代，随着电子计算机的发展而开始的。
该方法以著名赌城“蒙特卡罗”命名，不难理解，蒙特卡罗方法是以概率论和数理统计学为基础的。蒙特卡罗方法成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法主要
内容
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基本思想
随机数的产生和检验
随机抽样
应用蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想定义
是一种以概率统计理论为基础，通过随机模拟和统计试验来得出某事件发生的频率或随机变量的数学期望（算术平均值），从而求解数学、物理、工程技术问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
近似解的数值方法。
例1：(某事件发生的频率)
工厂中质量检验，抽N个样品，n个为正品，则正品率(频率)为：p=n/N。N越大，p越准确，N→∞时，p为概率。蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想定义
是一种以概率统计理论为基础，通过随机模拟和统计试验来得出某事件发生的频率或随机变量的数学期望（算术平均值），从而求解数学、物理、工程技术问题近似解的数值方法。
例2：(所求问题解是随机变量的数学期望)
射击打靶，r为弹着点到靶心的距离，g(r)为击中r处的得分(环数)，如r=0,g(r)=10…r=10,g(r)=0。射击n次，{r1,r2…rn},{g(r1),g(r2)…g(rn)}，则运动员的成绩既是随机变量g(r)的数学期望(算术平均值)为：蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想一种随机模拟的计算方法，或统计试验法
随机模拟：对客观世界中的随机现象（如原子核的衰变、射线与物质的相互作用等现象）用计算机从数量上进行“模仿”“仿真”，以求出某些必要的参数或物理量。
例1：投点法求圆周率π
模型：在正方形面积内投点，该点坐标为：
投点状况随机变量：
随机试验：作N次投点试验，r次落入圆内：
则： 蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想一种随机模拟的计算方法，或统计试验法
例2：求一维积分
把问题转为概率，求解P：
模型：在矩阵a’abb’中投点，坐标为：
投点状况的描述随机变量：
随机试验：投点数N个，r个落入曲线下方，即：
则：P=r/N，A=P*c*(b-a)=(r/N)*c*(b-a) 蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想用蒙特卡罗方法模拟实际问题的步骤
根据实际问题，构造合适的概率模型（将不具随机性质的问题转化为随机性质）。
使问题的解对应于该概率模型中随机变量的某些特征值（如数学期望、方差等）。
根据概率模型的特点和问题要求，设计抽样方法，确定抽样次数。
在计算机上产生随机数并抽样，对概率模型做大量的试验。
统计处理试验结果，求出特征值的估计值，作为问题的近似解。蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想特点
优点
1）能比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程，它从实际问题本身出发，而不从方程或数学
表
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达式出发，直观、形象。
2）受几何条件限制小（可以多维）。
3）收敛速度与问题的维数无关。
4）具有同时计算多个
方案
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与多个未知量的能力。
5）误差容易确定，程序构造简单，易于实现。蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想特点
缺点
1）收敛速度慢，对于维数少的问题，不如其它方法好。
若要提高一个数量级，试验次数N需要增加两个数量级
2）误差具有概率性。
蒙特卡罗方法的误差为概率误差 蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想与其他方法的比较
解析方法
简单系统的近似模型的准确解
数值方法
较复杂系统的近似模型的近似解
蒙特卡罗(MC)方法
高度复杂、随机系统的逼真模型的统计近似解蒙特卡罗方法——基本思想成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——基本思想用途
理解和控制复杂的随机系统。
数学方程或物理、工程技术问题的统计近似。如粒子反应和输运。
适用于：
数学上的多重积分；
本身就是一个随机过程。如核衰变、粒子反应、输运；
需要统计意义上的解。
应用范围：
粒子输运问题；统计物理；典型数学问题；真空技术；激光技术；医学、生物、探矿等方面。蒙特卡罗方法成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法主要内容
基本思想
随机数的产生和检验
随机抽样
应用蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数
最简单而且最基本的分布是单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每一个个体称为随机数。
产生随机数的方法
建立随机数表输入计算机—需大量内存，少用
使用硬件专用随机数发生器—无法重复验证结果
数学方法—专门的程序产生随机数（伪随机数）：速度快，占内存少，可重复试验；但它不是真的，不相互独立，需要满足某种数学关系，有周期。 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数伪随机数
在计算机上用数学方法产生的(0,1)上均匀分布的随机数。
递推公式：
存在问题
整个随机序列唯一确定，不满足随机数相互独立的需求；具有周期性的循环现象，即：
周期T：发生周期性循环现象的伪随机数的个数
最大容量V：从伪随机数序列的初始值开始，到出现循环现象为止，所产生的随机数的个数。V=n’’
例如：若 ，则：T=n’’-n’，V=n’’ 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数伪随机数的产生方法——基本思想
A = B mod M，ξi = A/M
其中，A
=T蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数1）乘同余法
计算公式：
在计算机上应用通常是用：
M=2s，s：计算机中二进制的最大可能有效位数。
x1=1
a=52k+1，k：使52k+1在计算机上所能容纳的最大整数，即a为计算机上所能容纳的5的最大奇次幂。
一般：s=32时，k=6，a=513；s=48时，k=7，a=515
最大容量为：V=2s-2
使用最多最广蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数2）乘加同余方法（混合同余法）
计算公式：
i=1，2，…，ξ为（0，1）上均匀分布的序列
在计算机上应用通常是用：
M=2s，s：计算机中二进制的最大可能有效位数。
x1=1
a=2b+1=4q+1 (b>=2)
c=1
最大容量为：V=2s蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数3）加同余法
计算公式：
i=1，2，…，ξ为（0，1）上均匀分布的序列
在计算机上应用通常是用：
M=2s，s：计算机中二进制的最大可能有效位数。
x1= x2=1
最大容量为：V=3 * 2s-1
缺点：独立性较差，很少被采用。 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数4）取中法——平方取中
计算公式：
i=1，2，…，ξ为（0，1）上均匀分布的序列
基本思想：
把一个2s位的十进制数自乘后，去头去尾，留中间2s个数字，再除以102s 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数4）取中法——平方取中
计算公式：
例：s=2
x1=6406，x12=41036836，ξ1=0.0368
x2=0368，x22=00135434，ξ2=0.1354
x3=1354，x32=01833316，ξ3=0.8333
x4=8333，x42=69438889，ξ4=0.4388
x5=4388，x52=19254544，ξ5=0.2545蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数4）取中法——平方取中
计算机中常用二进制运算：
i=1，2，…，ξ为（0，1）上均匀分布的序列
4）取中法——乘积取中蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数的检验——均匀性检验
方法：用χ2方法来检验它的均匀性
1)设在（0，1）区间内产生伪随机数列ξ1, ξ2, ξ3，……，ξN；
2)将（0，1）区间分为m个等长子区间（如果是均匀的，则落入每个子区间的随机数个数应近似为N/m，则其统计误差 ）；
3)统计落入各个子区间的元素个数Ni；
4)计算χ2值： 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数的检验——均匀性检验
方法：用χ2方法来检验它的均匀性
5)查χ2表，查得m-1个自由度的显著水平为α的值
6)比较χ2和 值。
如果χ2< ，则在α的显著水平下认为该随机数列是（0，1）上均匀分布的；
如果χ2> ，则在α的显著水平下认为该随机数列不是（0，1）上均匀分布的。 蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数的检验——均匀性检验
注：
为满足统计性处理的要求，子区间数m值不易过大，应使N/m>5；同时m也不宜过小，应该能满足问题的均匀性要求。
过大的χ2量和过小的χ2量都是不可靠的。蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数的检验——独立性检验
联列表法——基本思想
将伪随机数列ξ1,ξ2, …,ξ2j-1,ξ2j, …,ξ2N-1,ξ2N按一定规则分为成对的两列数，如：
即：(ξ1,ξ2)，(ξ3,ξ4)，…，(ξ2j-1,ξ2j)，…，(ξ2N-1,ξ2N)
若两数列相互独立，则在一平面内以(ξ2j-1,ξ2j)为坐标的点将均匀撒遍整个x，y的单位正方形区域；若不是均匀性地撒遍整个区域，则说明所分两列数不相互独立。
这样，就将伪随机数的独立性检验，化为平面内随机点的均匀性分布检验 。蒙特卡罗方法——随机数成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机数随机数的检验——独立性检验
联列表法——步骤
1. 把(0,1)x和(0,1)y都均分成k段，则有k2个小正方形，落入其内的点数的数学期望为：E(nij) = N / k2。
2. 统计落入每个小正方形内的随机点的个数nij，并计算χ2值。
3. 查χ2表，查得(k-1)2个自由度的显著水平为α的 值。
4. 比较χ2和 值。
如果χ2< ，则在α的显著水平下认为满足独立性；
如果χ2> ，则在α的显著水平下认为该随机数列不独立。蒙特卡罗方法成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法主要内容
基本思想
随机数的产生和检验
随机抽样
应用蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
随机抽样的意义
计算机产生的（0，1）区间的均匀分布的伪随机数，是一种最为简单的具有相同分布、相互独立的随机抽样问题。
但实际工作中很少使用，多数使用的是：满足某种特定分布的离散型或连续型的随机变量，要从（0，1）均匀分布的随机数中抽样。 蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
1.离散型随机变量的直接抽样
设：x1，x2，……，为离散型随机变量的跳跃点；
p1，p2，……，为相应的概率，01.02MeV的γ射线与物质相互作用的三种效应：光电效应；康普顿散射；形成电子对效应，作这一γ光子作用类型的抽样。
方法：
①根据介质的Z与光子能量E，计算σ光,σ康,σ电子对
则：σ总=σ光+σ康+σ电子对
p1=p光=σ光/σ总，
p2=p康=σ康/σ总，
p3=p电子对=σ电子对/σ总，蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
1.离散型随机变量的直接抽样
例2：γ射线与物质相互作用。能量E>1.02MeV的γ射线与物质相互作用的三种效应：光电效应；康普顿散射；形成电子对效应，作这一γ光子作用类型的抽样。
方法：
②令：
蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
1.离散型随机变量的直接抽样
例2：γ射线与物质相互作用。能量E>1.02MeV的γ射线与物质相互作用的三种效应：光电效应；康普顿散射；形成电子对效应，作这一γ光子作用类型的抽样。
方法：
③由（0，1）均匀分布序列{ξi }，依次取ξi，
蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
2.连续型随机变量的直接抽样——基本思路
连续分布的密度函数f(x)和分布函数F(x)的关系：
(0,1)区间，取ξi=F(xi)，对应为xi =F-1(ξi)。
则抽样方法：
①在(0,1)区间均匀分布的密度投点ξi。(取(0,1)均匀分布的伪随机数ξi)。
②根据分布函数F(x)的反函数F-1(x),求得xi =F-1(ξi) 蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
2.连续型随机变量的直接抽样——实质
由随机数出发，经随机变换（求分布函数的反函数）得到已知分布的抽样值。
xi =F-1(ξi)
蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
2.连续型随机变量的直接抽样——例子
例1：[a,b]区间均匀分布的随机数抽样
则：抽样值为: xi=F-1(ξi) = (b-a)*ξi+ a
同理: (0,M)区间的随机数抽样为：xi=M*ξi分布密度函数分布函数蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
2.连续型随机变量的直接抽样——例子
例2：指数分布的随机数抽样
解：
指数分布的密度函数：
指数分布函数：
求分布函数的反函数有：
因为：0<(1-ξ)<1，所以有：蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
2.连续型随机变量的直接抽样——例子
例2：指数分布的随机数抽样
指数分布随机抽样：
应用：核物理中，设射线在介质中平均作用长度（平均前进长度）为l0，则各次作用长度x的分布密度满足：
则：每次作用长度的抽样为：蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——由来
许多连续性分布很难用直接抽样法实现
很多分布的分布函数无法用解析法给出；
很多分布函数的反函数难求；
有些尽管可以求出反函数，但反函数的计算量较大，有时也不适宜。
3.舍选抽样法——基本思想
从均匀分布的随机数出发，依照一定的条件可以选出服从某一分布的随机数 蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——方法
设有一概率密度函数f(x)，xє[a,b]上，f(x)的最大可能值max[f(x)]，不大于一有限正数M。
解：
①以x=a，x=b，y=0，y=M作矩形
②向此矩形内均匀投点(xi，yi)，即取xi为[a,b]上均匀分布，yi为[0,M]上均匀分布。
③若点(xi，yi)落在曲线y=f(x)的下面，即：yi≤f(xi)，则选取此随机数xi，否则舍去。这样得到的xi将满足给定的f(x)的密度分布 。蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例1:假设φ在[0,2π]上均匀分布，抽样确定sinφ, cosφ。
解：1）使用直接抽样法，很容易。
但三角运算费时，一般使用舍选抽样。蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例1:假设φ在[0,2π]上均匀分布，抽样确定sinφ, cosφ。
解：2）使用舍选抽样法。
令φ=2θ，则θ在[0,π]上均匀分布，作变换：
其中，0≤r ≤1， 0≤θ≤π，于是：
注：(x,y)表示上半个单位圆内的点。 如果(x,y)在上半个单位圆内均匀投点，决定了θ在[0,π]上是均匀的。蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例1:假设φ在[0,2π]上均匀分布，抽样确定sinφ, cosφ。
解：2）使用舍选抽样法。
则：蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例1:假设φ在[0,2π]上均匀分布，抽样确定sinφ, cosφ。
解： 舍选抽样法x: (-1,1)
y: (0,1) 蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例2: 各向同性方向余弦的确定
解：方向余弦可表示成：
在各向同性假设下，蒙特卡罗方法——随机抽样成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——随机抽样由已知分布的随机抽样
3.舍选抽样法——例子
例2: 各向同性方向余弦的确定
解：抽样确定：
由上例方法确定。
代入公式求方向余弦。蒙特卡罗方法成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法主要内容
基本思想
随机数的产生和检验
随机抽样
应用蒙特卡罗方法——应用成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——应用几何效率（η）估算
步骤：
1）取坐标系，使探测平面在z=0的xy平面上，坐标原点即探测平面中心，源在z=zs的平面上。
2）随机抽取源上一点M(xp, yp, zp)作为发射点（舍选抽样法：xp2+yp2≤rs2）。蒙特卡罗方法——应用成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——应用几何效率（η）估算
步骤：
3）从M点向4π立体角均匀地随机发射一个γ射线,即抽取出射的径向角θ和方位角φ 。
注：其中背向探测器等的发射是无效的，为了提高抽样效率考虑给径向角θ的取值加以限制。即：θ(0,θ0), φ(0，2π), 其中：
计算得到的几何效率为： 蒙特卡罗方法——应用成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——应用几何效率（η）估算
步骤：
4）计算此γ射线与z=0平面的交点(x, y) 蒙特卡罗方法——应用成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——应用几何效率（η）估算
步骤：
5）判断此交点到原点的距离是否大于探测器半径rd，若大于rd，则不能被探测到；若小于rd，则能被探测到。
6）返回到2，反复抽取足够多的次数N0，统计探测到的次数为N，则探测效率为： 蒙特卡罗方法——应用成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法——应用几何效率（η）估算
流程：蒙特卡罗方法—问答题成都理工大学 马英杰蒙特卡罗方法—问答题蒙特卡罗方法的基本思想和解题步骤。
伪随机数的产生方法有哪些？
伪随机数需进行什么检验？
随机数的抽样方法有哪些？
浙公网安备 33021202002483