杯赛专题——完全平方数——杨帅

杯赛专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ——巧求面积与周长 学而思 杨帅老师 【考点 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】 1、 近几年完全平方越来越受到各类杯赛重视，并且频繁出题，数论里完全平方数绝对是个重要的研 究对象，也是一个大问题。 2、 最重要的要属其前 n 个完全平方数求和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 1 6n S n n= × × ×（n+1）（2 +1），重要的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 。 3、 前 1000 个自然数中有多少完全平方数并且都分别是什么要了然于胸。 4、 完全平方数的末位数只能是 0 ,1 , 4 , 5 , 6 , 9 ； 5、 奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数； 6、 如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是 6 ；反之，如果完全平方数的 个位数字是 6 ，则它的十位数字一定是奇数；（这个要小心记忆） 7、 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数； 8、 一个正整数 n是完全平方数的充分必要条件是 n有奇数个因数(包括1和 n本身)。 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 【真题回放】 1、（ 2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛五年级决赛） 4 2 2= × ，9 3 3= × ，16 4 4= × ，…这时 4 9 16、、 这些数叫完全平方数。前500个自然数中所有完全平方数的和是_______. 【分析】 前 500个自然数中最大的完全平方数为 22 22 484× = ，前 500个自然数中所有完全平方数 的和为 2 2 2 2 2 11 2 3 21 22 22 6 + + + + + = × × × ×" （22+1）（2 22+1）=3795 2、（ 2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛）有 4个不同的数字可组成18个的 四位数，将这18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也 是完全平方数，则这18个数中最大的数是________. 【分析】 若由 4个不包含零的数字组成四位数，一共可以组成 4 3 2 1 24× × × = 种；若其中有一个是 零，其余不是零，则少了 3 2 1 6× × = 种，而 24 6 18− = ，即这四个不同的数字中刚好有一 个是 0 。那么可以设其余三个数为： a b c、 、 ，使得 a b c< < 。那么这四个数组成的最小 的数是 0a bc，最大的数是 0cba ，第二大的是 0cb a。要使 0a bc和 0cb a都是完全平方数， 根据性质，完全平方数的末位只能是 0 1 4 5 6 9、、、、、，完全平方数被 4 除的余数是 0 或1。而 0cb a被 4除的余数即 a被 4除的余数，所以 a可取 0 1 4 5 9、、、、，而 0 a b c< < < ，所以 a可取 1 4 5、、； 1a = 时，有1024 和1089 ，检验得到1089 满足； 4a = 时，有 4096 ，检验不满足； 5a = 时，有5041，检验不满足。 最大的数是9810 3、（ 2008 年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二）是否能将1 ~ 16这16个自 然数排成一排，使得任意相邻两个数的和都等于自然数的平方，如果能，请写出排法，如果不能，请 说明理由。 【分析】 1 ~ 16两个数的和最大为15 16 31+ = ，小于31的完全平方数有1 4 9 16 25、、、、 。而16只有与9 相加才能得到 31以内的完全平方数，即 25；8只有与1相加才能得到 31以内的完全平方 数 。 所 以 16 8、 在 这 个 数 列 的 两 端 。 之 后 进 行 尝 试 可 以 得 出 排 法 16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8、、、、、、、、、、、、、、、。 4、（ 2007 年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛）称能 表示成1 2 3 k+ + + +" 的形式的自然数为三角数。有一个四位数 N，它既是三角数，又是完全平方数。 则 ________N = 。 【分析】 (1 )1 2 3 2 k kN k += + + + + =" ，同时 2N a= ，所以 2( 1) 2k k a+ = 。因为 k与 1k + 是连续自 然数，所以 k与 1k + 中必有一个奇数，有 2 2 a× =相邻偶数奇数 。又由相邻自然数互质只， “奇数”与“ 2 相邻偶数 ”也互质，于是设 2m=奇数 ， 2 2 n=相邻偶数 ，而 a m n= × 。因 为 2a 为四位数，所以32 99a≤ ≤ ，即32 99m n≤ × ≤ ，又 2m 与 22n 相邻，有 7 12m≤ ≤ 。 当 7m = 时， 2 49m = ，相邻偶数为 50 时， 5n = 满足条件，这时 2 2(7 5) 1225a = × = ，即 1225N = 当 9m = 时， 2 81m = ，相邻偶数为80 和82 都不满足条件； 当 11m = 时， 2 121m = ，相邻偶数为120和122都不满足条件； 故 1225N = -------------------------------------------------------------------------------------------------- 【经典解析】 1、 （第五届“华杯赛”决赛）将自然数的平方按从小到大依次排列成一串有序数列：1491625364964 ， 问第 612个位置的数字是几？ 【分析】 1 ~ 3的平方是一位数，占去3个位置； 4 ~ 9 的平方是二位数，占去 6 2 12× = ； 10 ~ 31的平方是三位数，占去 22 3 66× = 个位置； 32 ~ 99 的平方是四位数，占去 68 4 272× = 个位置； 将1到 99 的平方排成一行，共占去 3 12 66 272 353+ + + = 个位置， 612 353 259− = ，即还 有 259 个位置。 259 51 5 4= × + 从100起到150，共 51个数，它们的平方都是五位数，要占去 259 个位置中的 255个，还 余 4个位置，151 151 22801× = ，从左到右第 4个位置上是 0 2、 有一个由不同数字组成的四位数 A， 2A B= ；已知 A的千位数字是 2，十位数字是1，且 A各个 位数上的数字相加的和为3的倍数。那么这个四位数是几？ 【分析】根据完全平方数的性质之一：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定 是 6 。 A的个位数字是 6 。设百位上的数字是 x，那么 2 1 6 9x x+ + + = + 是3的倍数，又因 为这个四位数各个位数上的数字都不同，所以 3x = 或9 。 若 3x = ， 2316 2A = = × 2×3×193，这个 A不是完全平方数，与条件相矛盾，所以 3x = 不成 立。 若 9x = ， 2916 2A 2= = × 2×3×3×3×3×3×3 = 54×54 = 54 ，这个 A是完全平方数，符合要求 所以，这个四位数是 2916 3、（04 南京冬令营）将 1，2，3，……n（n 为大于 4 的整数）这 n 个数分成两组，使每组中任意两 数之和都不是完全平方数，整数 n 可以取得的最大值是（ ），并给出一种分组 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 【分析】 若1在第一组，则3一定在第二组，可推出 6 一定在第一组，据此又可推出10一定在第二 组，据此又可推出15第一在第一组，而 215 1 4+ = 。所以 14n ≤ 。尝试分组。 第一组：1、 2、 4、 6 、9 、11、13 第二组：3、5 、 7 、8、10、12、14 经验算符合要求。 4、少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这 200 个灯泡按 1 到 20 0 编号，它们的亮暗规则是： 第一秒，全部灯泡变亮； 第二秒，凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 第三秒，凡编号为 3 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 一般地，第 n 秒，凡编号为 n 的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态； 这样继续下去，每 4 分钟为一个周期。第 200 秒时，明亮的灯泡有（ ）个。 【分析】 4分钟有 240 秒，200 秒时还不到一个周期。根据奇数个约数的自然数是完全平方数。拉 奇数次的灯亮着，每个灯拉的次数是编号的约数的个数。有奇数个约数的自然数是完全平 方数，比 200 小的完全平方数有 214 196= ，因此亮着的灯有14个