CH7 参数估计

null第七章 参数估计第七章 参数估计§7.1 参数的点估计概念§7.2 估计量的评选 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 §7.3 参数的区间估计null§7.1 参数的点估计概念定义 设总体X的分布函数的形式已知，它的一个或多个参数未知，根据总体X的一个样本X1,X2,…, Xn来估计总体未知参数的真值称为参数的点估计。null设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有 k个不同的未知参数 1,2, ,k 时设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本构造 k 个统计量：当测得一组样本值(x1, x2,…, xn)时，代入上述统计 量，即可得到 k个数,分别作为这k个参数的估计值数值随机变量null 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X 的一个样本,根据大数定律，对任意ε>0，有并且对于任何k，只要E(Xk)存在，同样有 因此，很自然地想到用样本矩来代替总体矩，从而得到总体分布中参数的一种估计。矩估计法null定义 设总体X的分布函数中含有k个未知参数1,2,…,k,即F=F(x;1,2,…,k)，总体X 的前k 阶矩l =E(Xl )(l=1,2,…,k)存在,它们是1,2,…,k的函数l(1,2,…,k)(l =1,2,…,k) 假设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，建立统计量--样本l 阶原点矩Al (l=1,2,…,k)，由下列方程组：估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值就是矩估计值。null例2 设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b为未知量，X1,X2,…,Xn是X的一个样本，试求a,b的矩估计量。解：建立 统计 量方 程组null一般地, 不论总体服从什么分布，若总体的期望与方差 2均存在, 则它们的矩估计量分别为null定义 设总体X的分布函数F(x; )中含有未 知参数，X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本，x1, x2,…, xn为样本观察值， 的似然函数为L(x1, x2,…, xn; )极大似然函数估计法的主要思想适当选取，使得似然函数L( )的值达到最大，也就是使试验得出的结果X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn的概率最大，这个值就是参数 的估计值。null求极大似然估计的一般步骤(1) 构造似然函数L( )为参数 的似然函数。若总体X是离散型随机变量，其分布律为 P(X=x)=p(x, ) 其中 为未知参数设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，而x1, x2,…, xn为X1,X2,…,Xn的一个样本值，那么称null若总体X是连续型随机变量，其概率密度为f(x, )，x1, x2,…, xn为X1,X2,…,Xn的一个样本值，则参数 的似然函数为(2) 求似然函数L( )的最大值点null似然 方程当未知参数可以不止一个时，例如1,…, k，那么可由下述方程组求得似然 方程 组 因为L( )与lnL( )有相同的极大值点，而lnL( )往往计算更为方便，所以常用lnL( )进行计算。一般地，参数 的极大似然估计值可由下式求得null然后再求得极大似然估计量。若L 是1, 2,…, n的可微函数，解似然方程组若L 不是1,2,…,n 的可微函数，则需用其它 方法(即回到原始的定义)来求极大似然估计值。求解注意事项null§7.2 估计量的评选标准 对于总体分布的某一参数，因为只要求其估计量是统计量，所以对此参数可以有多种不同的估计量。这就涉及到估计量的评选标准。 对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同。另外，用矩估计法和极大似然估计法所得的参数估计量不一定唯一。例如，在泊松分布中，由于均值和方差都为 ，因此除了样本均值是参数 的矩估计量外，样本方差也是参数 的矩估计量。null一致性估计量仅在样本容量n足够大时才显其优越性null关于一致性的常用结论 样本k 阶矩是总体k 阶矩的一致性估计量 矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下, 极大似然估计具有一致性null 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值。我们希望估计值在未知参数的真值附近摆动，并且使它的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 期望值等于未知参数的真值，这就导致无偏性这个标准。null特别地 null结论：设总体X 的期望 E(X)=与方差 D(X)=2存在，X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本。195页 例9194页 例8nullnull在数理统计中常用到最小方差无偏估计：罗·克拉美(Rao-Cramer)不等式null结论：设X1,X2,…,Xn是取自总体X 的一个 样本，且E( X )= , D( X )= 2 算术均值比加权均值更有效null§7.3 参数的区间估计 上一节中，我们讨论了参数的点估计，它是由样本算得的一个值去估计未知参数。但是，即使是无偏估计量也会由于样本的随机性使得估计值带有偏差，所以点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出近似值的误差范围，而有时我们又需要对此偏差作出衡量，知道近似值的精确程度。 本节的区间估计正好弥补了点估计的缺陷，它是通过寻找一个区间，并利用此区间包含未知参数真值的可信程度来估计未知参数的方法。null置信区间 定义 设总体X的分布函数F(x; )中含有未知参数，对于给定的 (0<  <1)，若由样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量null求置信区间的步骤(1) 先求出样本的一个函数它含有待估参数，不含其它未知参数，它的分布已知，而且该分布不依赖于待估参数 (通常由 的点估计作为考虑的出发点 )。例如：—称为枢轴量null(3) 由不等式 a < g(X1,X2,…,Xn) < b 解出(2) 对于给定的置信度1  , 求出常数 a和 b 使得null置信区间常用公式(一) 单个正态总体X ~N (   2)的区间估计(1) 方差 2已知， 的置信区间199页 例13(2) 方差 2未知， 的置信区间 null(3) 当  已知时，方差 2 的置信区间可得  2 的置信度为1- 的置信区间为 null(4) 当 未知时，方差 2 的置信区间可得  2 的置信度为1- 的置信区间为 null(二) 两个正态总体的区间估计设X1,X2,…,Xn是取自总体N( 112) 的样本， 而Y1,Y2,…,Ym是取自总体N( 222) 的样本 在实际生活中经常遇到已知某一产品的质量指标服从正态分布，但由于其它因素的影响，从而引起总体均值和方差改变的问题。 如果想要研究这种变化究竟有多大，就需要考虑两个正态总体的均值差或方差比的估计问题，并给出判断。null(1) 方差12,22已知，1-2的置信区间可得 1-2 的置信度为1- 的置信区间为 两个正态总体均值差1-2的置信区间null(2) 方差12,22均未知，但n, m>50，1-2的置信区间可得 1-2 的置信度为1- 的置信区间为 null(3) 12 = 22 = 2而2未知，1-2的置信区间取枢轴量可得 1-2 的置信度为1- 的置信区间为 null两个正态总体方差比12/22的置信区间(1) 期望1 , 2 均已知，12/22的置信区间取枢轴量可得 12/22的置信度为1- 的置信区间为 null(2) 期望1 , 2 均未知，12/22的置信区间可得 12/22的置信度为1- 的置信区间为 null单侧置信区间定义 对于给定的 (0 <  < 1)， 是待估参数， X1,X2,…,Xn是取自总体X 的样本。若能确定一个统计量null非正态总体的区间估计 实际中经常遇到的一批产品的次品率的估计就是常见的一种非正态总体的区间估计问题。 在这批产品中随机地抽取一个产品，只有两种可能，或者是正品，或者是次品，可以看成一个服从(0-1)分布的随机变量X，其分布律为 f(x,p)=px(1-p)1-x，x=0,1 其中p是未知参数。null由第四章可知(0-1)分布的均值和方差分别为：  =p  2=p(1-p )=pq 050)的大样本来自(0-1)分布总体，求p的置信度为1- 的置信区间。null所以p 的近似置信度为1- 的置信区间为( p1, p2 )解之得null1 掌握点估计的概念，会使用矩估计法和极大似然估计法。3 掌握置信区间、置信度的概念，并会计 算指定的未知参数的置信区间，会求解单 个正态总体和两个正态总体的区间估计。小 结2 了解估计量的评选标准，会判断给定的估计量的一致性、无偏性和有效性。