第2章内积空间

第2章内积空间nullnull同济大学数学系 2009-3-22第 2 章内积空间2.1 实内积空间2.1 实内积空间定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，*若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，记作(a, b ) = r, 并且满足(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0  a = 0则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为...

nullnull同济大学数学系 2009-3-22第 2 章内积空间2.1 实内积空间2.1 实内积空间定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，*若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，记作(a, b ) = r, 并且满足(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0  a = 0则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性非负性null*定义内积null*定义内积A为 n 阶实正定矩阵，null*定义内积例. 线性空间C[a, b]，f , g∈C[a, b]null*由定义知(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )(6) (a, kb ) = k(a, b )向量长度向量长度记作 ||a ||。定理. 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则等号成立当且仅当a , b 线性相关；Cauchy-Schwarz 不等式三角不等式正定性齐次性*null*Cauchy-Schwaz的两种特殊形式向量的夹角向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知*向量的正交向量的正交定义. 设V 是实内积空间，a , b V , 若 (a , b ) = 0 , 则称 a 与b 正交，记作 a b 。这就是实内积空间中的勾股定理。*2.2 欧氏空间的正交基2.2 欧氏空间的正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。*null*且其中每个向量的长度都是 1，注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即Gram-Schmidt 正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程：*null*令*null由归纳法假设可知*几个定理和推论几个定理和推论定理1：n 维实内积空间V 必存在标准正交基。推论1：n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成V 的一个正交基。*几个定理和推论几个定理和推论* 题型题型2.4 正交补2.4 正交补定义: 设W, U是实内积空间V 的子空间，(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0, 则称a 与W 正交，记作a W ;(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0, 则称W 与U 正交，记作W U ;(3) 若W U，并且W + U = V, 则称U 为W 的正交补。注意：若W U，则 W与U 的和必是直和。*正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，则W 的正交补*定理: 设W 是实内积空间V 的有限维子空间，则向量的正投影向量的正投影则称向量b 为向量a 在W上的正投影，称向量长度||g ||为向量a 到W 的距离。垂线最短定理垂线最短定理定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，aV , b 为a 在W上的正投影，则 dW, 有并且等号成立当且仅当 b = d。最小二乘法最小二乘法（1）可能无解，即任意都可能使（2）不等于零，设法找实数组使（2）最小这样的为方程组（1）的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出，实系数线性方程组null2.问题的解决设（3）用距离的概念，（2）就是由（3）知 null找使（2）最小，等价于找子空间中向量使到它的距离比到中其它向量的距离都短. 设为此必这等价于（4）即这样（4）等价于或（5）例题例题2.5 正交变换2.5 正交变换定义: 设T 是实内积空间V 的线性变换，若a, V 有则称T 为V 的正交变换。正交变换的特征刻画正交变换的特征刻画定理: 设T 是实内积空间V 的线性变换，a, b V ，null*推论：(1) 两个正交变换的积仍是正交变换；(2) 正交变换的逆变换仍是正交变换。Householder 变换Householder 变换讨论正交变换H 的几何意义。null故H(a)是a关于子空间的反射，矩阵H 称为Householder矩阵，变换H 称为Householder变换，变换H 也称初等反射变换。2.6 复内积空间2.6 复内积空间定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域，*若a, b V, 存在唯一的 cC与之对应，记作(a, b ) = c, 并且满足(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )(3) (ka, b ) = k(a, b )(4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0  a = 0则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性非负性null*定义内积null*在复内积空间中还有(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g )且 (a , b ) = 0  a 与b 正交(10) Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组null设T 是复内积空间V 的线性变换，若a,V 有则称T 为V 的酉变换。null定理: 设T 是复内积空间V 的线性变换，a, b V ，2.7 正规变换与正规矩阵2.7 正规变换与正规矩阵null例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。定义3：设 A, B是复方阵，若存在酉矩阵U，使则称A与B酉相似。null定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是A是正规阵。推论：实对称阵必与对角阵相似的。

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