初一数学奥赛系列教程

初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题 1、 知识要点 1、整数的十进位数码表示 一般地，任何一个n位的自然数都可以表示成： 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i≤9，a n≠0. 对于确定的自然数N，它的表示是唯一的，常将这个数记为N= 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) 设m、n都是正整数，a是m的末位数字，则mn的末位数字就是an的末位数字。 (2) 设p、q都是正整数，m是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，有时可以用“凑”、“猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。 2、 例题精讲 例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。 分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。 解：设所求的四位数为a(103+b(102+c(10+d，依题意得： (a(103+b(102+c(10+d)+( d(103+c(102+b(10+a)=9988 ∴ (a+d) (103+(b+c) (102+(b+c) (10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d，d+2=b，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。 例2 一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。 分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。 解：设N是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数： ，不妨设其中的最大数为 ，则最小数为 。由“新生数”的定义，得 N= 由上式知N为99的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这9个数中，只有954-459=495符合条件。 故495是唯一的三位“新生数” 评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。 例3 从1到1999，其中有多少个整数，它的数字和被4整除？ 将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补0)，0000至1999共2000个数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，十位数字从0到9中选择，各有10种。 在千、百、十位数字选定后，个位数字在2到9中选择，要使数字和被4整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为a，在2，3，4，5中恰好有一个数b，使a+b被4整除(a+2、a+3、a+4、a+5除以4，余数互不相同，其中恰好有一个余数是0，即相应的数被4整除)；在6，7，8，9中也恰好有一个数c(=b+4)，使a+c被4整除。因而数字和被4整除的有：2(10(10(2=400个 再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1，百位数字从0到9中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在2到9中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2(2(10(2=80个。 在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中，百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有：2(2(2(2=16个。 最后，千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数，数字和被4整除，即1111和0000，而0000不算。 于是1到1999中共有400+80+16+1=497个数，数字和被4整除。 例4 圆上有9个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个9位数并且能被27整除。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个9位数也能被27整除。 分析：把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为： ，其能被27整除。 只需证明从其相邻一位读起的数： 也能被27整除即可。 证明：设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为： 依题意得： = 能被27整除。 为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数： 也能被27整除即可。 = ∴10• - =10( )-( ) = -( ) = ∵ 而999能被27整除，∴10003-1也能被27整除。 因此， 能被27整除。从而问题得证。 评注：本题中，109-1难以分解因数，故将它化为10003-1，使问题得到顺利解决。 这种想办法降低次数的思想，应注意领会掌握。 例5 证明：111111+112112+113113能被10整除 分析：要证明111111+112112+113113能被10整除，只需证明111111+112112+113113的末位数字为0，即证111111，112112，113113三个数的末位数字和为10。 证明：111111的末位数字显然为1； 112112=(1124)28，而1124的末位数字是6，所以112112的末位数字也是6； 113113=(1134)28•113，1134的末位数字是1，所以113113的末位数字是3； ∴111111，112112，113113三个数的末位数字和为1+6+3=10 ∴111111+112112+113113能被10整除 评注：本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。 例6 设P (m)表示自然数m的末位数， 求 的值。 解： = + +…+ = = ∵1995=10(199+5，又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5 ∴ =5+5=10 又 =0 ∴ =10 评注：本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。 例7 请找出6个不同的自然数，分别填入6个问号中，使这个等式成立。(第三届华杯赛口试题) 分析：分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是： ，它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。 解：首先，1= 从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取n=2可得： ∴1= 又利用上面给出的基本等式，取n=3可得： ∴ 1= 再利用上面给出的基本等式，取n=4可得： ∴ 1= 最后再次利用上面给出的基本等式，取n=6可得： ∴ 1= 即可找出2，5，20，12，7，42六个自然数分别填入6个问号中，使等式成立。 评注：1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取n时要适当考虑，如：最后一步就不能取n=5，因为n=5将产生 ，而 已出现了。 2、本题的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是不唯一的，如最后一步取n=12，就可得： 1= 例8 如图，在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的8个数码的平方和。 (第12届“希望杯”数学竞赛 培训 焊锡培训资料ppt免费下载焊接培训教程 ppt 下载特设培训下载班长管理培训下载培训时间表下载 题) 解：设a是未填上的数码，s是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于3个面，所以 6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a 即6s=3•45-3a，于是2s=45-a，可以断定a是奇数 而a不整除s，所以a只能是7，则填入的8个数码是 1，2，3，4，5，6，8，9，它们的平方和是： 12+22+32+42+52+62+82+92=236 例9在右边的加法算式中，每个(表示一个数字，任意两个数字都不同。试求A和B乘积的最大值。 ( ( ( +) ( ( ( ( ( A B 分析：先通过运算的进位，将能确定的(确定下来，再来分析求出A和B乘积的最大值。 解：设算式为： a b c +) d e f g h A B 显然，g=1，d=9，h=0 a+c+f=10+B，b+c=9+A, ∴A≤6 2 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，∴A+B=8 要想A•B最大，∵ A≤6，∴取A=5，B=3。此时b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故A•B的最大值为15. 评注：本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定g，d，h，然后再通过分析、观察得出A、B的关系，最后求出A•B的最大值。 例10 在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数 。并请这个人算出5个数 、 、 、 、 的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数 。现在设N=3194，请你做魔术师，求出数 来。(第四届美国数学奥林匹克试题) 解：将 也加到和N上，这样a、b、c就在每一位上都恰好出现两次，所以有 +N=222(a+b+c) ① 从而 3194<222(a+b+c)<3194+1000，而a、b、c是整数 所以 15≤a+b+c≤18 因为 222(15-3194=136，222(16-3194=358，222(17-3194=580，222(18-3194=802 其中只有3+5+8=16能满足①式，所以 =358 评注：本题将 也加到和N上，目的是使得由a、b、c组成的6个三位数相加，这样a、b、c在每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。 3、 巩固练习 选择题 1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数( ) A、7个 B、8个 C、9个 D、10个 2、若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)时均不产生进位现象，便称n为“连绵数”。如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则不超过100的“连绵数”共有( )个 A、9 B、11 C、12 D、15 3、有一列数：2，22，222，2222，…，把它们的前27个数相加，则它们的和的十位数字是( ) A、9 B、7 C、5 D、3 4、19932002+19952002的末位数字是( ) A、6 B、4 C、5 D、3 5、设有密码3•BIDFOR=4• FORBID，其中每个字母表示一个十进制数字，则将这个密码破译成数字的形式是 6、八位数141(28(3是99的倍数，则(= ，(= 填空题 7、若 ，其中a、b都是1到9的数字，则a= ,b= 8、在三位数中，百位比十位小，并且十位比个位小的数共有 个。 9、在六位数25 52中 皆是大于7的数码，这个六位数被11整除，那么，四位数 。 10、4343的末位数字是 11、2 m+2000-2 m(m是自然数)的末位数字是 12、要使等式 成立， 处填入的适当的自然数是 解答题 13、有一个5位正奇数x，将x中的所有2都换成5，所有的5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作y。若x和y满足等式y=2 (x+1)，求x 14、有一个若干位的正整数，它的前两位数字相同，且它与它的反序数之和为10879，求原数。 15、求出所有满足如下要求的两位数：分别乘以2，3，4，5，6，7，8，9时，它的数字和不变。 16、求12+22+32+42+…+1234567892的末位数 17、求符合下面算式的四位数 abcd ( 9 dcba 18、设 是一个三位数，a3>a1，由 减去 得一个三位数 ， 证明： + =1089 19、对于自然数n，如果能找到自然数a和b，使得n=a+b+ab,那么n就称为“好数”。如3=1+1+1(1，所以3是“好数”。在1到100这100个自然数中，有多少个“好数”？ 20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数，其中不同的字母代表从1到9中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个5位数，求这个和可能的最大值是多少？ _1067429211.unknown _1067445778.unknown _1067446391.unknown _1067456458.unknown _1067456462.unknown _1067456538.unknown _1067456557.unknown _1067456465.unknown _1067454500.unknown _1067454567.unknown _1067456394.unknown _1067454576.unknown _1067454531.unknown _1067454422.unknown _1067454488.unknown _1067446513.unknown _1067445985.unknown _1067446077.unknown _1067446362.unknown _1067446052.unknown _1067445872.unknown _1067445936.unknown _1067445821.unknown _1067433057.unknown _1067444850.unknown _1067445516.unknown _1067445718.unknown _1067445295.unknown _1067433427.unknown _1067433575.unknown _1067433217.unknown _1067432898.unknown _1067432985.unknown _1067433022.unknown _1067432918.unknown _1067432747.unknown _1067432809.unknown _1067429322.unknown _1067428331.unknown _1067428739.unknown _1067429047.unknown _1067429118.unknown _1067428910.unknown _1067428479.unknown _1067359457.unknown _1067425195.unknown _1067425433.unknown _1067359533.unknown _1067359485.unknown _1066761564.unknown _1067354794.unknown _1067359366.unknown _1067354253.unknown _1012372952.unknown _1012373018.unknown _1066758869.unknown _1012372936.unknown