第七卷第3期
2005年6月
遵义师范学院学报
Joumalofzun讧No肌alCoUege
V01．7．N03
Jun．2005
空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力
李孝生
(贵阳中医学院数学微机教研室，贵州贵阳550005)
摘要：在解答立体几何问题时，若能把立体几何问题转化为空间向量的运算，解答起来会收到事半功倍的效果。作
者介绍了空间两向量的数量积公式在证明立体几何中的线面中的位置关系及处理空间角和空间距离等问题中的方
法和技巧。
关键词：向量；公式；位置关系；角；距离
中图分类号：G633．6 文献标识码：C 文章编号：1009—3583(2005)03—0050—03
TheVigouroftheFonnualofQuntityProductofSpaceBiVectorinthe
SolutionofSolidGeometIYProbl哪s
LIxi∞一Skng
(MathsandComputerGroup，GuiyangTmditionalChjlleseMedicineCoUege，Guiyallg550005，Cllina)
Abst髓ct：Whens01ViIlgas01idgeometryproblem，ifwetra】[1sfIornlmeproblemintospaceVector，weshallget嘶cedle
resultwithhalfthee任．ort．HeretIleauthorin仃oduces出emncdonofthe南rnlualofqualldtyproductofbivectormproving
tllereladonbetween1ineandsu击ceandmetllodandskillinsolvingsuchproblerllsasspacean岔eandSpacedistafIce．
Keywords：vector；fonnual；mnction：an—e；distance
关于空间的两向量a、b的数量积公式为：a．b
=laJ．JbJcos(a，b)，如果建立适当的空间直角坐标
系，贝0有：a，b，+a2b：+a3b3=、／a．+‘+‘·、／b：+b；+b；
·cos(a，b)(见文【1】)，其中a={at，a2，a3)，b={b1’b2，b3)。此
公式在证明立体几何的线面中的位置关系、处理空
间距离与空间角等问题中充满着活力。
一、证明线面中的有关位置关系
由公式a．b=Ia|．Iblcos(a，b)，可得a上b§a．b=
o。由此可以证明线面中的有关平行与垂直等问题。
例1．(由2004福建卷·理改编)如图1，在三棱锥s—
ABC中，△ABC是边长为4的正三角形。平面
sAc上平面ABc，sA=sc=2、／3。M、N分别是
AB、SB的中点．求证：AC上SB。
图1
收稿日期：2005一04一05
作者简介：李孝生，男，贵州省贵阳中医学院数学微机教研室教师。
50
证明：因平面SAc上平面ABc。SA=SC。且
△ABC是等边三角形，所以可以AC的中点。为原
点建立如图1所示的空间直角坐标系，根据题设得：
o(O，O，0)，A(2，0，0)，B(0，2V3，0)，C(一2，0，O)，S
(o，o，2、／丁)
于是：蔚={_4，o，o)，商={o，2订，一2订)
再己．亏分=一4×o+o×2、厂F+o×(一2订)=o
．·．AC上SB
二、处理“空间距离”问题
空间距离包括：点到直线的距离、点到平面的距
离、两异面直线间的距离、直线与平面问的距离、两
平行平面间的距离等。但都可以转化为点到平面的
距离。
求解点到平面的距离的思路：根据两向量a、b的
数量积公式及其性质a上b§a．b=O．求出平面0【的
法向量n。设A为平面仪内的一点。则平面0【外一点
—．—o●P到平面仅的距离为：d=卫掣
lnl
例2．同例1，求点B到平面cMN的距离。
解：建立空间直角坐标系如图1所示。依题设
万方数据
李孝生·空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力
得：C(一2，O，0)，M(1，、／3，0)，N(0，、／3，、／2)，
B(o，2订，o)。则耐={3，订，o)，耐={2，
、／丁，、／丁)，两万={1，一、／丁，o)。设平面cMN的
法向量为：n={x，y，z)。
．n耐陋耐：of3X+订y=o．1n上C州 In·CM。=0f3x+、／3y=0
由k耐铮b肃：o甘12X+订y+订z：oI·——_ I’——_ I^_-l^／1一^／^一一nIn上CNln·CN=0lzx十Vjy十Vz z—u
铮{妒V2二．．．i：{订：，一订z'z)
ly2一、／6z
点B到平面cMN的距离d即为两宵在i上的
射影，所以卫掣=单
向 j
三、外理“空间角”的问题
1．求两异面直线间的夹角
设两异面直线a、b的方向向量分别为a、b，异面
直线a、b所成的夹角与a、b所成的夹角或者相等或
者互补。所以两异面直线所成的角O为：
e=arccosJ旦尘L
la1．|bl
例3．(2004浙江卷·理)如图2，已知正方形
ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
、／丁，AF=1。M是线段EF的中点，试在线段Ac上
确定一点P。使得PF与Bc所成的角是60。。
图2
解：依题意可建立以c为原点的空间直角坐标
系(如图2所示)。则：c(o，o，o)，A(、／2，、／2，o)，
B(0，、／2，0)，F(、／2，、／2，1)。
依题意可假设AC上存在一点P(a，a，o)(Os
as、／丁)，使PF与Bc成600。
茚={订飞订_a'1)，充={0’-订，o)
则有：。∞(帚，茹)=鹦=1：：坚箬尘垒昌些。一
嗍‘嘲、／(订一籼订一a)‘+1·订
即有co。60。=—≠垒笔垒芈解得：a=≥≥或
、／2(、／2一a)。+1
二
芈(舍去)
．·．P(j簪，土冬L，o)即P为Ac的中点
故线段AC的中点p使得PF与BC所成的角
为600。
2．求直线与平面间的夹角
设直线a的方向向量和平面a的法向量分别为
孟和二。根据两向量的数量积公式可求出：co。(；，二)=
_=笋』_。若cos(m，n)>o，，则直线a与平面仪的夹
m|．InI
角0=900一(m，n)；若cos(m，n)
上册
三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf
)【M】．北京：高
等教育出版社，1996．
【2】黄宣国．空间解析几何【M】．上海：复旦大学出版社，2004．
(责任编辑：朱彬)
万方数据
空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力
作者： 李孝生， LI Xiao-sheng
作者单位： 贵阳中医学院,数学微机教研室,贵州,贵阳,550005
刊名： 遵义师范学院学报
英文刊名： JOURNAL OF ZUNYI NORMAL COLLEGE
年，卷(期)： 2005，7(3)
被引用次数： 1次
参考文献(2条)
1.同济大学数学教研室 高等数学 1996
2.黄宣国 空间解析几何 2004
相似文献(10条)
1.学位论文 罗雪萍 向量变分不等式，开映射定理和共轭公式的推广 2008
向量变分不等式，开映射定理和共轭公式在分析学中都占有重要的地位，本文对这三类问题进行了研究.全文共三章。
第一章，考虑了在赋范空间中，一类具有集值映射的广义强向量似变分不等式解的存在性问题.证明了在伪单调假设下，这些广义强向量似变分不等
式解的存在性结果.还给出了这些广义强向量似变分不等式，在无单调条件假设下解的存在性结果.
第二章，研究了关于凸映射的开映射定理.在赋范空间中，推广了完备图的凸映射的开映射定理.还推广了在可度量化拓扑线性空间中，完备图的线
性映射是开映射的结果.
第三章，研究了在赋范空间中，真凸下半连续函数与线性映射结合的共轭公式的推广.作为应用，还讨论了闭凸集在线性映射下的象是闭集.
2.会议论文 汪咬元.宋志勇.喻晖 参向量有约束条件时连续时间混合线性模型的最优估计公式 1998
讨论一种连续时间混合线性模型的估计问题，得到了具有约束条件的未知条件的未知参向量和随机参向量的最优估计量公式。
3.学位论文 戴照鹏 Witt向量运算的清晰公式 2008
本文利用Witt向量环的运算法则，证明了定理：设a=(a0,a1,…an-1)，b=(b0，b1，…，bn-1)∈wn(F2)，其中ai,bi∈F2.记
a+b=c=(c0，c1，…，cn-1)，其中c∈wn(F2)，c1∈F2，则ci=ai+bi+ai-1bi-1+∑i-2 1-0 ajbj(aj+1+bj+1)(aj+2bj+2…(ai-1+bi-1)(i一0，1’…，n-
1).
从而给出了Wn(F2)的加法的清晰公式.作为推论，进一步给出了Z2上的加法公式.特别地，我们得到了整数按2进制展开后的加法公式.
4.期刊论文 杜云.DU Yun 用向量法证明海伦公式 -六盘水师范高等专科学校学报2009,21(3)
从数与形的角度对向量进行再认识,通过应用向量方法证明海伦公式,更进一步阐明了向量是沟通代数与几何的天然桥梁,是一个重要的数学模型,它
能为解决问题提供新的方法和视角.
5.期刊论文 刘德金 点到平面距离公式的多种推导 -高等数学研究2010,13(2)
利用平面的向量式方程和向量的射影、两点间距离、平行平面间距离,给出了点到平面距离公式的五种推导方法.相关方法显示了平面的向量式方程
和向量运算在解决几何问题中的重要作用.
6.学位论文 屈汉章 连续小波变换及其应用 2001
该书主要是将连续小波变换L<'2>(R)空间分别推广到几个比L<'2>(R)空间范围更广的空间.作为连续小波变换的应用主要是讨论了某些微分方程和相
应的积分方程之间的关系.1.讨论了L<'2>(R)空间上的连续小波变换,在L<'2>(R)空间中得到了由不同于原来的变换函数的积分核生成的重构公式在范数
收敛意义下成立的条件,讨论了由变换函数为积分核生成的重构公式和不同于原来的变换函数的积分核生成的重构公式之间的关系.2.将连续小波变换从
L<'2>(R)空间分别推广到多元函数空间和向量函数空间,在多元函数空间和向量函数空间中分别得到了由变换函数为积分核生成的重构公式和由不同于变
换函数的积分核生成的重构公式在弱收敛意义下和范数收敛意义下成立的条件,讨论了由变换函数为积分核生成的重构公式和由不同于的变换函数的积分
核生成的重构公式之间的关系.3.将连续小波变换从L<'2>(R)空间推广到抽象函数空间(从实数域到一个Hibert空间的所有范数平方可积的函数构成的集
合),在该空间中分别在弱收敛意义下和范数收敛意义下讨论了由变换函数为积分核生成的重构公式,在该空间中,重构公式不一定存在,得到了一种使得重
构公式存在且最为简单的变换函数的条件,找到了一种构造这种变换函数的方法.4.作为连续小波变换的应用,分别利用L<'2>(R)上的,多元函数空间上的
,向量函数空间上的和抽象函数空间上的连续小波变换分别得到了某些线性微分方程,某些线性偏微分方程,某些向量线性微分方程和某些抽象函数的微分
方程分别等价于其相应的积分方程,证明了它们不仅在弱收敛意义下而且在范数收敛意义下是等价的.
7.期刊论文 田卫东.沈积怀.TIAN Wei-dong.SHEN Ji-huai 用向量求解析几何两个基本公式 -杨凌职业技术学院学
报2005,4(3)
利用向量相等概念,只要已知起点、终点坐标即可求出向量的模,就可推证出两点间的距离公式;两向量相等,则与之对应的分量也相等,从而可利用代
数方法求出定比分点公式.
8.学位论文 郑林 关于有理插值的进一步研究 2009
有理插值问题是多项式插值问题的自然推广。本文我们充分利用Lagrange基函数，将插值节点进行有规划的分片(一元为分段)，应用多项式插值公
式进行适当的组合，给出矩形域上二元函数有理插值公式及一元和二元向量值有理插值函数的构造方法。方法简便，易于实现，且所构造的有理插值函
数次数与其它方法相比较低，便于实际应用。具体安排如下：
第一章，简述有理插值的基本理论与方法及本文要做的工作；
第二章，在分析已有研究工作的基础上，对矩形域上的有理插值问题，给出类似于多项式插值的有理插值公式；
第三章，对向量值有理插值问题进行扼要分析，给出构造一元和二元向量值有理插值函数的一种简便方法；
第四章，对所研究的问题进行扼要小结，并提出一些值得探索和研究的问题。
9.期刊论文 冯金顺.安宗灵.曹恒艺.FENG Jin-shun.AN Zong-ling.CAO Heng-yi 多元向量值小波包的正交公式 -
信阳师范学院学报（自然科学版）2006,19(4)
引入对应于多元向量值正交尺度函数的多元向量值小波包的定义,运用代数学理论和积分变换进一步研究多元向量值小波包的性质,得到多元向量值
小波包的一个新的正交公式.
10.学位论文 张华 图形渲染中直线扫描转换、线性变换及透视校正研究 2006
随着计算机及其外围设备的发展，计算机图形学的应用领域越来越广，同时，人们对图形的渲染效率和图形真实感提出了更高的要求。满足以上要
求有两个途径，一个是建模，另外一个是渲染。图形渲染，就是根据模型产生具有真实感图象的过程。如何提高图形的渲染效率和如何得到具有真实感
的图象是图形渲染的两个基本问题。本文针对图形
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
渲染管道的图形渲染效率和图形真实感，在直线扫描转换、三维线性变换的统一推导和透视校正
方面进行了以下研究：1)提出了直线扫描转换的一种快速算法。
在重点分析了Bresenham中点整数算法的基础上，本文采用标量1为决定因子。通过计算累计误差的符号，由此符号判断下一个象素的选择。和经典
的直线扫描转换算法——Bresenham中点算法相比，本文算法同样具有整数运算的特点，至少减少6％的扫描转换时间，并具有与Bresenham中点算法相同
的视觉效果。
2)解决了基于四元数代数的三维线性变换统一推导问题，突破了Goldman提出的不能用四元数方法进行统一推导的限制。
线性变换的矩阵
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示已在计算机图形的软硬件中得到了广泛的应用。2003年，Goldman提出了一种基于向量代数的线性变换统一推导方法。采用
Goldman方法，可以进行计算机图形学中线性变换的统一推导，但在求解统一推导公式过程中，需用到向量的三叉积公式，且要求两已知向量不能相互垂
直。
本文分析了三维线性变换的特点，研究了用四元数代数求解三维线性变换的方法，并具体给出了计算机图形学中三维线性变换的统一推导实例。和
向量代数方法相比，四元数方法求解统一推导公式的过程中，不需要向量的三叉积公式，且不需要两已知向量相互垂直。
3)提出了基于几何代数的三维线性变换统一推导方法。
几何代数是一种比向量代数和四元数代数更具概括性的数学语言，它在计算机图形学中的应用还不普遍。本文在分析了矩阵代数、向量代数和四元
数代数进行三维线性变换推导的基础上，采用几何代数，研究了三维线性变换的统一推导公式。分析表明采用几何代数与采用四元数代数在解决三维线
性变换的统一推导问题方面，数学描述等价。在几何代数方法求解统一推导公式的过程中，不需要两已知向量相互垂直。用几何代数推导出的旋转变换
和反射变换结果表达式比用向量代数和四元数推导的结果表达式更简洁。
4)证明了Gouraud和Phong明暗处理中的透视校正公式可适用于多级的图形渲染管道，即适用于从透视变换开始，经透视除法，直到视口变换的渲染
管道。
Low方法仅在图形标准渲染管道的透视变换级，采用相似三角形理论解决了Gouraud和Phong明暗处理中的透视畸变问题。本文通过分析图形标准渲染
管道，结合已有的透视校正方法，采用矩阵代数对多级的图形渲染管道，逐级推导出了透视校正公式。推导结果表明，本文的校正公式与Low方法的结果
完全相同，而Low方法的校正未用于渲染管道的其他部分；最后，用本文透视校正公式给出了透视校正曲线和双线性插补Phong明暗处理的透视校正对比
实验。
5)提出了等角插补明暗处理的透视校正方法。
Gouraud和Phong明暗处理的透视校正采用线段长度比值的校正方法，等角插补明暗处理的透视校正采用角度比值的校正方法。本文推导出了等角插
补明暗处理的透视校正公式，并证明了用本文透视校正公式所得的插补向量同样具有单位向量的性质。最后，用本文透视校正公式给出了等角插补明暗
处理的对比实验。
引证文献(1条)
1.孙晓雄 向量在立体几何中的应用[期刊论文]-考试周刊 2008(6)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zysfxyxb200503017.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c3a9f889-8bbd-4d36-942c-9dca00984b6a
下载时间：2010年8月6日
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