导数学习中的易错题剖析

导数学习中的易错题剖析江西周湖平导数作为一种工具，在解决数学问题时应用极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线等．但考生由于对基本概念、基本理论理解不准确而导致失误屡见不鲜．本文对导数应用中常见的一些错误作一简要剖析，供考生参考．落例l：求y=sinz(2x号)的导数．错解设y=sin2u，“一2x一号，则 y7一(sin2“)7。·“7产2sinu·“7—4sin(2．x一号)．剖析复合函数求导数要分清每次所对应的函数和复合过程· ’ + 正解y一"2，“一sinv，t，一2x...

江西周湖平导数作为一种工具，在解决数学问题时应用极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线等．但考生由于对基本概念、基本理论理解不准确而导致失误屡见不鲜．本文对导数应用中常见的一些错误作一简要剖析，供考生参考．落例l：求y=sinz(2x号)的导数．错解设y=sin2u，“一2x一号，则 y7一(sin2“)7。·“7产2sinu·“7—4sin(2．x一号)．剖析复合函数求导数要分清每次所对应的函数和复合过程· ’ + 正解y一"2，“一sinv，t，一2x一詈，则．，y7一(∥)。7·(sinv)t7·(2x一号)7，一4ucos口一 4sin(2x一罢)cos(2x--吾)． J J 一、妇例2 已知函数厂(z)ax3+3x2一z+1在R 上是减函数，求口的取值范围．错解函数厂(z)的导数f7(z)一3ax2十6x一1，因为f(z)在R上是减函数，所以 f’(z)一3ax2+6x一1<0对任何．27∈R成立．，所以口一3时，／(z)一3ax2十6z一1>o在R 上至少可解得一个区间．所以当口>一3时，，(z)不是 R上的减函数．综上，所求a的取值范围是(一。。，一3q．． ’妇≯例3 已知函数，(z)一z3+口z2+bx+a2在 z一1处有极值10，求，(2)的值．错解因为f(z)=X3+口z2+bx+a2，所以／cz，一3∥--t-2ax+6．又依题意，得{乞暑竺嚣’净 j{3。++2a++b+=。O一,净{：三竺11或{口三工3’所以I／J,ab a 10 1 b 3 ，f 辛f 业‘ 盯．一 11+++2一16一一。‘【一， ⋯ 当口一4，6一一11时，，(2)一18；当n一一3，b一3时，，(2)一11．所以f(2)一18或，(2)一11．剖析／(z。)一0是f(z)在X—zo处有极值的必要不充分条件，事实上，导数为0的点称为存在极值可疑点，若它的两侧导数异号，它才为极值点；若同号，则不为极值点．因此上述解法在解得a、b的值后，还应检验．正解由上面的解法，得：当n一4，6一一11时，／(z)一3x2-I-8z一11一 (工一1)(3x+11)．当a一一3，6—3时，，(z)一3x2—6x+3—3(z一1)2．显然／(z)在z一1的两侧不异号，故z一1不是 f(z)的极值点，所以a一一3，6—3不合题意，应舍去，所以，(z)一∥+4x2—11z+16为所求，故，(2)一18．珏例4 若函数厂(z)一z3—4一+2的单调递减区间为(0，2)，则a的取值范围为．错解 f7(z)一．3x2—2ax，令f7(z)<0，得 o0； B口≥0；． C口<0I D4≤0 2．y=cos2(1nx)的导数为． 1一J 3．设函数，(z)=七=兰+l船在[1，+o。)上为增函数，求 “』正实数口的取值范围． 4．求曲线y=3工一≯的过点A(2，一2)的切线方程． 5．已知函数厂(z)=z3--aX2+bx+c的图象为曲线E． (1)若曲线E上存在点Pi使曲线E在P点处的切线与z轴平行，求口，b的关系； (2)如果函数，(z)可以在z=一1和工=3处取得极值，并求此时口，b的值； (3)在满足(2)的条件下，f(x)<2c在X∈[·2，6]恒成立，求f的取值范围．链接练习参考答案 1．c． 2√=一÷sin(21nx)． 3．提示：由已知得／。)一a虿JC--1t．缸>o)，依题意得薏尹≥o 对z∈／-1，+一)恒成立，所以口z一1≥0对z∈[1，+。o)恒成立，所以口一1>／o，即口≥1．。 4．提示：设切点为声(磊，yo)，则Y7—3—3≯，所以在点P处的切线方程为，一yo=(3—3瑶)(z一瓤)，又因为切线过点 A(2，一2)，所以一2-(3xo一工3)=(3-3蠢)(2一鳓)，整理得露一3蠢+4—0，即(xo+1)(zo一2)2=0，解得．TO一一1或勘一2．所以当勘=一1时，切线方程为Y一一2；当函=2时，切线方程为9z+y一16—0，所以所求切线方程为y一一2或 9x+y--16=0．一’r 莓．提示：(1)／(z)一3x2—2nz+6，设切点为P(xo，yo)，则曲线y=，(z)在点P的切线的斜率惫一／(Xo)一3蠢"7"2axo+6，由题意知／(z。)=3磊一2axo+6；0有解，所以 △一4a2—12b≥O，即扩≥3b．《。， (2)若函数，(z)可以在z=一l和z=3处取得极值，贝|l ／(z)=3x2～2ax+6—0有2个解工=～1和z；3，且满足 ∥≥3b．易得口=3，6一--9．。 ? (3)由(2)，得，(z)一X3—3x2--9x十c．根据题意。，，￡ c>x3—3≯一9x(x∈[一2，6])恒成立．； ?‘ 因为函数g(z)=≯一3x2—9x(x∈[一2，03)在z=一1：时有极大值5(用求导的方法)，且在端点x=6处的值为54．一所以函数g(z)一p一3≯--9x(x∈[一2，6])的最大值为54，所以c>54h。⋯÷，，。。“：。。⋯“⋯．．-。L．，⋯一，∥# ． (作者单位：江西省吉水中学) 罐舭 ⋯排踟⋯⋯枷⋯吨⋯仳一雨果万方数据导数学习中的易错题剖析作者：周湖平作者单位：江西省吉水中学刊名：高中数理化（高三）英文刊名： GAOZHONG SHU-LI-HUA 年，卷(期)： 2008(1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh-gs200801016.aspx

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