数学建模：怎样建模

nullnull怎样建模－讲座1*江 惠 坤南京大学数学系参考书参考书 1. 姜启源等，数学建模（第三版），高等教育 出版社，2003. 4. 吴建国等，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005. 2. 叶起孝，大学生数学建模竞赛辅导材料（－、二、三），湖南教育出版社，1993，1997，1998. 3. 白其峥，数学建模案例分析，海洋出版社，2000.大学生数学建模竞赛网：http://www.mcm.edu.cn 5. 蔡锁章，数学建模：原理与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，海洋出版社，2000目录目录1.1 从现实对象到数学模型 1.2 建立完整的数学模型 建模表 1.3 建模实例 模型一（简单模型） 模型二（迎面雨模型） 模型三（背后雨模型） 模型四（改进的背后雨模型） 1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型 建模的方法有很多，不可能一一掌握。要掌握的关键部分是：1、建模的一般方法和要求，了解建模的全过程；2、掌握几个不同类型的具体案例；3、大致浏览了解一下各种方法所能解决的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ， 各种建模案例，以便需要时尽快查阅和参考；4、掌握一些常用的数学方法，体会和感觉实际问题是如何用上这些数学方法的。1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型 在现实生活中, 人们经常会遇到这样的问题, 需要揭示某些数量的关系（如 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 、方程等）、模式（如框图等）或空间形式（图形等）, 以期望使问题得到圆满解决.例 价格竞争问题. 两个加油站位于同一条公路旁,为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油, 彼此竞争激烈. 一天甲加油站推出``降价销售" 吸引顾客, 结果造成乙加油站的顾客被拉走,影响了乙站的赢利. 利润是受售价和销售量的影响和控制的, 乙加油站为了挽回损失采取对策, 决定也降低售价以争取顾客,问他们如何决定汽油的价格, 既可同甲站竞争, 又可获取尽可能高的利润.1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型要解决这样的实际问题, 首要的工作是建立与问题相符的数学模型, 即要把实际问题变成正确的数学表述, 然后在模型的基础上进行理论求解, 分析和研究。我们将站在乙加油站的立场上为其制定价格对策。需要建立一个数学模型来描述甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的 变化情况。为描述价格和汽油销售量之间的关系, 引入如下一些指标:1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型P---汽油的正常销售价格(元/升); L ---降价前乙加油站的销售量(升/日); w ---汽油的成本价格(元/升); x ---乙加油站的销售价格(元/升); y ---甲加油站的销售价格(元/升). 还需要分析影响乙加油站 销售量的因素. 它受以下几个因素的影响:(1) 甲加油站汽油降价的幅度; (2) 乙加油站降价的幅度; (3) 两站之间汽油销售价格之差. 此外还假定汽油的正常销售价格保持不变, 并且假定以上各因素对乙加油站汽油销售量的影响是线性的。1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型于是, 乙加油站的汽油销售量可由下式给出L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)其中 a, b, c 是以上三个因素对乙加油站汽油销售量影响的比例常数, 且均大于零。因此乙加油站的利润函数为R(x, y)=(x-w)[L-a(P-y)+b(P-x)-c(x-y)] 如果 y 给定, 可以求得 R(x, y) 关于 x 的极大值点为（关于 x 的驻点）：x*=[L+y(a+c)-P(a-b)+w(b+c)]/[2(b+c)]即，当甲加油站把汽油价格降到 y 元时,乙站把它的汽油价格定为 x* 时,可以使乙站获得最高利润。1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型 在数值模拟中, 令 L=2000, P=4, w=3, y=3.7, 3.8, 3.9 由于经济学的现象是难以通过试验来实现的, 我们无法要求任何一个加油站频频调整它的销售价格来系统计算不同价格下的销售量，因此参数 a, b, c 难以给出估计值, 只能是虚拟数值 a=b=1000, c=4000. 表1.2 列出了甲加油站降价 0.1元 , 0.2元, 0.3 元时乙站的最优销售价格。1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型表1. 2 乙加油站的最优售价及其利润y x R(x,y) 3.9 3.65 2112.5 3.8 3.60 1800.0 3.7 3.50 1512.5 看过这个例子，我们给出数学模型和建模的基本概念（提法会不同，这里提供一种说法而已，主要意义是一样的）： 数学模型实际上就是以 解决某个现实问题为目的, 做出一些必要的 简化和假设, 运用适当的数学工具得到的一个数学结构.1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型数学模型作为一种模型，必须对现实问题中的现象作出一些必要的简化和假设， 首先要忽略现实问题中与数量无关的因素，其次还要忽略一些次要的数量因素。 正是由于这种原因，可以说数学模型是用数学关系式或数学结构来描述的一种假定情况。 虽然说是描述实际问题，但与真实的实际问题还是有一定差距的。 数学建模就是要建立特定实际问题的数学模型，解出该模型的结果，并用此解释实际问题，或预测该实际问题的未来状况，或提供处理该实际问题的最优决策或控制。1.1 从现实对象到数学模型1.1 从现实对象到数学模型最后还要指出, 数学建模的方法与其他抽象方法是不同的。 它除对现实问题中的事物、过程和现象进行抽象, 还必须要用某种文字、符号、图形、数学公式描述客观事物的特征及其内在联系,然后对它们进行研究、分析、试验, 并导出结论. 这种结论是针对特定问题的，其普遍性不如其他的抽象方法。null数学建模方法与实验方法也不同：它不要求对事物过程或现象本身进行科学实验, 只通过模拟这些事物过程和现象的模型进行验证。其验证过程简易，成本极低。 正因为如此, 这种数学建模方法在解决实际问题中得到了广泛的应用. 1.2 建立完整的数学模型 我们已经看到数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段. 那么,什么是一个好的数学模型呢? 一般说来,好的数学模型应具备以下特点:1.1 从现实对象到数学模型、1.2 建立完整的数学模型null1.2 一个完整的建模过程(1) 对所给问题有较全面的考虑。1) 列举各种因素; 2) 选取主要因素计入模型; 3) 考虑其他因素的影响, 对模型进行修正.(2) 在已有模型上进行创造性的改造。(3) 善于抓住问题本质, 简化变量之间关系。（与（1）相对）。 (4) 注重结果分析, 考虑其在实际中的合理性。 (5) 具有较好的稳定性。null1.2 一个完整的建模过程在了解数学模型的特点之后,下面我们给出建立数学模型的方法和步骤（七步法）:(1) 明确问题 (2) 进行合理的假设 (3) 建立模型。注意两点：其一，先简单，后完善； 其二， 要善于借鉴已有问题的数学模型. (4) 模型求解 (5) 模型的检验与修正 (6) 用模型的结果回答问题 (7) 写报告、修改、打印、校样工作null1.2 一个完整的建模过程 建立数学模型的步骤（七步法）可以用下面的框图表示:明确实际问题 简化、假设 建立模型 模型应用 验证模型 模型求解 写作报告也有人用下面的(五步法)归纳建模的步骤：明确实际问题 简化、假设 ，选择 建模方法 回答问题 求解模型 建立模型null1.2 一个完整的建模过程 另外还有一个关于“七步法”的内容提示的表格可以供参考：第一步 明确问题 要点：选题：根据 1、 难易度, 2、自己情况 ( 如建模知识、计算机能力、理解程度、背景). 目的：确定研究问题 方法提示：简易模拟、分析法、经验法等null1.2 一个完整的建模过程第二步 进行合理的假设 要点：识别问题：已知是什么: 数据、关系、事实、各种因素包括题中没有但相关; 查询问题涉及知识、来源、信息， 它们可靠吗? 它的各部分涉及的数学: 内容、算法/方法; 问题存在什么样的解答? 要求什么? 解答形式: 数据、图形、关系、方法、决策等; 能否用一例子去类比、模拟? 目的：完成问题的提出; 问题的分析; 基础假设; 弄清问题的特征、可能已有的模型; 掌握相应的数学知识、方法. 方法提示：先简单, 后逐步深入, 化整为零, 由初等到高等; null1.2 一个完整的建模过程第三步 建立模型 要点：拟定建模计划： 寻找最简单的模型/基于已有模型的推广讨论/图解; 确定符号与单位, 比较模型与实际问题, 识别并列出相关因素, 收集数据;分析并给出所需的假设, 草拟关系与方程; 选择适当数学方法进行模型 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 . 目的 ：建立数学模型：按某种``规律" 建立起变量、参数间明确的数学问题. 方法提示： 特殊方法(应有重点), 常规方法.null1.2 一个完整的建模过程第四步 求解模型 要点：求解模型：试用已学过的初等/高等数学方法; 试用了解的应用数学/离散数学/统计数学方法; 试用计算数学作数值计算/近似计算; 试用软件包/编程计算. 目的：给出解法和结果：数据、表格、图形、函数、公式. 方法提示： 用各种数学方法和算法, 各种数学软件包(Math, MathCAD, Mathcai, SPSS, MatLab, Lindo 等 ).null1.2 一个完整的建模过程第五步 模型的检验与修正 要点：翻译数学解：检查结果和计算的可靠性? 合理性? 在给定假设下, 是你所希望的``最好" 解吗? 它全部的实际意义是什么? 目的：描述 数学解的实际意义。 方法提示： 直译/具体数据代入/分情况分条件。null1.2 一个完整的建模过程第六步 对模型的评价 要点：检验、改进、推广： 1. 检验: (1) 稳定性和灵敏度分析; (2) 统计检验和误差分析; (3) 新旧模型的对比; (4) 实际可行性检验. 2. 改进: (1) 能最大限度的降低数学复杂性; (2) 能更符合实际? (3) 考虑次要因素对结果的影响? (4) 考虑部分重要的偶然因素的影响?null1.2 一个完整的建模过程3. 推广: (1) 普适性; (2) 对数据的依赖性减弱; 4. 评价: (1) 准确性; (2) 实用性; (3) 方法的创造性; (4) 与优秀论文 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 进行对照.目的: (1) 模型的正确性; (2) 寻求更好的模型; (3) 若不满足题意, 转第2步; (4) 模型的优缺点. 方法提示：直观检验法, 预测方法、随机数学、层次分析法、统计综合评价等.null1.2 一个完整的建模过程第七步 写报告、修改、打印、校样工作 要点：写报告、打印论文。（对竞赛要非常重视这一步的重要性） 目的：完成论文及校样,。 方法提示：注意格式的规范性，文章的条理性，重点突出使得一目了然； 排版软件（如WORD、Latex）的正确使用等。我们要求一律用Office2003及其自带的公式编辑器。null摘要是评阅人读到的第一段信息。它应该写得很好，并且包括答案或结果的概要。 它应该能激起评阅人想去念你们的文章，看看你们是怎样得到结果的。 评阅人对摘要置以很大的权重，有时候获奖论文和其他论文的区别就在于摘要的质量。 为了写好摘要，试设想一下：评阅人是根据你们的摘要来决定要不要去念你们的文章的主体的。 写好摘要 评阅人的评注null因此，摘要应该清楚地陈述你们处理问题的方法，并以最显眼的方式陈述所得到的最重要的结论。 要把“基本结果和经营管理方面的建议”放在摘要中。 切记要简洁，不要把对所用的方法的讨论包括在摘要中，也不要只是把你们所做的事情流水帐地列出。 只是重述竞赛的试题或剪贴文章的引言的陈腐材料通常认为是比较差的。写好摘要 评阅人的评注评阅重点：评阅重点：写作 模型 方法 结果 将模型、方法、结果这三个主要部分的分数分配到各个子问题null1.3 数学建模实例 下面我们给出一个例子来说明如何应用上面所指出的过程去建立数学模型, 重点是“如何作出合理的、简化的假设”, “用数学语言确切地表述实际问题”, 以及“怎样用模型的结果解释实际现象”。题目：建立雨中行走的数学模型1 问题的提出与分析 这是一个开放性的问题，它没有任何数据。我们需要按照第一、第二步的提示，采用恰当的方法，合理地描述（提出）、分析、识别这个问题。null1.3 数学建模实例问题的提出： 在雨中未带雨伞行走, 显然尽可能快的走, 减少淋雨时间才能少淋雨。 如果考虑降雨方向的变化, 在全部距离上快跑不一定是最好策略。 我们讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。问题的分析： 这个问题的实际背景比较简单, 但要先分析出参与这一问题的主要因素： 1. 降雨的大小; 2. 风的方向, 也即降雨方向; 3. 路程的远近及你跑的速度.这个问题的解答要求的是决策与数据。null1.3 数学建模实例为了建立本问题数学模型，要通过适当的假设，简化问题，从最简单的情形入手，然后逐步深入讨论。假设与符号 (1) 降雨的速度(即雨滴下落速度)和降水强度保持不变; (2) 人在雨中沿一直线从某地跑至目的地; (3) 以定常速度跑完全程; (4) 风速、风向始终保持不变; (5) 把人体看成是一个长方体物体。null1.3 数学建模实例D (米)——雨中行走的距离 , t (秒)——雨中行走的时间, v (米/秒)—— 雨中行走的速度; h (米)——行人的身高, w (米)——行人的宽度, d (米)——行人的厚度; C (升)——身上被淋的雨水总量, I (厘米/时)——降雨的大小即降水强度(单位时间平面上的降下雨水的厚度, 由雨滴密度和降雨速度决定).null1.3 数学建模实例3 建模与求解 （通过第三、四、五步的提示建立数学模型、求解、翻译数学解）(1) 模型一：简单模型 首先讨论最简单情形, 即不考虑降雨角度的影响, 也就是说行走过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水.注意：在建立模型时，特别要重视取值单位的一致性，还要区分不变的量（常量），与可以用来调节、分析的量（变量）。null1.3 数学建模实例 在以上的假设中，身体尺寸是不变的, 从而身体被雨淋的面积 S=2(wh+dh)+wd (m2) 是不变的； 行走的距离 D（米）和降水强度 I（厘米/时） 也是不变的, 它们可认为是问题的参数。而雨中行走的速度 v （米/秒） 及雨中行走的时间 t=D/v （秒）是问题中的变量。 考虑了各参量取值单位的一致性后, 可以得到在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水总量是 C=t·(I/3600) ·S·0.01 （m3） =(D/v) ·(I/3600) ·S·10 (升) （厘米＝0.01m, 0.01（m3）＝10（升））null1.3 数学建模实例 模型中的参数可通过观测和日常调查资料得到. 当降水强度 I 给定时, 从上述表达式可以看出, 被淋在身上的雨水总量与雨中行走速度成反比 现在问题中假设: D =1000米, h =1. 50米, W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/小时）. 如果一个人在雨中以可能最快的速度 v =6（米/秒） 向前跑, 则他在雨中行走时间为 t =167（秒）, 身上被淋的雨水总量是 C=167·(2/3600) · S· 10=2.041 (升) 其中 S=2. 2 (m2) 是身体被雨淋的面积. null1.3 数学建模实例结果分析： 行人在雨中仅跑了 2 分 47 秒, 身上却淋了 2 升的雨水 （ 约 4 酒瓶水）， 这是不可思议的。表明这个模型用来描述雨中行走被雨淋湿的状况不太符合实际情。 如果淋雨面积只有身体的上方，即 S=0.5·0.2=0.1（m2）， 则淋雨总量为 C=167·(2/3600) · S· 10=0.093 (升) 只有不到 2 两（一小酒杯）的水，又太少了.null1.3 数学建模实例 按建模程序, 需回到对问题所作的假设, 考虑这些假设是否合理。我们发现没重视降雨角度的影响和速度与降雨强度的关系，把问题过于简单化了.下面考虑降雨角度并分解降雨强度为“雨滴密度与速度的乘积”}：设θ——降雨的角度（雨滴下落的反方向与行人前进方向之间的夹角）； r (米/秒)——雨滴下落的（径向）速度; p——雨滴的密度（降雨强度系数）, 它表示在某一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数；于是有 I=pr, 显然 p<1，p 较大时，意味着大雨倾盆.null1.3 数学建模实例(2) 模型二：迎面雨模型（图1.1） 因为雨水是迎面而来落下的, 由经验知道, 这时被淋的部位仅是行人的顶部和前方, 因此淋在身上的雨水分为两部分计算.hwdθ在时间 t=D/v 内淋在顶部的雨水量为 C顶=(D/v) w d ( pr sinθ).前方表面被雨水淋到的量为 C前=(D/v) w h [ p(r cosθ+v)].图 1-1null1.3 数学建模实例这样在整个行程被淋雨水的总量是写成于是，对于迎面雨（即 0<θ<=90o）, C 是 v 的减函数, 只有当速度取可能的最大值时 C 达到最小。null1.3 数学建模实例 仍然沿用前面采用的参数值, 即在问题中已假设:D =1000米, h =1. 50米, W =0. 50米, d =0. 20米, I =2（厘米/小时）. 如果进一步假设落雨速度是 r=4 (米/秒), 由降雨强度 I=2 (厘米/小时), 可估算出它的强度系数 p=1.39·10-6.把这些参数值代入上式可以得到：如果一人在雨中以可能最快的速度 v=6（米/秒） 向前跑, 则他在雨中行走时间为 t=167 (秒), 考虑在两种情况下身上被淋的雨水总量：null1.3 数学建模实例(1) θ=90o . 在这种情形下雨滴是垂直落下, 由上述模型可得 即若行人以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量为 1.135 (升).问题：这里同样没有考虑降雨的角度，所得结果与模型一完全不同，为什么？null1.3 数学建模实例(2) θ=60o . 雨滴迎面向身上落下. 这时 此人同样以 v=6 米/秒速度猛跑, 淋雨水量为 1. 47 (升). 当 90o<θ<180o . 雨滴从后面向身上落下，上面的模型已经不适用，建立另外的模型如下：null1.3 数学建模实例(2) 模型三：背后雨模型回到开始的建模过程. 如图1-2：将速度分成两种情况.情况1：考虑 v<= r sinα, 也就是说行走速度慢于雨滴的水平速度, 这时雨滴淋在身背后.情况2：当 v>r sinα时, 即在雨中行走速度快于雨滴的水平速度2米/秒, 这时雨水将淋在胸前.图1-2null1.3 数学建模实例情况1： v<= r sinα情况2： v> r sinα图1-2null1.3 数学建模实例 采用数据：r=4, p=1.39×10-6, D=1000, w=0.5, d=0.2, h=1.5 得情况1： v<= r sinαnull情况2： v> r sinα1.3 数学建模实例注意到：情况2中，当 tanα>0.133, α>7.59o 时淋雨量与前进速度成正比下面做数据试验：取 θ=120o, 即 α=30o 角，雨从后面落在人的背上.null1.3 数学建模实例情况1： v<= r sinα也就是说行走速度慢于雨滴的水平速度, v=2 时淋在全身的雨水总量应为 情况2：当 v> r sinα，例如人以 v =6（米/秒） 的速度奔跑，淋在全身的雨水总量应为 null1.3 数学建模实例我们发现，模型三仍存在明显的问题：（i）情况1中，当人以 v = r sinα速度向前行进时，C后=0. 即只有上面淋雨，人的前面不淋雨合理吗？（ii） 情况2中，当 tanα<0.8/6 时，淋雨量与速度成反比， 所以让速度刚好等于落雨速度的水平分量，即 v = r sinα，于是 C前=0， 即只有上面淋雨，合理吗？从这些问题得到启示，模型三需要改进！问题在于我们没有从正体上考虑下雨的速度，而只是微局部地考虑雨点的速度。null1.3 数学建模实例模型四：改进型模型 只考虑 h·tanαr sinα） 即，则null1.3 数学建模实例 做数据试验：仍取 r =4, p =1.39×10-6, D=1000, w =0.5, d =0.2, h =1.5 ，与 α=30onull1.3 数学建模实例null1.3 数学建模实例用上面的试验数据 r=4, d=0.2, h=1.5 计算一下的 α的值：null就可以解释 C3(2) 与C3(6) 相差很小的原因了。只要注意到1.3 数学建模实例null1.3 数学建模实例结论分析：(1) 如果雨是迎着你前进方向落下（即迎面雨模型下）, 策略很简单, 应以最大的速度向前跑. （2） 如果雨是从你背后落下，最优策略依赖于下雨的速度、角度、人体的高度和厚度。以本题数据为例: 当 α>31.33o 时应控制雨中行走速度, 让速度刚好等于落雨速度的水平分量. 当 α<31.33o 应以最快的速度往前跑.当 α=31.33o 时以的任何速度跑淋雨量都是一样的。null 此外，如果不光是人体前、后、顶部被雨水淋湿, 人体的侧面也淋到雨（即雨滴下落的反方向与侧面法线方向不是直角）时, 以上的雨中行走策略还正确吗? 这个问题留给同学作为作业！1.3 数学建模实例 以上是描述整个建模及其分析过程的典型例子, 希望能有助于读者更快地掌握数学建模的思路.null结束页谢谢大家的关注！