华北电力大学 矩阵论 邱启荣1[1]

1 1 第一章 线性空间 Made By QQIR 邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR@ncepu.edu.cn 矩矩 阵阵 论论 2 第一章 线性空间 Made By QQIR 课程：课程：矩阵论（矩阵论（Matrix TheoryMatrix Theory）） 学时：学时： 4848学时学时 （（48 Lectures48 Lectures）） 教材教材：矩阵理论及其应用（第１版）：矩阵理论及其应用（第１版） 邱启荣邱启荣 主编主编 中国电力出版社，中国电力出版社， 20082008 任课教师任课教师：： 邱启荣邱启荣 考核方式：考核方式：闭卷笔试闭卷笔试 考核方式：考核方式：由研究生院统一安排由研究生院统一安排 3 第一章 线性空间 Made By QQIR 三、教学指导意见三、教学指导意见 矩阵与计算工具：矩阵与计算工具：MATLABMATLAB 教学参考 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 教学参考书：： 《《矩阵论学习指导矩阵论学习指导》》邱启荣邱启荣 中国电力出版社，中国电力出版社， 20102010 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，20042004。。 不交作业，但应该重视练习环节。不交作业，但应该重视练习环节。 4 第一章 线性空间 Made By QQIR 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 中有三级标号的例题是教材中 的例题，只有二级标号的例题是学习指 导中的例题。 5 第一章 线性空间 Made By QQIR 第一章 线性空间 线性空间是线性代数的中心 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，它是 几何空间的抽象和推广． 在线性代数中，定义了n维向量的加法和 数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关 于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论． 6 第一章 线性空间 Made By QQIR 现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开 向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数 量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来， 就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将 使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相 当广泛的领域内得到应用． 2 7 第一章 线性空间 Made By QQIR 事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自 然科学与工程技术的许多领域，同时对于我 们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代 数也有非常重要的指导意义。 8 第一章 线性空间 Made By QQIR §1.1集合与映射 9 第一章 线性空间 Made By QQIR 一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记作： ；a A∈ 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：a A∉ 1、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆ 10 第一章 线性空间 Made By QQIR ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 2 2{( , ) 4, , }M x y x y x y R= + = ∈ 例2 N＝ ，{0,1,2,3, }"" {0, 2, 4, 6, }± ± ± ""2Z＝ 例3 2{ 1 0, } { 1,1}M x x x R= − = ∈ = − M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝ 11 第一章 线性空间 Made By QQIR 2、集合间的关系 ☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 A的子集，记作 ，（读作B包含于A）B A⊆ B A⊆ 当且仅当 x B x A∀ ∈ ⇒ ∈ ☆空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ ☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与 B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 且A B⊆ B A⊆ 约定：空集是任 意集合的子集合. 12 第一章 线性空间 Made By QQIR3、集合间的运算 交： ；{ }A B x x A x B= ∈ ∈∩ 且 并： { }A B x x A x B= ∈ ∈∪ 或 显然有， ;A B A A A B⊆ ⊆∩ ∪ 1、证明等式: ．( )A A B A=∩ ∪ 证：显然， ．又 ，( )A A B A⊆∩ ∪ ,x A x A B∀ ∈ ∈ ∪则 ∴ ，( )x A A B∈ ∩ ∪ 从而, ．( )A A A B⊆ ∩ ∪ 练习： 故等式成立． 3 13 第一章 线性空间 Made By QQIR { }BbAabaBA ∈∈+=+ , ( ){ }BbAabaBA ∈∈=× ,, 设A，B是两个数集，集合 称为A与B的和集。 称为A与B的积。 集合的和与集合的并有什么区别? 设A，B是两个集合，集合 注意: 14 第一章 线性空间 Made By QQIR 定义1.1.1 设A，B是两个非空集合，A到 B的一个映射 通过这一法则，对于集合A中的每一个元 素x，都有集合B中的一个唯一确定的元 素y与之对应。 σ 是指一个对应法则， 用记号 : A Bσ → 表示。 σ x y 如果通过映射 ，与A中元素 对应的 ，则记作B中元素是 : x yσ 6 ( )y xσ=或 15 第一章 线性空间 Made By QQIR y x σ x y σ 叫做元素 在 下的象， 叫做 在 下的原象。 σ { }( ) ( )A x x Aσ σ= ∈ A在 下的象的集合记作 某个集合A到自身的映射也称为A的 一个变换。 16 第一章 线性空间 Made By QQIR 问题： 1。映射与大学中的函数有什么区别联系？ : A B x y σ → 6 ( )y f x= 映射 函数 2。对应于函数，象集是什么？ 17 第一章 线性空间 Made By QQIR 关于两个集合间的映射有以下几点需要注意： 1）A、B可以是相同的集合，也可以是不同的 集合； 2）对于A中的每一个元素x，B中必有一个唯一 确定的元素与之对应； 3）一般说来，B中的元素不一定都是A中元素 的象； 4）A中不同元素的象可能相同。 18 第一章 线性空间 Made By QQIR 4 19 第一章 线性空间 Made By QQIR 20 第一章 线性空间 Made By QQIR 21 第一章 线性空间 Made By QQIR 22 第一章 线性空间 Made By QQIR 例 判断下列映射的性质 1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 （既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 2）M=Z，M´＝Z＋， τ：τ(n)＝|n|＋1, n Z∀ ∈ （是满射，但不是单射） 3）M＝ n nP × ，M´＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|， n nA P ×∀ ∈ （是满射，但不是单射） （双射） 23 第一章 线性空间 Made By QQIR ① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对 应的充要条件是它们所含元素的个数相同； ② 对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为 A的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应； 但是对于无限集未必如此. 注： 24 第一章 线性空间 Made By QQIR 第二节 线性空间的定义与性质 5 25 第一章 线性空间 Made By QQIR 线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空 间来解决实际问题． 一、线性空间的定义 26 第一章 线性空间 Made By QQIR 一.线性空间的定义 设V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合V 中 的和，记为 ；在P与V的元素之间还α β与 γ α β= + 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 , ,V k Pα∀ ∈ ∀ ∈ 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为 的数量乘积，记为 如果加法和数量乘k α与 .kδ α= 法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间： 定义了一种代数运算，叫做加法: 即对 , ,Vα β∀ ∈ 在V 中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为γ γ 27 第一章 线性空间 Made By QQIR , , ; ,V Pα β γ λ μ∈ ∈设 ;0 ,,0)3( αα α =+ ∈ 都有对任何中存在零元素在 VV ;)1( αββα +=+ ( ) ( );)2( γβαγβα ++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．V P 28 第一章 线性空间 Made By QQIR ;1)5( αα = ( ) ( ) ;)6( αλμμαλ = ( ) .)8( λβλαβαλ +=+ ( ) ;)7( μαλααμλ +=+ ;0 ,,)4( =+ ∈∈ βα βαα 使的负元素都有对任何 VV 29 第一章 线性空间 Made By QQIR 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对 于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不 满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成 线性空间． 说明 1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运 算，称为线性运算． 30 第一章 线性空间 Made By QQIR （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． nm× nmR × ,nmnmnm CBA ××× =+∵ ,nmnm DA ×× =λ .是一个线性空间nmR ×∴ 线性空间的判定方法 6 31 第一章 线性空间 Made By QQIR . , },,,,{][ ,][, 0101 量空间 向数乘多项式的乘法构成对于通常的多项式加法 即记作的多项式的全体次数不超过 RaaaaxaxapxP xPn n n nn n ∈+++== "" 例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． )()( 0101 bxbxbaxaxa nnnn +++++++ "" )()()( 0011 baxbaxba nnn ++++++= " ][xP n∈ )( 01 axaxa nn +++"λ )()()( 01 axaxa nn λλλ +++= " ][xP n∈ .][ 对运算封闭xP n 32 第一章 线性空间 Made By QQIR . }0, ,,,{][ 0 101 间 空和乘数运算不构成向量对于通常的多项式加法 且 次多项式的全体 ≠∈ +++== aRa aaaxaxapxQ n n n n nn "" 例3 p0 000 +++= xxn " ][xQ n∉ .][ 对运算不封闭xQ n 33 第一章 线性空间 Made By QQIR { } { } ( ) , , ( ) 0, n n R A y y Ax x C N A x Ax x C = = ∈ = = ∈ 例2.1.4 给定 ,nmCA ×∈ 记 按 中的加法和数乘运算， 都 是上的线性空间。 nC )(),( ANAR 34 第一章 线性空间 Made By QQIR 例5 正弦函数的集合 [ ] ( ){ }.,sin RBABxAsxS ∈+== 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ( ) ( )221121 sinsin BxABxAss +++=+∵ ( ) ( )xbxaxbxa sincossincos 2211 +++= ( ) ( ) xbbxaa sincos 2121 +++= ( )BxA += sin ].[ xS∈ 35 第一章 线性空间 Made By QQIR ( ) ( ) ( )11111 sinsin BxABxAs +=+= λλλ ][ xS∈ 是一个线性空间.[ ]xS∴ 一般地 0 1 ( ) ( cos sin ) | , n k k k k k S x a a kx b kx a b R = ⎧ ⎫= + + ∈⎨ ⎬⎩ ⎭∑ 在通常的函数加法和数乘运算下构成线性空间。 36 第一章 线性空间 Made By QQIR 定理1.2.1 零元素是唯一的．负元素是唯一的． 二、线性空间的性质 7 37 第一章 线性空间 Made By QQIR 38 第一章 线性空间 Made By QQIR 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线性空间 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算 线性空间是二维、三维几何空间及 维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. n 四、小结 39 第一章 线性空间 Made By QQIR §§1.3 1.3 维数维数 ·· 基与坐标基与坐标 一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系 二二、线性空间的维数、基与坐标、线性空间的维数、基与坐标 三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换 40 第一章 线性空间 Made By QQIR 如何把线性空间的全体元素表示出来？线性空 间中是否有类似于几何空间的坐标系问题？ 线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的 东西—数发生联系,使其能用比较具体的数学 式子来表达？怎样才能便于运算？ 问题Ⅰ 基的问题（basis） 问题Ⅱ 坐标（coordinate）问题 41 第一章 线性空间 Made By QQIR 一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系 11、有关定义、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2, , , ( 1), , , , ,r rV r k k k Pα α α ∈ ≥ ∈" " 和式 1 1 2 2 r rk k kα α α+ + +" 的一个线性组合．称为向量组 1 2, , , rα α α" （2） ，若存在1 2, , , ,r Vα α α β ∈" 1 2, , , rk k k P∈" 则称向量 可经向量组 线性表出；β 1 2, , , rα α α" 1 1 2 2 r rk k kβ α α α= + + +"使 42 第一章 线性空间 Made By QQIR 若向量组 中每一向量皆可经向量组1 2, , , sβ β β" 1 2, , , rα α α" 线性表出，则称向量组 1 2, , , sβ β β" 可经向量组 线性表出；1 2, , , rα α α" 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的． （3） 1 2, , , r Vα α α ∈" ，若存在不全为零的数 1 2, , , rk k k P∈" ，使得 1 1 2 2 0r rk k kα α α+ + + =" 则称向量组 为线性相关的；1 2, , , rα α α" 8 43 第一章 线性空间 Made By QQIR （4）如果向量组 不是线性相关的，即1 2, , , rα α α" 1 1 2 2 0r rk k kα α α+ + + =" 只有在 时才成立，1 2 0rk k k= = = =" 则称 为线性无关的．1 2, , , rα α α" （1）单个向量 线性相关α 0.α⇔ = 单个向量 线性无关 0α⇔ ≠α 向量组 线性相关1 2, , , rα α α" 1 2, , , rα α α⇔ " 中有一个向量可经其余向量 22、有关结论、有关结论 线性表出． 44 第一章 线性空间 Made By QQIR （2）若向量组 线性无关，且可被1 2, , , rα α α" 向量组 线性表出，则1 2, , , sβ β β" ;r s≤ 若 与 为两线性无关的1 2, , , rα α α" 1 2, , , sβ β β" 等价向量组，则 .r s= （3）若向量组 线性无关，但向量组1 2, , , rα α α" 1 2, , , ,rα α α β" 线性相关，则 可被向量组β 线性表出，且表示法是唯一的．1 2, , , rα α α" 45 第一章 线性空间 Made By QQIR 46 第一章 线性空间 Made By QQIR 二、线性空间的维数、基与坐标 47 第一章 线性空间 Made By QQIR 注３ 零空间的维数定义为0. 注注1 1 线性空间的基不唯一线性空间的基不唯一, , 即对即对nn维线性空间来维线性空间来 说说, , 其中任意其中任意nn个线性无关的向量组都可以作为个线性无关的向量组都可以作为 该线性空间的一组基该线性空间的一组基. . 但维数唯一。但维数唯一。 注注2 2 线性空间的基也就是线性空间的一个极线性空间的基也就是线性空间的一个极 大无关组大无关组.. 48 第一章 线性空间 Made By QQIR 9 49 第一章 线性空间 Made By QQIR 常见线性空间的自然（标准）基 1 2{( , , , ) , 1,2, , } n n iP a a a a P i n= ∈ =" " 为n维的， 1 2(1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0, ,0,1)nε ε ε= = =" " " " 就是 Pn 的一组基．称为Pn的自然基. 线性空间P[x]n是n +1维的，且 1，x，x2，…，xn－1，xn 为 P[x]n的一组自然基． 50 第一章 线性空间 Made By QQIR 证:首先，1，x，x2，…，xn－1 ，xn是线性无关的． ∴ 1，x，x2，…，xn－1 ，xn 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n是n维的. 其次， 10 1 1( ) [ ]n nn n nf x a a x a x a x P x−−∀ = + + + + ∈" 可经 1，x，x2，…，xn线性表出．( )f x 0 1 1( , , , , )n na a a a−" 注：注： 在基1，x，x2，…，xn下的坐标就是 此时， 10 1 1( ) n nn nf x a a x a x a x−−= + + + +" 51 第一章 线性空间 Made By QQIR 1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n 也为P[x]n的一组基． 证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1，(x－a)n 是线性无关的． 又对 ( ) [ ]nf x P x∀ ∈ ，按泰勒展开公式有 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ! n nf af x f a f a x a x a n ′= + − + + −" 即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n线性表出. 52 第一章 线性空间 Made By QQIR ∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n为P[x]n的一组基． 在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n下的坐标是 ( ) ( )( ), ( ), , ! Tnf af a f a n ⎛ ⎞′⎜ ⎟⎝ ⎠ " 53 第一章 线性空间 Made By QQIR ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 2221 1211 EE EE , 43 21 224213122111 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+++ kk kk EkEkEkEk 有 例1.3.9所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间．对于 中的矩阵 V V R 54 第一章 线性空间 Made By QQIR , 00 00 224213122111 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛==+++ OEkEkEkEk 因此 , 2221 1211 V aa aaA ∈⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 对于任意二阶实矩阵 ,0 3321 ====⇔ kkkk .,,, 22211211 线性无关即 EEEE 10 55 第一章 线性空间 Made By QQIR .,,, 22211211 的一组基为因此 VEEEE EaEaEaEaA 2222212112121111 +++= 有 .) , , ,( 22211211 aaaa A T 在这组基下的坐标是而矩阵 56 第一章 线性空间 Made By QQIR 矩阵论学习指导P5~6. 57 第一章 线性空间 Made By QQIR 58 第一章 线性空间 Made By QQIR 一般来说，线性空间及其元素是抽象的 对象，不同空间的元素完全可以具有千差万 别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一 了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基 元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的 数表示出来。更进一步，原本抽象的“加法” 及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及 数对向量的数乘。 59 第一章 线性空间 Made By QQIR 例1.3.10、 求 1 1 2 4 3 4 1 3 , , , 2 1 4 2 6 3 4 4 −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 的极大线性无关组。 60 第一章 线性空间 Made By QQIR 例1.3.11、求 中的多项式组3 ( )P t 2 3 1( ) 1 4 2 ,f t t t t= + − + 2 3 2 ( ) 1 9 3 2 ,f t t t t= − + − + 3 3 ( ) 5 6f t t t= − + + 2 3 4 ( ) 5 7 5 2f t t t t= + − + 的秩和一个极大线性无关组。 11 61 第一章 线性空间 Made By QQIR 矩阵论学习指导P6~7. 62 第一章 线性空间 Made By QQIR 矩阵论学习指导P6~7. 63 第一章 线性空间 Made By QQIR （（一一））、、向量的形式书写法向量的形式书写法 （二）、基变换（二）、基变换 （三）、坐标变换（三）、坐标变换 三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换 64 第一章 线性空间 Made By QQIR 在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都 可取作线性空间V的一组基．V中任一向量在某一组 基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标 一般是不同的．因此在处理一些问题是时，如何选 择适当的基使我们所讨论的向量的坐标比较简单是 一个实际的问题． 问题：同一向量在不同基下的坐标之间有什么关 系，即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的？ 65 第一章 线性空间 Made By QQIR 一、向量的形式书写法一、向量的形式书写法 11、、V为数域 P上的 n维线性空间， 为1 2, , , nα α α" V中的一组向量， ，若Vβ ∈ 1 1 2 2 n nx x xβ α α α= + + +" 则形式地记作 1 2 1 2( , , , )n n x x x β α α α ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " # 约定 向量矩阵 66 第一章 线性空间 Made By QQIR 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a β α α αβ α α α β α α α ⎧⎪⎨⎪⎩ = + + + = + + + = + + +""""""""""" "" " " 则形式地记作 22、、V为数域 P上 n维线性空间， ；1 2, , , nα α α" 1 2, , , nβ β β" 为V中的两组向量，若 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a β β β α α α ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " "" " " " " " " 12 67 第一章 线性空间 Made By QQIR 11、、定义定义 设V为数域P上n维线性空间， ；1 2, , , nε ε ε" 1 2, , , nε ε ε′ ′ ′" 为V中的两组基，若 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a ε ε ε εε ε ε ε ε ε ε ε ′ = + + +′ = + + + ′ = ⎪ ⎪ + + + ⎧ ⎨ ⎩ """""""""" " "" " " ① 即， 二、基变换二、基变换 68 第一章 线性空间 Made By QQIR 则称矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a aA a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " " " " " 为由基 到基 的过渡矩阵；1 2, , , nε ε ε" 1 2, , , nε ε ε′ ′ ′" 称①或②为由基 到基1 2, , , nε ε ε" 1 2, , , nε ε ε′ ′ ′" 的基变换公式． 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a ε ε ε ε ε ε ⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " "" " " " " " " ② 69 第一章 线性空间 Made By QQIR • 引理 设 nααα ",, 21 是一组线性无关的向量， A是一个n阶矩阵，令 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aβ β β α α α=" " 则 线性无关的充要条件是A可逆。nβββ ",, 21 22、有关性质、有关性质 70 第一章 线性空间 Made By QQIR 1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵． 设 为P上任一可逆矩阵，( )ij n nA a ×= 任取V的一组基 1 2, , , ,nα α α" 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aβ β β α α α=" "于是有， 1 , 1,2, , n ij i i a j nβ α = = =∑ "j 令 71 第一章 线性空间 Made By QQIR 1 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aα α α β β β −=" " 由A可逆，有 1 2 1 2, , , , , ,n nα α α β β β∴ " "与 等价. 即， 也可由 线性表出.1 2, , , nα α α" 1 2, , , nβ β β" 故 线性无关，且V中任一向量都可以 用 线性表示，从而也为V 的一组基. 1 2, , , nβ β β" 1 2, , , nβ β β" 72 第一章 线性空间 Made By QQIR 证明：若 为V的两组基,1 2 1 2, , , ; , , ,n nα α α β β β" " 且由基 的过渡矩阵为A，1 2 1 2, , , , , ,n nα α α β β β" "到 又由基 也有一个过渡矩阵,1 2 1 2, , , , , ,n nβ β β α α α" "到 即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aβ β β α α α=" " ③ 设为B，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Bα α α β β β=" " ④ 2）若由基 过渡矩阵为A,1 2 1 2, , , , , ,n nα α α β β β" "到基 则由基 过渡矩阵为A-1.1 2 1 2, , , , , ,n nβ β β α α α" "到基 13 73 第一章 线性空间 Made By QQIR 都是线性无关的,1 2 1 2, , , ; , , ,n nα α α β β β∵ " " .AB BA E∴ = = 即，A是可逆矩阵,且 比较③ 、④两个等式，有 ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n n BAβ β β β β β=" " ( ) ( )1 2 1 2, , , , , ,n n ABα α α α α α=" " 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aβ β β α α α=" " ③ 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Bα α α β β β=" " ④ 1B A−= 74 第一章 线性空间 Made By QQIR 3）若由基 过渡矩阵为A,1 2 1 2, , , , , ,n nα α α β β β" "到基 由基 过渡矩阵为B，则1 2 1 2, , , , , ,n nβ β β γ γ γ" "到基 由基 过渡矩阵为AB.1 2 1 2, , , , , ,n nα α α γ γ γ" "到基 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Bγ γ γ β β β=" " 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n n Aβ β β α α α=" "事实上,若 1 2 1 2( , , , ) (( , , , ) )n n A Bγ γ γ α α α=" "则有， 1 2( , , , )n ABα α α= " 75 第一章 线性空间 Made By QQIR 若两个基满足关系式 ( ) ( )Pnn αααβββ ,,,,,, 2121 "" = ,)',,','( ,,, ,),,,( ,,,, 1 21 21 21 21 n T n n T nn xxx xxx V " " " " 下的坐标为在基 为 下的坐标在基中的元素设定理 βββ αααα 二、坐标变换公式 76 第一章 线性空间 Made By QQIR 则有坐标变换公式 , ' ' ' 2 1 2 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn x x x P x x x ## . ' ' ' 2 1 12 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − nn x x x P x x x ##或 77 第一章 线性空间 Made By QQIR 证明 ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n x x x #"∵ 2 1 21 ,,, αααα ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ' ' ' ,,, 2 1 21 n n x x x #" βββ ( ) ( )Pnn αααβββ ,,,,,, 2121 "" = ( ) ( ) . ' ' ' ,,,,,, 2 1 21 2 1 21 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ n n n n x x x P x x x #"#" αααααα 78 第一章 线性空间 Made By QQIR . ' ' ' 2 1 2 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ nn x x x P x x x ##即 . ' ' ' , 2 1 12 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − nn x x x P x x x P ## 所以可逆由于矩阵 14 79 第一章 线性空间 Made By QQIR 80 第一章 线性空间 Made By QQIR 例1.3.13、在R3中有下列两组向量： ( )2,1,31 −−=α ( )1,1,12 −=α ( )1,3,23 −=α ( )1,1,11 =β ( )3,2,12 =β ( )1,0,23 =β 试求 由 到的过 渡矩阵。 { }321 ,, ααα { }321 ,, βββ 81 第一章 线性空间 Made By QQIR 82 第一章 线性空间 Made By QQIR 例1.3.15、设 的两组基为：2 2R × I） 1 2 3 41 0 1 1 1 1 1 1, , ,0 0 0 0 1 0 1 1A A A A ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ II） 1 2 3 4 1 0 0 1 1 1 1 1 , , , 1 1 1 1 1 0 0 1 B B B B⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 试求：（1）由基（I）到基(II)的过渡矩阵 （2）求在基（I）与基(II)下有相同坐标的矩阵。 83 第一章 线性空间 Made By QQIR 例1.3.16、 1 2 3 4( , , , )Tx x x x 是P3(t)中的多项式 f(t)在基 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 3 4 ( ) 4 4 3 , ( ) 7 7 5 2 , ( ) 2 5 3 3 , ( ) 3 8 5 5 f t t t t f t t t t f t t t t f t t t t = + + + = + + + = − − − = − + + + 下的坐标 . 1 2 3 4( , , , )Ty y y y 是P3(t)中的多项式 f(t)在基 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )g t g t g t g t 下的坐标 . 1 1 2 2 1 2 3 3 4 4 3 43 5 , 2 , 2 3 , 5 8y x x y x x y x x y x x= + = + = − = − + 84 第一章 线性空间 Made By QQIR 试求：（1）由基 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )g t g t g t g t 到基 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )f t f t f t f t 的过渡矩阵； （2）求基 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )g t g t g t g t 3）求多项式 2 3( ) 1g t t t t= − + − + 在基 1 2 3 4( ), ( ), ( ), ( )g t g t g t g t 下的坐标。 15 85 第一章 线性空间 Made By QQIR 矩阵论学习指导P11. 86 第一章 线性空间 Made By QQIR §§1.4 1.4 线性空间的子空间 87 第一章 线性空间 Made By QQIR 1、线性子空间的定义 设V是数域P上的线性空间，集合 ( )W V W⊆ ≠ ∅ 若W 对于V 中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W 为V 的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P 上一线性空间，它也 ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 有基与维数的概念. 维数. 一、线性子空间 88 第一章 线性空间 Made By QQIR 2、线性子空间的判定 ( )W ≠ ∅ ，若W对于V中两种运算封闭，即 , , ;W Wα β α β∀ ∈ + ∈有 则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证 W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V⊆ , ,W k P k Wα α∀ ∈ ∀ ∈ ∈有 89 第一章 线性空间 Made By QQIR ∵ ，∴ . 且对 ，W ≠ ∅ Wα∃ ∈ Wα∀ ∈ 由数乘运算 封闭，有 1( ) Wα α− = − ∈ ，即W中元素的负元素就是 它在V中的负元素，4）成立． 就是V中的零元， 3）成立． 由于W V⊆ ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立． 由加法封闭，有 ,即W中的零元0 ( ) Wα α= + − ∈ 90 第一章 线性空间 Made By QQIR , , , , .W a b P a b Wα β α β⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ + ∈ 推论：V为数域P上的线性空间, ( ),W V W⊆ ≠ ∅ 则 W是V的子空间 16 91 第一章 线性空间 Made By QQIR 例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： 1 1 2 1 2{( , , , ) 0, }n n iW x x x x x x x P= + + + = ∈" " 2 1 2 1 2{( , , , ) 1, }n n iW x x x x x x x P= + + + = ∈" " 3 1 2 1{( , , , ,0) , 1,2, , 1}n iW x x x x P i n−= ∈ = −" " 若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 92 第一章 线性空间 Made By QQIR ??32 为什么空间的下列子集是否构成子×R ;,, 0 01 )1( 1 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∈⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Rdcb dc b W .,,,0 00 0 )2( 2 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∈=++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= Rcbacba c ba W 例 93 第一章 线性空间 Made By QQIR 称为V的由 生成的子空间，1 2, , , rα α α" 定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 1 2, , , r Vα α α ∈" ， 1 1 2 2{ , 1,2, , }r r iW k k k k P i rα α α= + + + ∈ =" " 记作 ．1 2( , , , )rL α α α" 称 为 的一组生成元.1 2, , , rα α α" 1 2( , , , )rL α α α" 二、一个重要的子空间 ——生成子空间 1 2{ , , , }mspan α α α"或记作 94 第一章 线性空间 Made By QQIR有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有 1 2, , , rα α α" 1 2( , , , )rW L α α α= " 2、 1） ； 为线性空间V中的 两组向量，则 1 2, , , sβ β β" 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )r sL Lα α α β β β=" " 1 2, , , rα α α" 与 等价．1 2, , , rα α α⇔ " 1 2, , , sβ β β" 2）生成子空间 的维数1 2( , , , )rL α α α" ＝向量组 的秩．1 2, , , rα α α" 95 第一章 线性空间 Made By QQIR 为V 的一组基．即在V 中必定可找到 n－m 个向量 设 W 为 n 维线性空间V 的一个 m 维子空间， 3、 为 W 的一组基，则这组向量必定可扩充1 2, , , mα α α" , 使 为V 的一组基．1 2, , , nα α α"1 2, , ,m m nα α α+ + " 基扩充定理 96 第一章 线性空间 Made By QQIR 它扩充为P4的一组基，其中 例 求 的维数与一组基，并把1 2 3 4 5( , , , , )L α α α α α 1 (1, 1,2,4),α = − 5 (2,1,5,6)α =4 (1, 1,2,0),α = − 3 (3,0,7,14),α =2 (0,3,1,2),α = 解：对以 为列向量的矩阵A作1 2 3 4 5, , , ,α α α α α 初等行变换 1 0 3 1 2 1 3 0 1 1 2 1 7 2 5 4 2 14 0 6 A ⎛ ⎞− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 3 1 2 0 3 3 0 3 0 1 1 0 1 0 2 2 4 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 17 97 第一章 线性空间 Made By QQIR 1 0 3 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 1 0 3 1 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 B ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 由B知， 为 的一个极大1 2 4, ,α α α 1 2 3 4 5, , , ,α α α α α 故，维 ＝3，1 2 3 4 5( , , , , )L α α α α α 就是 的一组基.1 2 4, ,α α α 1 2 3 4 5( , , , , )L α α α α α 无关组. 98 第一章 线性空间 Made By QQIR 1 0 1 0 1 3 1 0 .2 1 2 1 4 2 0 0 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟∴ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 可逆 1 0 1 1 3 1 12 0, 4 2 0 − − = − ≠∵又 (0,0,1,0)γ =令 则 线性无关，从而为P4的一组基.1 2 4, , ,α α α γ 99 第一章 线性空间 Made By QQIR （１）设 ，则称( )1 2, , , m nnA A A A P ×= ∈" 1 2 1 ( , , , ) , 1, 2, , n n k k k k L A A A A P k nλ λ = ⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭∑" " 为Ａ的列空间。 { }( ) | 0nN A x P Ax= ∈ = m nA P ×∈（２）设 ，则 是 的子空间，称为Ａ的零空间。nP Ａ的列空间与零空间 100 第一章 线性空间 Made By QQIR 也为V 的子空间， 1 2 1 2{ | }V V a a V a V= ∈ ∈∩ 且 设V1、V2为线性空间V 的子空间，则集合 一、子空间的交 1、定义 称之为V1与V2的交空间. 101 第一章 线性空间 Made By QQIR 2、推广 多个子空间的交 { }1 2 1 | , 1,2,3, , s s i i i V V V V V i sα α = = = ∈ =∩ ∩"∩ "∩ 为线性空间V的子空间，则集合1 2, , , sV V V" 也为V的子空间，称为 的交空间. 1 2, , , sV V V" 102 第一章 线性空间 Made By QQIR 二、子空间的和 1、定义 设V1、V2为线性空间V 的子空间，则集合 也为V 的子空间， 1 2 1 2 1 1 2 2{ | , }V V a a a V a V+ = + ∈ ∈ 称之为V1与V2的和空间. 18 103 第一章 线性空间 Made By QQIR 2、推广 多个子空间的和 { }1 2 | , 1,2,3, ,s i iV i sα α α α= + + + ∈ =" " 为线性空间V 的子空间，则集合1 2, , , sV V V" 也为V 的子空间，称为 的和空间. 1 2, , , sV V V" 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +∑ " 104 第一章 线性空间 Made By QQIR 三、子空间的交与和的有关性质 1 2 12) V V V=∩ 1 2 23) V V V+ = 1 21) V V⊆ 2、设 为线性空间V 的子空间，则以下三1 2,V V 1、设 为线性空间V的子空间1 2, ,V V W 1）若 则1 2, ,W V W V⊆ ⊆ 1 2 .W V V⊆ ∩ 2）若 则 1 2 .V V W+ ⊆1 2, ,V W V W⊆ ⊆ 条件等价: 105 第一章 线性空间 Made By QQIR 1 2 1 2,( , , , ) ( , , )s tL Lα α α β β β+" " 1 2 1 2,( , , , , , , )s tL α α α β β β= " " 3、 为线性空间V 中两组1 2 1 2,, , , ; , ,s tα α α β β β" " 向量，则 4、维数公式 （定理7） 设 为线性空间V的两个子空间，则1 2,V V 1 2 1 2 1 2dim dim dim( ) dim( )V V V V V V+ = + + ∩ 或 1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )V V V V V V+ = + − ∩ 106 第一章 线性空间 Made By QQIR 推论：设 为n维线性空间V的两个子空间，1 2,V V 1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )V V V V V V= + − +∩ 若 ，则 必含非零的公共1 2dim