null三角函数与反三角函数三角函数与反三角函数一、三角函数
1.常用的恒等式
Cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
Cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
Sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
Sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ
Tan(α+β)=(tan α+tanβ)/(1-tan αtanβ)
Tan(α-β)=(tan α-tanβ)/(1+tan αtanβ)
2.积化和差公式
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2 cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2 nullsinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
3.和差积化公式
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
4.万能公式
sin^2(α) +cos ^2(α) =1
1+tan ^2(α) =sec ^2(α)
1+cot ^2(α) =csc ^2(α)
sinα=[2tan(α/2)]/{1+[tan(α/2)]^2}
cosα=[1-tan(α/2)^2]/{1+[tan(α/2)]^2}
tanα=[2tan(α/2)]/{1-[tan(α/2)]^2}
null二、反三角函数
1.反正弦
性质：
定义域[-1,1],值域[-∏/2, ∏/2]
在定义域内单调递增；为奇函数.
Sin(arcsinx)=x |x|<=1
Arcsin(sinx)=x x∈ [-∏/2, ∏/2]
null2.反余弦
性质：
定义域[-1,1],值域[0, ∏]
在定义域内单调递减；非奇非偶函数.
cos(arccosx)=x |x|<=1
Arccos(cosx)=x x∈ [0, ∏]
null3.反正切与反余切
反正切：性质：
定义域[-∞,+∞],值域[- ∏/2, ∏/2]
在定义域内单调递增；为奇函数.
tan(arctanx)=x x∈R
Arctan(tanx)=x [- ∏/2, ∏/2]
反余切：性质：
定义域[-∞,+∞],值域[0, ∏]
在定义域内单调递减；非奇非偶函数.
cot(arccotx)=x x∈R
Arccot(cotx)=x [0, ∏]
null反正切图像
反余切图像4.反三角函数的运算公式4.反三角函数的运算公式Ⅰcos(arcsinx)=sqrt(1-x^2 ),|x|<=1.
Ⅱtan(arcsinx)=x/sqrt(1-x^2 ),|x|<1.
Ⅲ cot(arcsinx)=sqrt(1-x^2 )/ x ,|x|<=1,x!=0.
Ⅳsin(arccosx)= sqrt(1-x^2 ),|x|<=1.
Ⅴtan(arccosx)= sqrt(1-x^2 )/ x ,|x|<=1,x!=0.
Ⅵ cot(arccosx)= x/sqrt(1-x^2 ),|x|<1.
Ⅶsin(arctanx)= x/sqrt(1+x^2 ), x∈R
Ⅷcos(arctanx)= 1/sqrt(1+x^2 ), x∈R
Ⅸ cot(arctanx)=1/x, x∈R ,x!=0.
Ⅹsin(arccotx)= 1/sqrt(1+x^2 ), x∈R
Ⅺcos(arccotx)= x/sqrt(1+x^2 ), x∈R.
Ⅻtan(arccotx)= 1/x, x∈R,x!=0.附:公式推导过程个例附:公式推导过程个例
例一.cos(arcsinx)=sqrt(1-x^2 )推导过程
解:因为arcsinx∈[-∏/2, ∏/2],所以cos(arcsinx)>=0,
cos(arcsinx)>=Sqrt[1-(sin^ arcsinx) ^2] = Sqrt(1-x ^2)
注(sin^arcsinx=x,可以类比e^lnx=x)
例二.tan(arcsinx)=x/sqrt(1-x^2 )推导过程
解:tan(arcsinx)=sin(arcsinx)/[cos(arcsinx)]
=x/sqrt(1-x^2 )null例三.sin(arctanx)= x/sqrt(1+x^2 )推导过程
解: sin(arctanx)=tan(arctanx)*cos(arctanx)=
tan(arctanx)/sec(arctanx)=
x/sqrt[(1+(tan^arctanx) ^2]
注{arctanx∈[-∏/2, ∏/2],所以cos(arctanx)>=0,即sec(arctanx)>=0;
tanx^2+1=secx^2,当sec(arctanx)>=0时,secx=sqrt(1+tanx^2)
}
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