计算n阶固有频率的一个简便公式

第 23 卷 　第 3 期 西 安 科 技 学 院 学 报 Vol. 23 　No. 3 　2003 年 9 月 　JOURNAL OF XI’AN UN IV ERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLO GY Sep. 2003 　　文章编号 : 1671 - 1912 (2003) 03 - 0354 - 03 计算 n 阶固有频率的一个简便公式Ξ 郭志勇 (西安科技大学 基础课部 ,陕西 西安 　710054) 摘　要 : 对多自由度无阻线性正定系统固有频率的特征方程利用根与系数的关系 ,给出了一个计算多 自由度系统 n 阶固有频率的简便公式 ,并结合实例说明该式精度较高 ,具有一定的实用价值。 关键词 : 振动系统 ; 固有频率 ; 计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 中图分类号 : O 321 　　　文献标识码 : A 固有频率和主振型是振动系统中两个最重要的物理量 ,而固有频率是计算主振型的基础。对于多自由度振 动系统 ,计算固有频率的近似方法现行的主要有六种———矩阵迭代法、瑞雷 ( Rayleigh) 法、邓克莱 (Dunkerley) 法、 李兹 ( Ritz) 法、子空间迭代法、传递矩阵法等[1 ] ,其中以瑞雷法计算基频较为精确 ,但瑞雷法需要准确的估计主振 型列阵 A ,且结果始终比实际稍高[2 ] 。文献[ 3 ]曾利用根与系数的关系 ,导出了一个计算多自由度系统基频的近 似公式。 本文将文献[ 3 ]加以推广 ,给出了一个计算多自由度系统各阶固有频率的近似公式。并用实例说明了应用 本公式其计算过程较瑞雷法简便 ,精度与瑞雷法相当。因此 ,本文所推出的公式在理论和实际中均有一定的实 用价值。 1 　振动系统的基本方程 设有 n 个自由度的无阻尼线性正定振动系统 ,其振动微分方程为 MX¨ + KX = 0 (1) 若以各质量的静平衡位置作为广义坐标的原点 ,则质量阵 M 为一对角阵 ,刚度阵 K为一对称阵 , X , X¨ 均为 列阵。 设其振型列阵为 A ,则振型方程为 - Mp2 A + KA = 0 (2) 式中 p 为系统的固有频率。频率方程为 | K - Mp2 | = 0 (3) 2 　计算固有频率的近似公式 将 (3) 式展开 ,则有 p2 n - ∑ n i = 1 k ii m i p2 ( n - 1) + ∑ n i = 1 j = 2 i < j k iikjj m i m j - k2ij m i m j p2 ( n - 2) + ⋯ = 0 (4) 设 (4) 式有 n 个不相等的实根 ,由小到大其依次为 　p21 , p22 , ⋯, p2n 。则由根与系数的关系有 p21 + p 2 2 + ⋯+ p2n = ∑ n i = 1 kii m i (5) p21 p 2 2 + ⋯+ p21 p2n + ⋯+ p2n - 1 p2n = ∑ n i = 1 j = 2 i < j kiik jj m i m j - k2ij m i m j (6)Ξ 收稿日期 : 2002 - 06 - 06 作者简介 : 郭志勇 (1958 - ) ,男 ,陕西扶风人 ,副教授 ,主要从事 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 力学教学与研究. (5) 式两端平方后减去 (6) 式两端的 2 倍有 p41 + p 4 2 + ⋯+ p4n = ( ∑ n i = 1 k ii m i ) 2 - 2 ∑ n i = 1 j = 2 i < j k iikjj m i m j - k2ij m i m j = ∑ n i = 1 ( kii m i ) 2 + 2 ∑ n i = 1 j = 2 i < j ( k 2 ij m i m j ) (7) 由于 p1 < p2 < ⋯ < pn 因而可在 (7) 式左端依次略去前 n - 1 项小量 ,得到 p4n = ∑ n i = 1 ( kii m i ) 2 + 2 ∑ n i = 1 j = 2 i < j ( k 2 ij m i m j ) (8) 为了能一次求得最高两阶固有频率 ,保留 (5) 式和 (7) 式等号左边的最大两项 ,写为 p2n - 1 + p 2 n = ∑ n i = 1 kii m i (9) p4n - 1 + p 4 n = ( ∑ n i = 1 k ii m i ) 2 - 2 ∑ n i = 1 j = 2 i < j k iikjj m i m j - k2ij m i m j (10) (9) 式和 (10) 式联立消去 p4n - 1 ,得到 p4n - p 2 n ∑ n i = 1 kii m i + ∑ n i = 1 j = 2 i < j kiik jj m i m j - k2ij m i m j = 0 (11) 解 (11) 式得到 p2n 　 n - 1 = 1 2 ∑ n i = 1 kii m i ± ( ∑ n i = 1 kii m i ) 2 - 4 ∑ n i = 1 j = 2 i < j kiik jj m i m j - k2ij m i m j (12) (12) 式即为计算最高二阶固有频率的近似公式 , (12) 式根号前取正号为 n 阶 ,根号前取负号为 n - 1 阶。当 n = 2时 , (12) 式即为二自由度振动系统固有频率的精确计算公式。当 n = 3时 ,由 (12) 式可计算出二、三阶固有 频率 ,其近似程度很高。随着系统自由度数的增大 ,其更高阶固有频率的误差也随之增大 ,但始终与瑞雷法求基 频的精度相当 ,而比其它近似方法的精确度高。 3 　应用实例 如图1 所示 ,简支梁的质量不计 ,沿梁长均匀地作用3 个集中质量 ,梁的跨度为 l , 抗弯刚度为 EJ 。求梁作横 图 1 　梁的横向振动 Fig. 1 　Transverse vibration of beam 向振动时的各阶固有频率[1 ] 。 解 :系统的质量阵为 M = m 0 2 m 0 m 系统的柔度阵为 δ = l 3 768 EJ 9 11 7 11 16 11 7 11 9 系统的刚度阵为 K = δ- 1 = 768 EJ 28 l3 23 - 22 9 - 22 32 22 9 - 22 23 有关各量计算如下 　∑ 3 i = 1 k ii m i = 768 EJ 28 ml3 (23 + 32 + 23) = 768 EJ 28 ml3 α 553第 3 期 　　　　　　　　　　　　　　郭志勇 　计算 n 阶固有频率的一个简便公式 其中 　α = 768 EJ 28 ml3 　∑ 3 i = 1 j = 2 i < j k iik jj m i m j = (23 ×32 + 23 ×23 + 32 ×23)α2 = 2001α2 　∑ 3 i = 1 j = 2 i < j k2jj m i m j = [ ( - 22) 2 + 92 + ( - 22) 2 ]α2 = 1 049α2 将上述各量代入 (12) 式解得 p3 2 = 35 . 964 20 . 178 EJ ml3 　　p1 = 4 . 938 EJ ml3 上述结果与精确解的相对误差分别为 :ε1 = 0 . 05 % ;ε2 = 3 . 0 % ;ε3 = 0 . 12 %。因此 , (12) 式不论是对理论计 算还是对工程实际均有一定的实用价值。 参考文献 : [1 ] 　清华大学工程力学系振动组. 机械振动 (上册) [ M ] . 北京 :机械工业出版社 ,1980. 188 - 310. 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