混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法
这篇讨论使用期望最大化算法（Expectation-Maximization）来进行密度估计（density estimation）。
与k-means一样，给定的训练样本是
，我们将隐含类别标签用
表
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示。与k-means的硬指定不同，我们首先认为
是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布，
，其中
，
有k个值{1,…,k}可以选取。而且我们认为在给定
后，
满足多值高斯分布，即
。由此可以得到联合分布
。
整个模型简单描述为对于每个样例
，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个
，然后根据
所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例
，。整个过程称作混合高斯模型。注意的是这里的
仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量
和
。最大似然估计为
。对数化后如下：
这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form。但是假设我们知道了每个样例的
，那么上式可以简化为：
这时候我们再来对
和
进行求导得到：
就是样本类别中
的比率。
是类别为j的样本特征均值，
是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。
实际上，当知道
后，最大似然估计就近似于高斯判别
分析
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模型（Gaussian discriminant analysis model）了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。
之前我们是假设给定了
，实际上
是不知道的。那么怎么办呢？考虑之前提到的EM的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。用到这里就是：
循环下面步骤，直到收敛： {
（E步）对于每一个i和j，计算
（M步），更新参数：
}
在E步中，我们将其他参数
看作常量，计算
的后验概率，也就是估计隐含类别变量。估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，
值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。
的具体计算公式如下：
这个式子利用了贝叶斯公式。
这里我们使用
代替了前面的
，由简单的0/1值变成了概率值。
对比K-means可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别
是有一定的概率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。
虽然之前再K-means中定性描述了EM的收敛性，仍然没有定量地给出，还有一般化EM的推导过程仍然没有给出。下一篇着重介绍这些内容。
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