null §2 空间的平面与直线一、空间中的平面二、空间中的直线 §2 空间的平面与直线一、平面的方程
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示---点法式方程一、平面的方程表示---点法式方程①设一平面通过已知点,且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故①例1.求过三点例1.求过三点即解: 取该平面 的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程说明:此平面的三点式方程也可写成 一般情况 :过三点的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即平面的方程表示----- 一般方程平面的方程表示----- 一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是法向量为 方程.特殊情形特殊情形• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴;• A x+C z+D = 0 表示• A x+B y+D = 0 表示• C z + D = 0 表示• A x + D =0 表示• B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面;平行于 zox 面 的平面.例2. 求过点( 2, 3, 0)和(-2,1,0)并且和z轴平行 的平面方程.例2. 求过点( 2, 3, 0)和(-2,1,0)并且和z轴平行 的平面方程.解:因平面平行 z 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例3. 求过点A( 1, 1, 1)和B(0,1,-1)且与平面x+y+z=0 垂直的方程.例3. 求过点A( 1, 1, 1)和B(0,1,-1)且与平面x+y+z=0 垂直的方程.解:设所求平面方程为由已知条件得解方程组得另解例4. 求平面 被坐标平面所截三角形的面积 .例4. 求平面 被坐标平面所截三角形的面积 .提示:由平面的一般方程如何化为截距式方程?截距式方程:三角形的边长分别为: 平面与三个坐标轴的交点:三角形的面积: 二 两平面的夹角二 两平面的夹角设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：特别有下列结论：例5. 设外一点,求例5. 设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)例5. 设外一点,求例5. 设是平面到平面的距离d .(点到平面的距离公式)例: 点(1,2,3)到平面2x-2y+z=3的距离. 定义: 满足的 的平面方程ax+by+cz+d=0称为平面的法式方程. 除以因子 注: 一般方程 转化为法式方程. 练习.练习.解: 设为所求平面上的任一点得:则点M到两已知平面的距离相等,即即练习1.练习3.练习3.内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式null2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:null 作业：P-26习题7-2
1 , 3 , 4
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