半马氏过程框架下的期权定价

第 32卷 第 1期 暨南大学学报 (自然科学版 ) Vo.l 32� No. 1 2011年 02月 Journa l o f JinanUn iversity(N atural Science) Feb. � 2011 � [收稿日期 ] � 2010- 07- 20 [基金项目 ] � 国家社会科学基金项目 ( 07BG J007) ;广东省自然科学基金资助项目 ( 980287) ;中央高校基本科研业务费专项资金资助 [作者简介 ] � 柳向东 ( 1973- ),男,副教授,博士,研究方向:随机过程及其应用以及数理金融 半马氏过程框架下的期权定价 柳向东, � 唐 � 颖 (暨南大学统计系, 广东 广州 510632) [摘 � 要 ] � 研究半马氏过程下的期权定价问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 . 假定标的资产的对数收益率服从一个离散时间有限状态空间的半 马氏过程, 在此基础上得出了欧氏和美氏期权价格的公式, 并且给出了严格的证明, 这些都是二叉树模型的推广. [关键词 ] � 半马氏过程; � 期权定价; � 欧氏期权; � 美氏期权 [中图分类号 ] � O211. 62� � [文献标志码 ] � A� � [文章编号 ] � 1000- 9965( 2011) 01- 0010- 04 Option pricing under sem i�Markov process LIU X iang�dong, � TANG Y ing ( Depa rtm ent of Statistics, Jinan Un iversity, Guangzhou 510632, Ch ina) [Abstract] � Option pric ing under sem i�M arkov process is stud ied. Suppose logarithm ic payoff rate o f underly ing assets is sub ject to a sem i�Markov process in d iscrete�t ime f in ite state space, the formu la o f European option andAmerican opt ion pric ing are derived and strictly proved, those are generation of bi� nom ial treemode.l [Keywords] � sem i�M arkov process; � option pricing; � European option; � Am er ican option 1� 引言和定义 期权定价研究首先由 B lack和 Scho les[ 1] 在 1973年提出了著名的 B�S模型, 随着经济环境的日 益复杂, B�S模型的各种假设条件与实际情况逐渐 不相符. 1979年, Cox J、Ross S和 Rub instein M [ 2]针 对 B�S模型中对股票价格波动假设要求过严, 不好 处理股价跳跃式波动的情形,以及未考虑股息红利 派发的影响等问题提出了二叉树期权定价模型,由 于其简单直观的构造,应用相当广泛,已成为金融界 期权定价的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 之一. 本文引入离散时间半马 氏过程来描述资产收益变动情况,在严格的定义下, 给出了欧氏期权和美氏期权价格的公式并进行了证 明, 可以看成是二叉树的自然推广;但二叉树模型本 质是马氏过程 [ 3- 4 ] ,而我们讨论的是半马氏过程, 同 时在推导这些定价公式时无论在方法还是在推导上 都有很大的差别. 设 {X n: � � R, n� 1}为定义在完备概率空间 ( �, F , P )上的一个非负的独立同分布的随机变量 序列. 定义 1. 1(更新过程 ) [ 5 ]随机序列 (T n, n� 0)被 称为更新序列或更新过程. 这里 T 0 = 0, T n = X 1 + X 2 + �+ X n, n� 1,随机变量 X n, n� 1被称为逗留时 间, 随机变量 T n, n�0被称为更新时间. 定义 1. 2(马氏更新过程 ) [ 5]定义在完备状态空 间 ( �, F, P )上的两个随机变量序列, Jn: � � E, E = { 1, 2, �, m }, T n: � � R,其中T 0 = 0, T 1 = X 1, �, Tn = �n r= 1 X r. {X n: � � R, n� 0}也为定义在同一状态空间上 的随机变量,称为逗留时间. T n则称为转移时间.二 维过程 { Jn, T n }被称为时齐或非时齐马氏更新过程. 如果半马氏核 Q i, j ( t) = p [Jn + 1 = j, Tn + 1 - T n � t |Jn = i ], i, j� E, t� N, 那么过程 { Jn, Tn }被称为离 散时间时齐马氏更新过程. 下面主要用到离散时间时齐的主要结果来讨论 期权价格的推导. 令 P i, j = lim t� � Q i, j ( t ) = p [ Jn+ 1 = j |Jn = i] , i, j� E, t� N,可以看出矩阵 P= [P i, j ]就是过程 {Jn }的转移 矩阵, 该过程为马尔科夫过程, 被称为半马氏过程的 内嵌马尔科夫链. 再次明确几个变量: A: H i ( t) = p (T n+ 1 - T n � t |Jn = i) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示状态 Jn = i上的逗留时间的无条件分布 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数或者状态 i上的 生存函数.可见H i ( t) = � j� E Q i, j ( t) B: bi, j ( t) = p (Jn + 1 = j, Tn + 1 - T n = t |Jn = i ) = � � Q i, j ( t ) - Q i, j ( t- 1), t> 0 0, t= 0 C:在已知现在和将来的状态时逗留时间的条 件分布为 � � G i, j ( t) = p (T n + 1 - Tn � t |Jn = i, Jn + 1 = j ) = � � p (Jn + 1 = j, Tn + 1 - T n � t |Jn = i ) = � � Q i, j ( t ) p i, j , pi, j� 0 1, pi, j= 0 定义 1. 3(半马氏过程 ) [ 5]已知 {Jn, T n }, Jn � E, E = { 1, 2, �, m }, T n � N 是定义在完备状态空间 ( �, F, P )上的离散时间时齐马氏更新过程, 则由 Z ( t) = JN ( t)表达的过程被称为离散时间时齐半马氏 过程. � i, j� E = {1, 2, �, m }, Z ( t )的转移概率记为 � i, j ( t) = P ( z( t ) = j |z (0) = i). 定理 1. 1� 对任意状态 i, j� E和 t� N,有 �i, j= �i, j [ 1- H i ( t) ] + � k� E � t t = 1 bi, k ( t ) �k, j ( t- t ),其中 �i, j = 1, i= j 0, i� j . 2� 半马氏过程驱动的欧氏期权定价公 式及其证明 � � 假设有限状态空间 E = { - zm in d, �, - 2d, - d, 0, d, 2d, �, zm axd}下未分红资产的对数收益率 ln S t S t- 1 是一个服从离散时间时齐半马氏过程的随机过程,并 假设股票有连续红利率 q支付. 由于 ln S t S t- 1 = z ( t ), 故 s( t ) = s ( t- 1 ) ez ( t) . 令 s ( 0 ) = 100, 则 s ( 1) = 100e jd从而得到 s(T ) = s ( t ) e � T h= t+ 1 z( h ) . 考虑到红利, 则股票实际价格为 s(T ) = s( t) e- q( T- t) ed � T h= t+ 1 z( h ) . 假设市场无套利机会,为了使整个交易公平就有 期权价格和其内在价值关于自然变动分布的期望贴现 值相等 [ 6- 7] .即: E [ erTC (S0, K, T )- ( s(T )- k )+ ] = 0. 故 C ( S0, K, T ) = erTE [max ( s(T ) - k, 0) ] 基于相同的原理,对每一个 ( s ( t ), z ( t ), B ( t ) ) 的状态 ( s, i, l )考虑有连续红利支付的期权的条件 价值为: C (T - t, k) ( s, i, l ) = e - r (T- t) E [max( s(T ) - k, 0) | � � �( z ( h ) ), h� t, s( t) = se- q(T - t) , � � z ( t) = i, B ( t) = l] 其中 � ( z ( h) ), h� t是由 z ( h )到时间 t为止所生成 的流,为计算上式, 令 P [ s(T )�x |s( t) = se- q(T - t) , z ( t) = i, � � B ( t) = l] = � ix ( l, t, T, se- q(T - t) ). 在到期时刻与敲定价 K的差值为 �1 < �2 < � < �n < �n + 1,设 �~ i, k+ �n ( l, T, T, se- q (T - t) ) = P [ s(T ) = � � k+ �n | s( t) = se- q(T - t) , z( t ) = i, B ( t ) = l] . 定理 2. 1� 已知过程 ( s( t ), z ( t ), B ( t) )的不同 取值 ( s, i, l)时相应的到期日 T 的欧氏看涨期权在 当前时刻 t的价格为 C (T - t, k) ( s, i, l ) = e- r( T- t) � n = 1 �n �~ i, k+ � n ( l, t, T, se - q(T - t) ). 11� 第 1期 柳向东, 等: 半马氏过程框架下的期权定价 证明 � � � ix ( l, t, T, se- q(T - t) ) = P [ s(T )�x, TN ( t) + 1 > T |s( t ) = se- q(T - t) , JN ( t) = i, TN ( t) = t- l, TN ( t) + 1 > t ] + � � P [ s(T )�x, TN ( t) + 1� T |s( t ) = se- q(T - t) , JN ( t) = i, TN ( t) = t- l, TN ( t) + 1 > t ] = � � P [ s(T )�x, |T n+ 1 > T, s( t) = se- q (T- t) , Jn = i, T n = t- l]P [T n+ 1 > T | s( t )= se - q (T- t) , Jn = i, T n = t- l] P [T n + 1 > t |s( t) = se - q( T- t) , Jn = i, T n = t- l ] + � � �T m= t+ 1 � a� E P [ s(T ) � x, Tn+ 1= m, Jn+1 = a, s(m ) = se-q(T- t) ed [ (m-t+ 1) i+ a] , s( t) = se-q(T- t), Jn = i, T n = t- l] � � � P [ Jn + 1 = a, T n + 1 =m, s(m ) = se- q (T- t) ed [ (m- t+ 1) i+ a ] | s( t) = se- q( T- t) , Jn = i, T n = t- l, Tn + 1 > t ] = � � P [ s(T )�x, |T n+ 1T, s( t ) = se- q (T- T ) , Jn = i, T n = t- l ] � 1-H i (T - t+ l) 1- H i ( l) + �T m = t+ 1 � a� E P [ s(T )� � � x |Tn + 1 =m, Jn+ 1 = a, s(m ) = se- q(T - t) ed [ (m - t+ 1) i+ a ] ] � � � P [Jn + 1 = a, T n + 1 =m, s(m ) = se - q (T - t) e d [ (m - t+ 1) i+ a ] |s( t ) = se - q (T- t) , Jn = i, T n = t- l] P [T n+ 1 > t | s( t) = se - q(T - t) , Jn = i, T n = t- l] = � � I{ se- q (T - t ) ed[ (T - t ) i] �x } � 1-H i (T - t+ l) 1+H i ( l) + �T m = t+ 1 � a� E � ax (0, m, T, se- q(T - t) ed [ (m - t+ l) i+ a ] ) � bia (m - t+ l ) 1-H i ( l) 所以 � ix ( l, t, T, se- q(T - t) ) = � � I{ se- q (T - t ) ed[ (T - t) i ]� x } � 1-H i (T - t+ l ) 1-H i ( l ) 而 �~ I, k+ �n ( l, t, T, se- q (T- t) ) = � i, k+ �n ( l, t, T, � � se- q( T- t) ) - � i, k + � n+ 1 ( l, t, T, se - q( T- t) ) 故 C (T- t, k) ( s, i, l) = e - r(T - t) � n = 1 �n �~ i, t, T, se- q (T - t) . 定理 2. 2� 设 ( k - s (T ) ) + 的不同取值 �1 < �2 < ��n - 1 < �n < �,欧氏看跌期权在当前时刻 t的 价格为 PT - t, k ( s, i, l) = e - r (T - t) = � � � i, k- � n � ( l, t, T, se- q( T- t) ). 证明: 由 �~ i, k - � n ( l, t, T, se - q(T - t) ) = � i, k - � n ( l, t, T, � � se- q( T- t) ) - � i, k - �n - 1 ( l, tK, T, se- q( T- t) ) 则类似定理 2. 1的证明,有 PT - t, k ( s, i, l) = e - r (T - t) E [max( k- s(T ), 0) | � � � ( z ( h) ), h� t, s( t) se- q(T - t) , z ( t) = i, � � B ( t) = l ] = e- r( T- t) � n= 1 �n �~ i, k- �n � � � ( l, t, T, se- q( T- t) ) 通过以上推导给出了在半马氏过程驱动下并且 标的资产有定期红利支付的欧氏期权的递推公式. 按照这种方法只要知道当前经济数据和确定的时间 间隔在划定适当的期数后, 是可以求出期权的近似 价格的. 3� 半马氏过程下的美氏期权定价公式 及其证明 � � 为了简化考虑,假设在标的资产无红利支付的 情况下来探讨美氏期权的定价公式. 记 vt ( s, k ) = ( s- k ) +为从 t时刻开始在某一时刻看涨期权的内 含价值, 对 �m � t, Av t (m | s, i, l ) = E [ e- r (m - t) vs ( s (m ) ) | s( t) = s, z( t ) = i, B ( t ) = l ]为时刻 m的未定 权益在 t时刻的价值. 所以美氏看涨期权的价 值 [ 8- 9]为 C (T - t, k) ( s, i, l) = supm � �T t+ 1A v t (m | s, i, l ). 若定义最优执行时间 t = m in{ h� �TtC (T - t, k ) ( s, i, l) = ( s- k ) + },实质上 t为一最优停时 [ 10 ] .则 A v t ( t | s, i, l ) = supm � �tTA v t (m |s, i, l) = � � E [ e- r( t - t) v t ( s( t ) ) |� ( z ( h ) ), h � t, s ( t ) = � � s, z ( t) = i, B ( t) = l] = C ( T- t, k ) ( s, i, l) 定理 3. 1� 已知过程 ( s( t ), z ( t ), B ( t) )处在任 意状态 ( s, i, l),有敲定价格 K 和到期时间 T 的美氏 看涨期权的价格公式为 C (T - t, k) ( s, i, l ) = � � sup vt ( s, k), e- r 1-H i ( l+ 1) 1-H i ( l) � � C [T - ( t+ 1), k] ( seid, i, l+ 1) + � � e- r � a� E bia ( l+ 1) 1-H i ( l) C [T - ( t+ 1), k] ( se ad , a, 0). 证明 � A v t (m |s, i, l )= E [ e- r (m- t) (S (m ) - k )+ |S ( t )= 12 暨南大学学报 (自然科学版 ) 第 32卷 � � s, z ( t) = i, B ( t ) = l ] = � x> 0 e -r [m( t+ 1) ] � � � e- rx {P [ s(m ) = k+ x, s( t+ 1) = seid, z ( t+ � � 1) = i, B ( t+ 1) = l+ 1 | s( t) = s, z ( t) = � � i, B ( t) + l] + � a� E P [ s(m ) = k+ x, s( t+ 1) = � � sead, z ( t+ 1) = a, B ( t+ 1) = 0 | s( t) = S, � � z( t) = i, B ( t) = l] } = �x> 0 e- r[m- ( t+ 1) ] � � � e- rx {P [ s(m ) = k + x | s( t+ 1) = seid, � � z ( t+ 1) = i, B ( t+ 1) = l+ 1] �P [ z ( t+ � � 1) = i, B ( t+ 1) = 0 | z ( t) = i, B ( t ) = l] + � � � a � EP [ s(m ) = k+ x | s( t+ 1) = se ad , z ( t+ � � 1) = a, B ( t+ 1) = 0] �P [ z ( t+ 1) = a, � � B ( t + 1) = 0 | z ( t ) = i, B ( t ) = l ] } = � � e- r � x > 0 e - r[m- ( t+ 1) ] x {P [ s(m ) = k + x | s( t+ � � 1) = seid , z( t+ 1) = i, B ( t + 1) = l+ 1] � � � P [T n+ 1 > t+ 1 | Jn = i, T n+ 1 > t, Tn = t- � � 1] + � a� EP [ s(m ) = k+ x | s( t+ 1) = se ad , � � z ( t+ 1) = a, B ( t+ 1) = 0] �P [Jn+ 1 = a, � � Tn+1 = t+ 1 | Jn = i, T n = t- l, T n+ 1 > t] } = � � e- r 1 - H i ( l + 1) 1 - H i ( l ) E [ e -r [m- ( t+ 1) ] ( s(m ) - � � k)+ | s( t+ 1) = seid , z( t+ 1) = i, B ( t+ 1) = � � l+ 1] + e- r � a� E bia ( l + 1) 1 - H i ( l ) � � � E [ e- r[ m- ( t+ 1) ] ( s (m ) - k )+ | s( t+ 1) = � � sead, z ( t+ 1) = a, B ( t + 1) = 0] = � � e- r 1 - H i ( l + 1) 1 - H i ( l ) Av t+ 1 (m | se id , i, l+ 1) + � � � a � E bia ( l + 1) 1 - H i ( l) A v t+ 1 (m | se ad , a, 0) 对上式取 supm � �T t+ 1,则上式 = e - r 1-H i( l+ 1) 1-H i ( l ) C [ T- ( t+ 1, k] ( se id , i, l+ 1) + � � � a� E bia ( l + 1) 1 - H i ( l ) C [T- ( t+ 1, k] ( se ad , i, l + 1) 从而得到 C (T - t, k) ( s, i, l ) = sup vt ( s, k ), � � e- r 1-H i ( l+ 1) 1-H i ( l) C [T- ( t+ 1), k ] ( se id , i, l+ 1) + � � e- r � a� E bia ( l+ 1) 1-H i ( l) C [T - ( t+ 1), k] ( se ad , a, 0). 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