banach代数在算子理论中的应用4、5

算子理论中的Banach代数技巧 1 Banach代数 2 Banach代数 3 Hilbert空间几何学 4 Hilbert空间的算子及C*代数 4.1 共轭算子 4.1线性代数的大部分内容是研究保持线性空间结构的变换，即线性变换。对Hilbert空间来 说，情况也是类似的。从现在开始，本书将主要考虑Hilbert空间之间的有界线性变换。尽管某 些类型的无界线性变换也是重要的，但我们只在习题 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 虑它们。 我们用算子一词表示有界线性变换。下面的命题保证了我们称的“共轭算子”的存在唯一 性。 4.2 命题 若T是Hilbert空间H上的线性算子，则存在H上的唯一线性算子S满足 (Tf; g) = (f; Sg); 8f; g 2H 证明 对任意给定的g 2 H，考虑H上的泛函' ，'(f) = (Tf; g); 8f 2 H。易见'是H上 的有界线性泛函，从而由Riesz表示定理可得唯一h 2H使得'(f) = (f; h); 8f 2H。 令Sg = h，显然S线性且(Tf; g) = (f; Sg); 8f; g 2H。特别取f = Sg则得不等式 kSgk2 = (Sg; Sg) = (TSg; g) � kTkkSgkkgk;8g 2H 从而kSgk � kTkkgk;8g 2H，即kSk � kTk，所以S是H上的算子。 下证S的唯一性。设S0是H上的另一个算子满足(f; S0g) = (Tf; g);8f; g 2H，则(f; S0g � Sg) = 0;8f; g 2H，从而S0g = Sg; 8g 2H , 所以S0 = S。 4.3 定义 若T是H上的线性算子，称满足(Tf; g) = (f; T �g);8f; g 2H的算子T �为T的共轭 算子。 下面的命题 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了对合T ! T �的性质。在许多情形，这种对合所扮演的角色与复数的共轭 类似。 4.4 命题 若H是一个Hilbert空间，则 （1）T �� = (T �)� = T; 8T 2 L(H )； （2）jjT jj = jjT �jj;8T 2 L(H )； （3）(�T + �S)� = ��T � + ��S�; (ST )� = T �S�;8�; � 2 C; S; T 2 L(H )； （4）(T �)�1 = (T�1)�;8T 2 L(H )； 1 （5）jjT jj2 = jjT �T jj;8T 2 L(H )。 证明 （1）对任意f; g 2 H，由于 (f; T ��g) = (T �f; g) = (g; T �f) = (Tg; f) = (f; Tg) 所以T �� = T。 （2）在命题4.2的证明中我们得到jjT ��jj � jjT �jj � jjT jj，再结合（1）可得jjT jj = jjT �jj。 （3）直接计算。 （4）由(3)知T �(T�1)� = (T�1T )� = I = (TT�1)� = (T�1)�T �，从而T �可逆且(T �)�1 = (T�1)�。 （5）由（2）得jjT �T jj � jjT �jj jjT jj = jjT jj2，我们只需再证jjT �T jj � jjT jj2。为此， 取H中的单位向量序列ffng使得limn!1jjTfnjj = jjT jj。于是我们有jjT �T jj � lim supn!1jjT �Tfnjj � lim supn!1(T �Tfn; fn) = limn!1jjTfnjj2 = jT jj2，这就完成了证明。 4.5 定义 设T是Hilbert空间H上的线性算子，称闭子空间ff 2 H; T f = 0g为T的核，记 为kerT，而称子空间fTf : f 2 Hg为T的值域，记为ranT。 4.6 命题 设T是Hilbert空间H上的线性算子，则kerT = (ranT �)?; kerT � = (ranT )?。 证明 由命题4.4的（1）知道只需证明第一个等式就行了。为此，注意到若f 2 kerT， 则(T �g; f) = (g; Tf) = 0;8g 2 H，从而f 2 (ranT �)?。另一方面，若f 2 (ranT )?， 则(Tf; g) = (f; T �g) = 0;8g 2H，从而Tf = 0，即f 2 kerT。 下面我们将推导出算子可逆的有用准则。 4.7 定义 设T是Hilbert空间H上的线性算子，若存在常数" > 0，使得jjTf jj � "jjf jj;8f 2 H，则称T是下有界的。 4.8 命题 设T是Hilbert空间H上的线性算子，则T可逆的充要条件是T下有界且具有稠密值 域。 证明：若T可逆，则ranT =H且 jjTf jj � 1jjT�1jj jjT �1Tf jj = 1jjT�1jj jjf jj;8f 2 H 从而T下有界。 反过来，若T下有界，即存在" > 0使得jjTf jj � "jjf jj;8f 2 H，从而T是单射。又 对ranT的Cauchy列fTfng1n=1，不等式jjfn�fmjj � 1" jjTfn�Tfmjj推出ffng1n=1也是Cauchy列， 从而有limn!1fn = f 2 H，及limn!1Tfn = Tf 2 ranT，所以ranT是闭子空间。又由T具有 稠密值域，从而T是满射。所以T有逆映射T�1,且若g = Tf，我们有jjT�1gjj = jjf jj � 1" jjTf jj = 1 " jjgjj，因此T�1是有界的。 4.9 推论 设T是Hilbert空间H上的线性算子，若T和T �都是下有界的，则T可逆。 证明 若T �下有界，则ranT � = f0g，由命题4.6可得(ranT )? = kerT � = f0g，又由推 论3.22得clos[ranT ] = (ranT )?? = f0g? = H，所以ranT在H稠密，从而由定理4.8立得结果。 2 4.2 正规算子和自共轭算子 4.10 若T是有限维Hilbert空间Cn上的线性算子，且feigni=1是Cn的 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 正交基，则T可由矩 阵faijgni;j=1表示，其中aij = (Tei; ej)。其共轭算子有矩阵表示fbijgni;j=1，这里bij = aji; i; j = 1; 2; � � � ; n。 Cn上最简单的算子是在适当的基下其表示矩阵是对角阵，也就是说aij = 0; i 6= j。一个算 子属于这种类型的充分必要条件是它与其共轭算子可交换。这个结论的一方面是显然的，而另 一方面则是矩阵的“谱定理”的内容。 对无限维Hilbert空间这个结论不在成立。但是，Hilbert证明适当重新阐述后这个结论对任 何Hilbert空间都成立。这个“谱定理”是本章的主要定理。 我们从定义相应的算子类入手。 4.11 定义 设T是Hilbert空间H上的线性算子 （1）若TT � = T �T，则称T是正规算子； （2）若T � = T，则称T是自共轭算子或者Hermite算子； （3）若(Tf; f) � 0;8f 2 H，则称T是正算子； （4）若T �T = TT � = I，则称T是酉算子。 下面的命题给出了自共轭算子的刻画。 4.12 命题 复Hilbert空间H上的算子T是自共轭的充要条件是对8f 2H，(Tf; f)是实数。 证明 若T是自共轭的，则 (Tf; f) = (f; T �f) = (f; Tf) = (Tf; f);8f 2H 所以(Tf; f)是实数。反过来，若对8f 2 H，(Tf; f)是实数，则用引理3.3可得(Tf; g) = (Tg; f) = (g; T �f) = (T �f; g);8f; g 2 H，从而T � = T。 4.13 推论 若P是复Hilbert空间H上的正算子，则P是自共轭算子。 证明 显然。 4.14 命题 若T是Hilbert空间H上的线性算子，则T �T是正算子。 证明 (T �Tf; f) = jjTf jj2 � 0;8f 2H，所以T �T是正算子。 当我们谈论Hilbert空间H上的线性算子T的谱时，我们是指T作为Banach代数L(H )的元素 的谱，并用�(T )记T的谱。对有限维空间，� 是T的谱的充要条件是�是T的特征值。但是，对 无限维Hilbert空间情况就不是这样的了。 在线性代数里人们证明Hermite矩阵的特征值是实数，将这个结论推广到Hermite算子就得 到下面的结论。 4.15 命题 若T是Hilbert空间H上的自共轭算子，则T的谱是实数。且进一步若T是正的， 则T的谱非负。 证明 若� = � + i�; �; � 2 R; � 6= 0，我们要证明T � �可逆。注意到K = T��� 是自 共轭的，而T��� = K � i，所以T � �可逆等价于K � i可逆。由命题4.9知道我们只需证 明K � i; (K � i)� = K + i下有界即可，而这又由不等式jj(K � i)f jj2 = ((K � i)f; (K � i)f) = 3 jjKf jj2 � i[(Kf; f)� (f;Kf)] + jjf jj2 = jjKf jj2 + jjf jj2 � jjf jj2保证，从而自共轭算子T的谱是 实数。 若T是正的，� < 0，则jj(T��)f jj2 = jjTf jj2�2�(Tf; f)+�2jjf jj2 � �2jjf jj2。由(T��)� = T � �知T � �; (T � �)�下有界，及命题4.9只T � �可逆，从而正算子T的谱非负。 4.3 投影和子空间 我们现在考虑一类特殊的正算子，在谱定理中将会明白，在某种意义下，这类算子是构成 自共轭算子的基石。 4.16 定义 Hilbert空间上的算子P既是幂等的(P 2 = P )，又是自共轭的，则称P是一个投 影。 下面的构造给出了一个投影，事实上，所有投影都是按这种方式产生的。 4.17 定义 设M是Hilbert空间H的闭子空间，对任意f 2 H定义PM f = g; f = g + h; g 2 M ; h 2M?。 4.18 定理 若M是H的闭子空间，则PM是值域为M的投影算子。进一步，若P是投影算 子，则存在闭子空间M (= ranP ) 使得P = PM。 证明 我们先证PM是H上的线性算子。设f1; f2 2 H ; �1; �2 2 C，则f1 = g1 + h1f2 = g2 + h2，其中gi 2M ; hi 2M?; i = 1; 2。从而�1f1 + �2f2 = (�1g1 + �2g2) + (�1h1 + �2h2)， 其中�1g1 + �2g2 2 M ; �1h1 + �2h2 2 M?。由直和分解的惟一性我们有PM (�1f1 + �2f2) = �1g1 + �2g2 = �1PM f1 + �2PM f2，从而PM是线性的。又 jjPM f1jj2 = jjg1jj2 � jjg1jj2 + jjh1jj2 � jjf1jj2 说明PM有界且jjPM jj � 1，从而PM是H上的线性算子。进一步，由 (PM f1; f2) = (g1; g2 + h2) = (g1; g2) = (g1 + h1; g2) = (f1; PM f2);8f1; f2 2H 知PM是自共轭的。最后，若f 2M，则f = f +0是f的正交分解，从而PMf = f。由ranPM = M可知P 2M = PM，从而PM是幂等的，所以PM 是值域为M的投影。 反过来，设P是投影算子，记M = ranP。若fPfng1n=1是H中的Cauchy列，则它收敛 于g 2H，从而 g = limn!1Pfn = limn!1P 2fn = P [limn!1Pfn] = Pg 所以g 2 M，即M是H的闭子空间。注意到，8f 2 H，我们有f = Pf + h，其中Pf 2 M ; h 2M?，由定义4.17可知PM f = Pf，从而P = PM。 闭子空间的许多几何性质可用其上的投影来表述。 4.19 命题 若H是一个Hilbert空间，fMigni=1是H的闭子空间，fPigni=1是到它们上面的投 影，则P1 + P2 + � � � + Pn = I 的充要条件是fMigni=1两两正交且其和等于H，即8f 2 H，唯 一存在fi 2Mi; i = 1; 2; � � � ; n使得f = f1 + f2 + � � �+ fn。 4 证明 若P1 + P2 + � � �+ Pn = I，则8f 2H，f = P1f + P2f + � � �+ Pnf，从而fMigni=1之 和等于H。反过来，若fMigni=1 之和等于H且P1 + P2 + � � �+ Pn是一个投影，则它必是恒等算 子。所以问题简化为P1 + P2 + � � �+ Pn是投影的充要条件是fMigni=1 是两两正交的，而这又只 需考虑两个子空间的情形即可。 现在设P1; P2是两个投影，且P1 + P2也是投影。对f 2M1，我们有 ((P1 + P2)f; f) = ((P1 + P2) 2f; f) = (P1f; P1f) + (P1f; P2f) + (P2f; P1f) + (P2f + P2f) = ((P1 + P2)f; f) + 2(P2f; f) 这里用到P1f = f。所以2jjP2f jj2 = 2(P2f; P2f) = 2(P2f; f) = 0，于是f，从而M1与M2正交。 反过来，若P1; P2是两个投影使得其值域正交，则对8f 2H，我们有 (P1 + P2) 2f = (P1 + P2)P1f + (P1 + P2)P2f = P 2 1 f + P 2 2 f = (P1 + P2)f 从而P1 + P2是幂等的，显然它也是自共轭的，所以P1 + P2是投影。 证明显示有限个值域两两正交的投影算子之和也是投影算子。 4.4 乘法算子和极大Abel代数 下面我们考虑一些不同于有限维Hilbert空间上可对角化矩阵的正规算子。 4.20例设(X;S ; �)是一个概率空间，对每一个' 2 L1(�)定义一个L2(�)上的映射M'，M'f = 'f;8f 2 L2(�)，这里' f按逐点相乘理解，并记M = fM' : ' 2 L1g。M'显然线性，且不等式 jjM'f jj2 = �Z X j'f j2d� � 1 2 � �Z X jj'jj1jf j2d� � 1 2 = jj'jj1jjf jj2 说明M'有界。进一步，记En = fx 2 X : j'j � jj'jj1 � 1ng，则 jjM'IEn jj2 = �Z X j'IEn j2d� � 1 2 � 24 Z X � jj'jj1 � 1 n �2 jIEn j2d� ! 1 2 35 � � jj'jj1 � 1 n � jjIEn jj2 从而jjM'jj = jj'jj1。 又对f; g 2 L2(�)及' 2 L1(�)，我们有 (M'f; g) = Z X ('f)�gd� = Z X f �'gd� = (f;M �'g) 所以M�' =M �'。 5 最后，从L1(�)到M的映射 (') =M'显然线性且保持乘法运算，于是 是从L1(�)到M的��等 距同构（这里��是指L1(�)中的函数'的共轭函数 �'被 映成'的像M'在L(L2(�))中的共轭算 子M�'。） 由于L1(�)是交换代数，从而M'与M�'可交换，从而M'是正规算子。对' 2 L1(�)，算 子M'自共轭等价于M' =M�'，从而' = �'，即'取实值。由于M2' =M'2，所以M'是幂等的充 要条件是'2 = '，或者'是特征函数。于是，M中由实值函数'引导的算子M'是自共轭算子， 由特征函数'引导的算子M'是投影算子。 现在考虑算子M'的谱。若'� �在L1(�)中可逆，则M' � � =M('��)在L(L2(�))中可逆， 且(M' � �)�1 = M('��)�1，所以�(M') � R(')。为了得到反向的包含关系，我们需要证明如 果M' � �可逆，则其逆算子属于M。至少有两个不同的方法去证明它，这两个不同的方法反映 了M具有的两个重要性质。 4.21定义设H是一个Hilbert空间，L(H )的子代数M称为极大Abel代数是指M是交换的， 且M不真包含于L(H )的任何交换子代数中。 4.22 命题 代数M = fM' : ' 2 L1(�)g是L(L2(�))中的极大Abel子代数。 证明 设T是L2(�)上的一个与M可交换的算子，记 = T1，则 2 L2(�)且T' = TM'1 = M'T1 = ' = '; 8' 2 L1(�) � L2(�)。下证 2 L1(�)。事实上，记En = fx 2 X : j (x)j � jjT jj+ 1ng则 jjT jj jjIEn jj2 � jjTIEn jj2 = jj IEn jj2 = �Z X j IEn j2d� � 1 2 � � jjT jj+ 1 n ��Z X jIEn j2d� � � � jjT jj+ 1 n � jjIEn jj2: 从而jjIEn jj = 0，即fx 2 X : j (x)j > jjT jjg是一个零测集，所以 2 L1(�)且T' = M ';8' 2 L1(�)。注意到C(X) � L1(�)且我们在3.33节证明过C(X)在L2(�)中稠密，从而T' =M '; 8' 2 L2(�)，即T =M ，所以M是L(L2(�))中的极大Abel子代数。 4.23 命题 设H是Hilbert空间，U是L(H )的极大Abel子代数，则�(T ) = �U(T )。 证明 显然对8T 2 U，�(T ) � �U(T )。反过来，若� =2 �(T )，则(T � �)�1 2 L(H )， 注意到(T � �)�1与U的所有元可交换，由U是L(H )的极大Abel子代数知(T � �)�1 2 U，从 而� =2 �U(T )，所以�(T ) � �U(T )，于是�(T ) = �U(T )。 4.24 推论 若' 2 L1(�)，则�(M') = R(')。 证明 由M = fM : 2 L1(�)g是L(L2(�))的极大Abel子代数，所以�M(M') = �(M')， 而由M'的定义及M和L1(�)等距同构知道�M(M') = �L1(�)(')，由引理2.63知�L1(�)(') = R(')。 4.5 双边位移算子 在考察算子T 2 U � L(H )的谱，与其按子代数U的谱不等，即�U(T ) 6= �(T )的例子之后， 我们将对所讨论的问题给出另外的处理。 6 4.25 例子 设l2(Z)是Z上满足P1�1 jf(n)j2 <1的复值函数构成的Hilbert空间。定义l2(Z)上 的算子U : l2(Z) ! l2(Z),(Uf)(n) = f(n � 1)。算子U称为双边位移算子，它显然线性且对任 意f 2 l2(Z)满足等式 kUfk22 = 1X n=�1 j(Uf)(n)j2 = 1X n=�1 jf(n� 1)j2 = jjf jj22 从而U保持范数，特别的，U是有界的。 若定义A : l2(Z)! l2(Z); (Af)(n) = f(n+ 1)，我们有 (Uf; g) = 1X n=�1 (Uf)(n)g(n) = 1X n=�1 f(n� 1)g(n) = 1X n=�1 f(n)g(n+ 1) 所以A = U�，直接计算可得UU� = U�U = I，即U�1 = U�。从而U是酉算子。 由命题2.28可知�(U) � �D及�(U�1) = �(U�) � �D。若� 2 D; 0 < j��j < 1，则(U � �)U�1 = �( 1� � U�1)。既然 1� =2 �D，算子�( 1� � U�1)可逆，从而U � �) 也可逆。所以�(U) � T。对 取定的� 2 [0; 2�]; n 2 Z+，当jkj � n时，定义fn(k) = (2n + 1)� 12 e�ik�，否则令fn(k) = 0， 则fn 2 l2(Z)。直接计算可知fn是一个单位向量且limn!1(U � ei�)fn = 0。从而U � ei�下方无 界，于是ei� 2 �(U)。所以�(U) = T。 记U+是L(l2(Z))的包含I; U的最小闭子代数，则U+是U的多项式全体按一致范数的闭包， 即 U+ = clos ( NX n=0 �nU n : �n 2 C; N 2 N ) 若M是l2(Z)的闭子空间 � f 2 l2(Z) : f(k) = 0; k < 0 则UM �M，从而对任何多项式p; p(U)M � M。若A 2 U+，选取多项式列fpng1n=1 使 得limn!1pn(U) = A，所以若f 2 M , 则pn(U)f 2 M , 从而Af = limn!1pn(U)f推出Af 2 M，于是AM � M ;8A 2 U+。我们说U�1不属于U+。事实上，设e0 2 l2(Z)是0 位置等于1， 其余位置等于0的双边序列，则 (U�1e0)(�1) = (U�e0)(�1) = 1 6= 0 因此U�1M *M，从而U�1不属于U+。所以0 2 �u+(U)，进而有�U+(U) 6= �(U)。 可以证明代数U+与2.50节中定义的圆盘代数等距同构，且U对应着�，从而0 2 �U+(U)，进 而可得�U+(U) = �D。我们后面还会回到这个问题上来。 由于U+显然含于更大的交换代数fM' : ' 2 L1(T)g之内，代数U+不是极大Abel的。同样 重要的是U+ 不是L(l2(Z))的自共轭子代数，因为我们不久将证明那种代数也具有保持谱的性 质。 7 4.6 C*-代数 我们考虑自共轭子代数的抽象类似物。 4.26 定义 设U是一个Banach代数，其上的对合是指映射� : U ! U; � : T 7! T �，它满足如 下性质 （i）T �� = T; 8T 2 U （ii）(�S + �T )� = ��S� + ��T �;8�; � 2 C; S; T 2 U （iii）(ST )� = T �S�;8S; T 2 U 若进一步假设jjT �T jj = jjT jj2;8T 2 U，则称U是一个C�-代数。 对任何Hilbert空间H，由命题4.4知道L(H ) 的自共轭子代数是C��代数。事实上可以证 明每一个C��代数都等距同构于这样的的代数（见习题5.26）。 所有基于共轭运算定义的各种类型的算子的概念都可以扩展到C��代数上去；比 如，C��代数中的元素T称为自共轭的，是指T � = T，称为正规的是指TT � = T �T，称为 酉的是指T �T = TT � = I。 我们现在给出命题4.15的另一证明，该证明对C��代数也成立。我们前面的证明本质上用 到Hilnert空间算子的性子。 4.27 定理 在C��代数中，自共轭元的谱是实的。 证明 首先注意到对C��代数U中的元T，不等式jjT jj2 = jjT �T jj � jjT �jj jjT jj，所以jjT jj � jjT �jj，再由T �� = T知jjT �jj = jjT jj。所以C��代数上的对合运算是等距的。 设H 2 U自共轭，令U = eiH。由H自共轭及指数函数的定义可得U� = �eiH�� = e�iH。 进一步由引理2.12可得UU� = eiHe�iH = eiH�iH = I = e�iHeiH = U�U，从而U是酉元。又 由1 = jjIjj = jjU�U jj = jjU jj2可得jjU jj = jjU�jj = jjU�1jj = 1，因此�(U) � T。而由推论2.37我 们有�(U) = exp(i�(H))，于是�(H) � R。 4.28 定理 设B是C��代数，U � B是闭自共轭子代数，T 2 U，则�U(T ) = �B(T )。 证明 因为�U(T ) � �B(T )，只需证明若T � �在B中可逆时，(T � �)�1 2 U即可。不失一 般性，我们可以假设� = 0。设T在B中可逆，T �T 2 U在B中可逆，由定理4.27知�U(T �T )是实 的，再由推论2.55可得�U(T �T ) = �B(T �T )。从而T �T在U中可逆，从而T�1 = (T�1(T �)�1)T � = (T �T )�1T � 2 U。 4.7 Gelfand-Naimark定理 我们现在到了能够建立正规算子的谱定理的位置了。我们还要用它建立连续函数的“函数 演算”并证明正规算子的许多基本结果。 我们的方法基于交换C��代数的如下刻画定理。 4.29定理（Gelfand-Naimark）设U是一个交换C��代数，M是U的极大理想空间，则Gelfand映 射是U到C(M)上的��等距同构。 8 证明设�是Gelfand映射，我们要证明�(T ) = �(T �); jj�(T )jj1 = jjT jj。Stone-Weierstrass定 理保证�是满射。 若T 2 U，则H = 12(T + T �);K = 12i(T � T �)都是U的自共轭元，且T = H + iK; T � = H � iK。由定理4.27知�(H); �(K)都含于R，推论2.36知道�(H);�(K)都是实的，所以 �(T ) = �(H) + i�(K) = �(H)� i�(K) = �(H � iK) = �(T �) 从而�是��映射。 下证�是等距的。对T 2 U，由定义4.26，推论2.36，定理2.38以及T �T自共轭，我们有 jjT jj2 = jjT �T jj = jj(T �T )2kjj 12k = limk!1jj(T �T )2kjj 1 2k = jj�(T �T )jj1 = jj�(T �)�(T )jj1 = jj j�(T )j2jj1 = jj�(T )jj21 从而�是等距的，进而是到C(M)上的��等距同构。 若U是交换的C��代数，T 2 U，则T是正规的，这是因为T � 2 U且U可交换。另一方面， 任一正规元都可生成一个交换C��代数。 4.8 谱定理 4.30 定理（谱定理）设H是一个Hilbert空间，T是H上的正规算子，则T生成的C��代 数CT是交换的。CT的极大理想空间与�(T )同胚，从而Gelfand变换是CT到C(�(T ))上的等距同 构。 证明 由T; T �可交换，T; T �的多项式全体构成L(H )的一个含于CT的交换子代数，容易验 证该子代数的闭包也是一个交换的C��代数且就等于CT，从而CT可交换。 要证CT的极大理想空间M同胚于�(T )，定义 :M ! �(T ); (') = �(T )(')。推论2.36说�(T )的 值域等于�(T )，从而 是良定义的且是满射。又对'1; '2 2M，若 ('1) = ('2)，则 �(T )('1) = �(T )('2); '1(T ) = '2(T ); 且 '1(T �) = �(T �)('1) = �(T )('1) = �(T )('2) = �(T �)('2) = '2(T �) 从而'1; '2在T; T �的所有多项式上相等，而这些多项式构成的集合在CT中稠密，所以'1 = '2，即 是单射。最后，若f'�g�2A是M中的一个网，且lim�2A'� = '，则 lim�2A ('�) = lim�2A�(T )('�) = �(T )(') = (') 从而 连续。因为M ; �(T )都是紧Hausdor�空间，所以 是一个同胚。 4.9 函数演算 4.31 函数演算 若T是一个算子，对T的基本的函数演算可以按如下方式定义：对多项 式p(z) =PNn=0 �nzn，定义p(T ) =PNn=0 �nTn。映射p! p(T )是多项式代数到算子代数的一个 9 同态。若H是有限维的，则我们可以基于这种函数演算来建立对T的分析。特别的，这一同态 的核fp(z) : p(T ) = 0g是多项式代数的一个非零主理想，而该理想的生成元是T的极小多项式。 若H是无限维的，则这种函数演算几乎得不出什么信息。 把这个同态扩张到更大的函数代数上去（见习题2.18）是算子理论里一个相当重要的问 题。 若T是Hilbert空间H上的正规算子，则Gelfand变换建立了C(�(T ))与CT之间的��等距同 构。对' 2 C(�(T ))，我们定义'(T ) = ��1'。显然，若'是z的多项式，则这一定义与前面的定 义一致。进一步，若A是H上与T; T �都可交换的算子，则A一定与CT中的每一个算子可交换， 从而与'(T )可交换，这里' 2 C('(T ))。 在本章的剩余部分，我们将利用这种函数演算得到算子的一些性质并且将函数演算扩展到 更大的函数类。 4.32 推论 若T是Hilbert空间H上的正规算子，则T是正的充要条件是�(T )非负；T是自共 轭的充要条件是�(T )是实的。 证明若T是正的，命题4.15保证�(T )非负。反过来，若T正规，�(T )非负，�是从GT到C(�(T )) 的Gelfand变换，则�(T ) � 0。所以存在�(T ) 上的连续函数'是的�(T ) = j'j2。于是 T = [ �'(T )]['(T )] = '(T )�'(T ) 由命题4.14知T是正的。 若T是自共轭的，命题4.15保证�(T )是实的。若T正规，�(T )是实的，则由推论2.36知 道 = �(T )是实值函数，从而T = (T ) = � (T ) = (T )� = T �，所以T是自共轭的。 若去掉T正规的条件，则推论4.32不正确，比如，存在这样的算子它的谱只含零但它不是自 共轭的。 推论的第二部分在C��代数里也对，而第一部分则告诉我们可以在C��代数里这样定义正 元：正规且谱非负。 4.10 正算子的平方根 我们现在证明对正算子存在唯一的（正的）平方根。 4.33 命题 设T是Hilbert空间H上的正算子，存在唯一正算子Q使得Q2 = P。进一步，Q与 所有同P可交换的算子可交换。 证明 由于�(P )是正的，平方根函数px在�(P )上连续。所以pP是H上的确切定义的算 子，因为�(pP ) = p�(P )，由推论4.32知pP是正算子。根据函数演算的定义知道(pP )2 = P。由4.31节知道pP与所有同P可交换的算子可交换。下证唯一性。 设Q是H上的正算子，满足Q2 = P。由Q2P = QQ2 = Q2Q = PQ，4.31节说由P;pP;Q2生 成的C��代数U是可交换的。记�是U到C(MU)上的Gelfand变换，则由命题2.36知�( p P );�(Q)都 是非负函数，�(pP )2 = �(P ) = �(Q)2，而�是同胚，从而�(pP ) = �(Q)推出Q = pP。 4.34 推论 若T是Hilbert空间H上的算子，则T是正的充要条件是存在H上的算子S使 得T = S�S。 10 证明 若T正，取S = pT即可。若T = S�S，则命题4.14推出T正。 4.11 单边位移算子 每一个复数可以写成一个非负数和一个模为一的数的乘积。Cn 上的线性变换的极形式保持 了这一结构，在那里非负数换成了正算子，模为一的数换成了酉算子。对无限维Hilbert空间来 说，类似的结论也成立，且在适当的条件下表示还是唯一的。在证明这一结果之前，我们需要 引入部分等距的概念。 4.35 定义 Hilbert空间H上的线性算子V称为是部分等距的的是指jjV f jj = jjf jj对属于V的 核的正交补里的f成立；若V的核是f0g，则V是等距。部分等距算子的始空间是其核的正交 补。 在有限维空间里，每一个等距都是酉算子。但是，对无限维Hilbert空间，这一结论不再成 立。为此我们考虑与双边位移有关的一个重要例子。 4.36 例 定义l2(Z+)上的算子U+; U+(f)(n) = f(n� 1); n > 0，其他情况取0。该算子称为单 向位移算子，简单计算可知U+是等距的。但由于e0 = (1; 0; 0; � � � )与U+ 的值域正交，所以U+不 是酉算子。直接计算可知其共轭算子U�+为U�+f(n) = f(n+ 1)。 我们考虑U+的谱。由于jjU+jj = 1，我们得到�(U+) � �D。又对z 2 D，函数fz(n) = zn， 则fz 2 l2(Z+)且U�+fz = fz。所以z 2 �(U+)，从而�(U+) = �D。 下面的结果表明对给定的始空间和值域是否存在部分等距的问题只与维数有关。 4.37 命题 设M ;N 是Hilbert空间H的两个闭子空间，且dimM = dimN ，则存在以M为 始空间，N 为值域空间的等距V。 证明 若M ;N 的维数相同，则分别存在M ;N 的规范正交基fe�g�2A; ff�g�2A。定义H上 的算子V如下：将H中的向量g写成g = h +P�2A ��e�，其中h ?M，令V g = P�2A ��f�。 则KerV =M?且jjV gjj = jjgjj;8g 2M。从而V是以M为始空间，N 为值域空间的等距。 我们下面给出部分等距的一个有用的刻画，它可以让我们在C��代数中定义部分等距。 4.38 命题 设V是Hilbert空间H上的一个线性算子，则下列各条等价： （1）V部分等距； （2）V �部分等距； （3）V V �是投影； （4）V �V是投影。 当V是部分等距时，V V �投影到V的值域上，而V V �投影到V的始空间上。 证明 由于部分等距V是压缩的，对任意f 2 H我们有 ((I � V �V )f; f) = (f; f)� (V �V f; f) = jjf jj2 � jjV f jj2 � 0 所以I � V �V是正算子。若f与kerV正交，则jjV f jj = jjf jj，从而((I � V �V )f; f) = 0。由jj(I � V �V ) 1 2 f jj2 = ((I�V �V )f; f) = 0，我们得到(I�V �V )f = 0，即V V �f = f。于是V �V是到V的 始空间上的投影。 11 反过来，若V �V是投影，且f与ker(V �V )正交，则V �V f = f。于是 jjV f jj2 = (V �V f; f) = (f; f) = jjf jj2 即V在ker(V �V )?上保持范数。又当V �V f = 0时，0 = (V �V f; f) = jjV f jj2，所以ker(V �V ) = kerV。从而V是部分等距，于是（1）和（4）等价。交换V和V �的脚色，我们得到（2）和 （3）等价。进一步，若V �V是投影，则由V (V �V ) = V得(V V �)2 = V (V �V )V � = V V �，所 以V V �也是投影。 4.12 极形分解 现在我们得到了算子的极形分解。 4.39定理设T是Hilbert空间H上的算子，则存在正算子P和部分等距算子V使得T = V P， 且当kerV = kerP时，分解P; V是唯一的。 证明 记P = (T �T ) 12，则 jjPf jj2 = (Pf; Pf) = (P 2f; f) = (T �Tf; f) = jjTf jj2;8f 2H : 于是若在ranP上定义定义 ~V使得 ~V Pf = Tf，则 ~V是良定义的且是等距。于是 ~V可以唯一延拓 成clos[ranP ]到H 的等距映射。如果通过定义在[ranP ]?上取零值，我们可以把 ~V延拓成H上 的算子，并记这样延拓后的算子为V，则V是部分等距的，满足T = V P，由命题4.6得kerV = [ranP ]? = kerP。 下面考虑唯一性。设T = WQ，这里W是部分等距，Q是正算子，且kerW = kerQ，则 由命题4.38和4.6知W �W是到[kerW ]? = [kerQ]? = clos[ranQ]上的投影，从而P 2 = T �T = QW �WQ = Q2。由命题4.33，平方根是唯一的，我们得到P = Q且WP = V P。所以 在ranP上W = V。又由 [ranP ]? = kerP = kerW = kerV; 所以在[ranP ]?W = V，从而V =W。 尽管这个正算子含于L(H )的每一个包含T的闭的自共轭子代数里，但相应的部分等距却不 对。考察例子，T = M'M 2 L(L2(T))，这里'T上的非负连续函数， 的模等于1不连续，但 他们的乘积' 连续。 在许多情形，极形分解中因子的次序改变是有用的。 4.40 推论 设T是Hilbert空间H上的算子，则存在正算子Q和部分等距W使得T = QW，且 当ranW = [kerQ]?时，分解是唯一的。 证明 由定理4.39我们得到部分等距V和正算子P使得T � = V P。取共轭可得T = PV �就得 我们需要的分解W = V �; Q = P。注意到ranW = [kerQ]?的充要条件是 kerV = kerW � = [ranW ]? = [kerQ]?? = kerP 从而唯一性也由定理4.39得到。 12 若T是有限维Hilbert空间上的正规算子，则T的特征子空间可以分解算子T为对角形。 若T不是正规的，则T的广义特征子空间可以分解算子T为准对角形，每一个广义特征子空间都 是T的不变子空间，T在这些广义特征子空间上不能再分解了。 尽管对无限维Hilbert空间没有类似结构的理论存在，不变字空间和空间分解的概念仍然是 重要的。 4.41定义设T是Hilbert空间H上的算子，M是H的闭子空间。若TM �M，则称M是T的 不变子空间；若还有T (M?) �M?，则称M是T的约化子空间。 我们将从下面的基本事实开始。 4.42 命题 设T是Hilbert空间H上的算子，M是H的闭子空间，PM是到M上的投影， 则M是T的不变子空间的充要条件是PMTPM = TPM，也等价于M?是T �的不变子空间。进一 步，M是T的约化子空间的充分必要条件是PMT = TPM，也等价于M是T; T �的分解子空间。 证明 若M是T的不变子空间，则对8f 2 H，我们有TPM f 2 M，从而PMTPM f = TPM f，即PMTPM = TPM。反过来，若PMTPM = TPM，则8f 2 M，我们有Tf = TPM f = PMTPM f = PMTf，于是Tf 2 M。所以TM � M，即M是T的不变子空间。 进一步，由于I � PM是M?上的投影，且等式 T �(I � PM ) = (I � PM )T �(I � PM ) 等价于PMT � = PMT �PM，因此M?是T �的不变子空间的充要条件是M是T的不变子空间。最 后，若M分解T，则由前面的结论得PMT = PMTPM = TPM。 4.43 在本章的剩下部分我们将把4.31节里定义在谱上的连续函数的函数演算扩展到更大的 函数代数上去。这个大的函数代数与谱上的有界Borel函数有关。 在开始之前，我们给出使用函数演算的一些说明，以及为什么我们我们对扩展到更大的函 数代数感兴趣。我们将略去这些讨论的细节。 设T是Hilbert空间H上的一个正规算子，它具有有限谱�(T ) = f�1; �2; � � � ; �Ng，且 记'! '(T )是对' 2 C(�(T )) 的函数演算。若�i 2 �(T )，则特征函数If�ig 2 C(�(T ))。记Ei = If�ig(T )，由于映射'! '(T )是C(�(T ))到CT上的��同构，知道Ei是投影且E1+E2+� � �+En = I。记Mi是Ei的值域，则fMigNi=1两两正交，它们生成空间H，且由命题4.42知Mi分解T。进 一步，由 T = z(T ) = " NX i=1 �iIf�ig # (T ) = NX i=1 �iEi 我们看到T在Mi上的作用就是由�i引导的数乘。于是空间H分解为有限个正交子空间的直和使 得T在每一个子空间上的作用是一个数乘。所以当T的谱是有限集时，函数演算使我们把T对角 化了。 若T的谱不是离散的，但是完全不连通的，则稍做修改前面的讨论可以得到H可以分解 成T的有限个约化子空间的直和，使得T在每一个子空间上的作用（按范数意义）近似等于数 乘。所以在这种情况下，T可以用对角算子逼近。 若T的谱是连通的，则这种逼近失效，因为C(�(T ))不包含非平凡的特征函数。因此，我们 要将函数演算扩展到由特征函数生成的函数代数上去。我们将通过考虑L(H ) 的更大的交换自 13 共轭子代数上的Gelfand变换来达到目的。这个代数将通过对CT取弱闭包来得到，因此我们通 过考虑L(H )的弱拓扑来开始。 4.13 强弱算子拓扑 4.44定义设H是Hilbert空间，L(H )是H上的算子代数。其上的弱算子拓扑是使对8f; g 2 H L(H )到C的函数T ! (Tf; h)连续的最弱拓扑。其上的强算子拓扑是使对8f 2H L(H )到H的 函数T ! Tf连续的最弱拓扑。 所以算子网fT�g�2A按弱（强）拓扑收敛到T是指 lim�2A(T�f; g) = (Tf; g);8f; g 2H (lim�2AT�f = Tf;8f 2H ) 显然弱算子拓扑弱于强算子拓扑，而强算子拓扑又弱于一致拓扑。我们在习题里给出了所有这 些拓扑都不等的例子。 下面引理给出了加法、数乘和共轭运算在弱算子拓扑下的连续性。对强算子拓扑的相应问 题留着习题。 4.45 引理 设H是Hilbert空间，A;B 2 L(H )，则下列函数都按弱算子拓扑连续： （1）� : L(H )� L(H )! L(H ); �(A;B) = A+B; （2）� : L(H )! L(H ); �(T ) = AT ; （3） : L(H )! L(H ); (T ) = TB; （4）� : L(H )! L(H ); �(T ) = T �。 证明 直接计算。 扩展的函数演算将基于C��代数按弱算子拓扑的闭包。 4.14 W*-代数 4.46 定义 设H是Hilbert空间，U � L(H )是H上的W ��代数是指U是C��代数且按弱算 子拓扑是闭的。 读者应该注意W ��代数是L(H )的按弱算子拓扑是闭的C��代数。特别的，一个W ��代数 是算子代数。但是，若�是L(H )的W � -代数U到L(H)的C�-代数B 的*-等距同构并不能推出B 在L(H )是弱闭的。我们不进一步讨论这个问题，有兴趣的读者可以参看[27]和[28]。 下面的命题提供了获得W ��代数的一种方法。 4.47 命题 设H是Hilbert空间，M是L(H )上的自共轭子代数，则M按弱算子拓扑的闭 包U是W ��代数，且M 可交换时U也可交换。 证明引理4.45立刻得到M按弱算子拓扑的闭包U是W ��代数。现设M可交换，fS�g�2A和fT�g�2B按 弱算子拓扑分别收敛到S; T，则对8f; g 2H ; � 2 B，我们有 (ST�f; g) = lim�2A(S�T�f; g) = lim�2A(T�S�f; g) = (T�Sf; g) 从而ST� = T�S，类似的计算可得ST = TS。从而M可交换时U也可交换。 14 4.48 推论 设H是Hilbert空间，T是H上的一个正规算子，则由T生成的W ��代数MT可交 换，若�T是MT的极大理想空间，则Gelfand变换是MT到C(�T )上的��的等距同构。 证明 由命题4.47和定理4.29立得结果。 4.15 L1-的等距同构 4.49 设T是可分Hilbert空间H上的一个正规算子，其谱� � C。我们要说明存在唯一 的��等距同构�� : MT ! L1 = L1(�)，该同构是4.31节的函数演算的扩展，即有下面的映射 交换图，其中竖直箭头表示包含映射。 � CT ! C(�) # # �� MT ! L1 所以对T的函数演算可以扩展到MT，且MT = f'(T ) : ' 2 L1g。 考虑下面说明性的例子，我们从一些测度论的预备知识开始。设�是复平面上的紧 集，�是�上的一个正的正则有限Borel测度，支集为� （这等价于假设C(�)到L1(�)的包 含映射是一个等距同构。）回忆对每一个' 2 L1(�)，我们定义L2(�)上的乘法算子M' : M'f = 'f，映射' ! M'是L1(�)到L(L2(�))的��等距同构。因此我们可以视L1(�)中的元素 为L(L2(�))的算子。 下面的命题给出了�; C(�); L1(�)和L(L2(�))之间的几种重要关系。首次使4.20的讲解完整 了。 4.50 命题 设(X;S; �)是一个概率空间，则L1(�)是L(L2(�))的极大AbelW ��代数。 证明 注意到4.19，只有L1(�)在L(L2(�))中的弱闭需要证明，而这又由命题4.47推出，这 是因为弱闭包是交换的因而等于L1(�)。 下面的结论将L1(�)上的弱算子拓扑与熟知的拓扑联系起来了。 4.51 命题 设(X;S ; �)是一个概率空间，则L1(�)上的弱算子拓扑和弱�拓扑相同。 证明 首先注意到f 2 L1(�)的充要条件是f = g�h，这里g; h 2 L1(�)。 从而L1(�)的网f'�g�2A弱�收敛于'的充要条件是 lim�2A Z X '�fd� = Z X 'fd� 这等价于 lim�2A (M'�g; h) = lim�2A Z X '�g�hd� = Z X 'g�hd� = (M'g; h) 从而等价于fM'�g�2A按弱算子拓扑收敛到M'。 下一命题说明L2(�)上由z引导的乘法算子所生成的W �-代数就是L1(�). 15 4.52命题设X是一个紧Hausdor�空间，�是其上的一个正的正则有限Borel测度，则C(X)的 单位球弱��稠于L1(X)的单位球。 证明 L1(X)的单位球里的简单阶梯函数 定义为 = Pni=1 �iIEi，其中j�ij � 1; i = 1; 2; � � � ; nfEigni=1两两不交，X = [ni=1Ei"i = 1; 2; � � � ; n，取Ei的紧子集Ki。由Tietz扩张定理 知存在' 2 C(X)使得jj'jj1 � 1且'(x) = �i; x 2 Ki。于是对f 2 L1(�)，我们有 j Z X f('� )d�j � Z X jf j j'� jd� = nX i=1 Z EinKi jf j j'� jd� � 2 nX i=1 Z EinKi jf jd�: 由于�是正则的，对f1; � � � ; fm 2 L1(�)及" > 0，存在紧集Ki � Ei使得Z EinK1 jfj jd� < " 2n ; j = 1; 2; � � �m 这就完成了证明。 4.53推论若X是一个紧Hausdo