nullnull第二章 解线性方程组的直接法
/* Direct Method for Solving Linear Systems */§1 高斯消元法 /* Gaussian Elimination */ 高斯消元法：null§1 Gaussian Elimination – The Method消元共进行 ？ 步n 1null回代No unique solution exists.What if we can’t find such k ?No unique solution exists.定理 若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。注：事实上，只要 A 非奇异，即 A1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。§1 Gaussian Elimination – The Methodnull 选主元消去法 /* Pivoting Strategies */用Gaussian Elimination计算：小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计算失败。§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategiesnull 完全主元消去法 /* Complete Pivoting */② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行;
If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列;③ 消元注：列交换改变了 xi 的顺序，须
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交换次序，解完后再换回来。 列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategiesnull例：注：列主元法没有全主元法稳定。§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategiesnull§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies实际应用中直接调用Gauss Elimination 解3阶线性方程组的结果：结合全主元消去后的结果：null 高斯-若当消去法 /* Gauss-Jordan Method */与 Gaussian Elimination 的主要区别： 每步不计算 mik ，而是先将当前主元 akk(k) 变为 1; 把 akk(k) 所在列的上、下元素全消为0;Hey! Isn’t it better than Gaussian Elimination?What makes you say so?Obviously we no longer need the backward substitution!You’d better wait till we go through the next section to draw your conclusion…§1 Gaussian Elimination – Gauss-Jordan Methodnull 运算量 /* Amount of Computation */§1 Gaussian Elimination – Amount of Computation由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 Gaussian Elimination:(n k) 次(n k)2 次(n k) 次1 次(n i +1) 次null§1 Gaussian Elimination – Amount of Computation Complete Pivoting: Partial Pivoting: Gauss-Jordan Method:nullMatlab程序Matlab程序function y=gauss(a,b,n)
n=length(a);
for i=k+1:n
a(i,k)=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j);
end
b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k);
end
end
nullx(n)=b(n)/a(n,n);
for k=n-1:-1:1
s=b(k);
for j=k+1:n
s=s-a(k,j)*x(j);
end
x(k)=s/a(k,k);
end
y=x;
null 输入数据:
a=[1 2 1 -3;2 5 0 -5;1 0 14 1;-3 -5 1 15];
b=[1;2;16;8]
gauss(a,b,n)
执行结果如下:
ans =
1 1 1 1
浙公网安备 33021202002483