1
第四节
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
初等函数的幂级数展开
第五章
二、函数展开成幂级数
三、函数幂级数展开式的应用
2
两类问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
: 在收敛域内
和函数 )(xSn
n
nxaå
¥
=0
幂级数
求和
展开
3
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
+= )()( 0xfxf +-¢ ))(( 00 xxxf 200 )(!2
)( xxxf -
¢¢
n
n
xx
n
xf )(
!
)(
0
0
)(
-++L )(xRn+
其中
=)(xRn ( x在 x与 x0之间)
称为拉格朗日余项 .
1
0
)1(
)(
!)1(
)( ++ -
+
n
n
xx
n
f x
则在若函数 0)( xxf 在 的某邻域内具有 n + 1 阶导数,
此式称为 f (x) 的 n阶泰勒
公式
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,
该邻域内有 :
4
+)( 0xf +-¢ ))(( 00 xxxf
2
0
0 )(
!2
)( xxxf -
¢¢
LL +-++ n
n
xx
n
xf )(
!
)(
0
0
)(
为f (x)的泰勒级数 .
则称
当x0 = 0时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
1) 对此级数, 它的收敛域是什么?
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
待解决的问题 :
若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 0)( xxf 在
5
定理1 .
各阶导数,
)( 0xU
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: .0)(lim =
¥®
xRn
n
证明
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: ,)(!
)()( 0
0
0
)(
n
n
n
xx
n
xfxf -= å
¥
=
令
)()()( 1 xRxSxf nn += +
=
¥®
)(lim xRnn
[ ])()(lim 1 xSxf nn +¥® - ,0= )( 0xx UÎ
k
n
k
k
n xxk
xfxS )(
!
)()( 0
0
0
)(
1 -= å
=
+
)( 0xx UÎ
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
6
定理2. 若 f (x) 能展成 x的幂级数, 则这种展开式是
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证:设 f (x) 所展成的幂级数为
),(,)( 2210 RRxxaxaxaaxf
n
n -Î+++++= LL
则
;2)( 121 LL ++++=¢
-n
n xnaxaaxf )0(1 fa ¢=
;)1(!2)( 22 LL +-++=¢¢
-n
n xannaxf )0(!2
1
2 fa ¢¢=
LL L
;!)()( L+= n
n anxf )0()(!
1 n
nn fa =
LL L
显然结论成立 .
)0(0 fa =
7
二、函数展开成幂级数
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数 )(xf
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(-R, R) 内 )(lim xRnn ¥® 是否为
骤如下 :
展开方法
直接展开法 —利用泰勒公式
间接展开法 —利用已知其级数展开式
0.
的函数展开
8
例1.将函数 xexf =)( 展开成 x的幂级数.
解: ,)()( xn exf =Q ),,1,0(1)0()( L== nf n
1
其收敛半径为 +¥=
对任何有限数 x , 其余项满足
)( =xRn
xe
!)1( +n
1+nx xe<
!)1(
1
+
+
n
x n
故 ,
!
1
!3
1
!2
11 32 LL ++++++= nx x
n
xxxe
¥®
=
n
R lim !
1
n !)1(
1
+n
¥®n 0
),( +¥-¥Îx
(x在0与x 之间)
x+ 2
!2
1 x+ 3
!3
1 x+ LL +++ nx
n!
1
故得级数
9
例2.将 xxf sin)( = 展开成 x的幂级数.
解: =)()( xf nQ
îí
ì=\ )0()(nf
得级数: x
)sin( 2
p×+ nx
其收敛半径为 ,+¥=R 对任何有限数 x , 其余项满足
)( =xRn
))1(sin( 2
px ++ n
!)1( +n
1+nx
!)1(
1
+
<
+
n
x n
12 += kn
),2,1,0( L=k
3
!3
1 x- +-+ L5!5
1 x L+- --
- 12
!)12(
11)1( nn
n x
),( ¥+-¥Îx
xsin\
¥®n 0
kn 2=
,)1( k-
,0
LL +-+-+-= --
- 12
!)12(
115
!5
13
!3
1 )1( nn
n xxxx
10
LL +-+-+-= - nn x
n
xxx 2142
!)2(
1)1(
!4
1
!2
11cos
类似可推出:
),( ¥+-¥Îx
),( ¥+-¥Îx
LL +
-
-+-+-= -- 12153
!)12(
1)1(
!5
1
!3
1sin nn x
n
xxxx
11
例3.将函数 mxxf )1()( += 展开成 x的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解:易求出 ,1)0( =f ,)0( mf =¢ ,)1()0( -=¢¢ mmf
LL ,)1()2)(1()0()( +---= nmmmmf n
于是得级数 ++ mx1 L+
- 2
!2
)1( xmm
由于
1
lim
+¥®
=
n
n
n a
aR
nm
n
n -
+=
¥®
1lim 1=
L
L ++--+ nx
n
nmmm
!
)1()1(
级数在开区间 (-1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m,
12
11,)( <<- xxF
L+- 2
!2
)1( xmm
L
L ++--+ nx
n
nmmm
!
)1()1(
[ ]LLL +
-
+--++-+=¢ -1
!)1(
)1()1(
1
11)( nx
n
nmmxmmxF
++= xmxF 1)(
)()1( xFx ¢+ ),(xmF=
mxxF )1()( +=
òò +=
¢ xx
x
x
mx
xF
xF
00
d
1
d
)(
)(
)1ln()0(ln)(ln xmFxF +=-
1)0( =F 推导
则
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为
13
L+- 2
!2
)1( xmm
L
L ++--+ nx
n
nmmm
!
)1()1(
++=+ xmx m 1)1(
)11( <<- x
称为二项展开式 .
说明:
(1) 在 x=±1处的收敛性与 m有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x的 m次多项式, 上式
就是代数学中的二项式定理.
由此得
14
对应 1,, 2
1
2
1 --=m 的二项展开式分别为
xx
2
111 +=+ 2
42
1 x
×
- 3
642
31 x
××
×+
)11( ££- x
L+
×××
××- 4
8642
531 x
1
1
1 =
+ x
2
42
31 x
×
×+ 3
642
531 x
××
××-
)11( £<- x
L-
×××
×××+ 4
8642
7531 xx
2
1-
1
1
1 =
+ x
2x+ 3x-
)11( <<- x
LL +-++ nn x)1(x-
)11(1
1
1 2 <<-+++++=
-
xxxx
x
n LL
15
2. 间接展开法
21
1
x+
=
- x1
1
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,
例4.将函数 展开成 x的幂级数.
解: 因为 LL +++++ nxxx 21 )11( <<- x
把 x换成 2x-
=
+ 21
1
x
LL +-+++- nn xxx 242 )1(1
)11( <<- x
, 得
将所给函数展开成幂级数.
( )xj-1
1
( ) ( ) ( )+++++= xxx njjj L21 ( ) 1
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示
原函数不能用初等例如函数
xx
xe x-
解法
逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数
定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数
27
( 取
例4.计算积分 的近似值, 精确到
)56419.01 »
p
解: 1
2
=-xe
!
)1(
2
0 n
x n
n
nå
¥
=
-= )( +¥<<-¥ x
xe x d2
2
2
1
0
-òp xd
2 21
0ò úû
ù
êë
é=
p !
)1(
2
0 n
x n
n
nå
¥
=
-
å
¥
=
-=
0 !
)1(2
n
n
np xx
n d2
0
2
1
ò
.10 4-
!1
)( 2x-+
!2
)( 22x-+ L+-+
!3
)( 32x
å
¥
=
×-=
0 !
)1(2
n
n
np 122
1
+n)12( +n
xe x d2 2
1 2
0ò
-
p
28
( )
!372
1
!252
1
32
111 642 ××
-
××
+
×
-»
p
L=-ò xde x
22
1
0
2
p
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
××
-
××
+
×
-= L
!372
1
!252
1
32
111 642p
nn nn
r 22)12(!
11
×+
<
p
410-<
42 102)12(! >×+× nnnp则 n应满足 4³n
xe x d2 2
1 2
0ò
-
p
则所求积分近似值为
欲使截断误差
5205.0»
,4=n取
29
例5.计算积分 x
x
x dsin
1
0ò 的近似值, 精确到 .10
4-
解:由于 ,1sinlim
0
=
® x
x
x
故所给积分不是反常积分.
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间
LL +
+
-++-+-=
!)12(
)1(
!7!5!3
1sin
2642
n
xxxx
x
x nn
x
x
x dsin
1
0ò 1= !33
1
×
- -
×
+
!55
1
LL +
+×+
-+
!)12()12(
)1(
nn
n
<3r
00167.005556.01 +-»
上连续, 且有幂级数展开式 :
!77
1
×
4103.0
35280
1 -´<=
9461.0»
30
例9 .
2!1
2
的和求 å
¥
=n
nn
n
解 ,
!
)(
1
2
n
n
x
n
nxs å
¥
=
=令 ),( +¥-¥
n
n
x
n
nnnxs å
¥
=
+-
=
1 !
)1()(Q n
n
n
n
x
n
x
n
nn åå
¥
=
¥
= -
+
-
=
11 )!1(
1
!
)1(
åå
¥
=
¥
=
+¢¢=
01
2
!
)
!
(
n
n
n
n
n
xx
n
xx
xx xeex +¢¢-= )1(2
,)1( xxe x +=
å
¥
=
\
1
2
2!n nn
n )
2
1(s=
2
1)1
2
1(2
1
+= e .
4
3 e=
31
P342 1 (1) , (3) ,
(4) , (5) , (6) ;
2;3; 4
作业