《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案

第一章 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 12 给定节点 0 1x = - ， 1 1x = ， 2 3x = ， 3 4x = ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） 3( ) 4 3 2f x x x= - + （2） （2） 4 3( ) 2f x x x= - 解 （1） (4) ( ) 0f x = ， 由拉格朗日插值余项得 (4) 0 1 2 3 ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) 0 4! ff x p x x x x x x x x xx- = - - - - = ； （2） (4) ( ) 4!f x = 由拉格朗日插值余项得 0 1 2 3 4!( ) ( ) ( )( )( )( ) 4! f x p x x x x x x x x x- = - - - - ( 1)( 1)( 3)( 4)x x x x= + - - - . 题 15 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：对于 ( )f x 以 0x ， 1x 为节点的一次插值多项式 ( )p x ，插值误差 0 1 2 1 0( )( ) ( ) max ( ) 8 x x x x xf x p x f x £ £ - ¢¢- £ . 证 由拉格朗日插值余项得 0 1 ( )( ) ( ) ( )( ) 2! ff x p x x x x xx ¢¢ - = - - ，其中 0 1x xx£ £ ， 0 1 0 1 0 1 max ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2! 2! x x x f xff x p x x x x x x x x xx £ £ ¢¢¢¢ - = - - £ - - 0 1 2 1 0( ) max ( ) 8 x x x x x f x £ £ - ¢¢£ . 题 22 采用下列方法构造满足条件 (0) (0) 0p p¢= = ， (1) (1) 1p p¢= = 的插值多项式 ( )p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件 (0) (0) 0p p¢= = ， (1) 1p = 的插值多项式 ( )p x . 解 （1）有四个插值条件，故设 2 3 0 1 2 3( )p x a a x a x a x= + + + ， 2 1 2 3( ) 2 3p x a a x a x¢ = + + ， 代入得方程组 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 1 0 2 3 1 a a a a a a a a a =ì ï + + + =ï í =ï ï + + =î 解之，得 0 1 2 3 0 0 2 1 a a a a =ì ï =ï í =ï ï = -î 2 3( ) 2p x x x\ = - ； （2）先求满足插值条件 (0) (0) 0p p¢= = ， (1) 1p = 的插值多项式 ( )p x ，由 0为二重零点， 可设 2( )p x ax= ，代入 (1) 1p = ，得 1a = ， 2( )p x x\ = ； 再求满足插值条件 (0) (0) 0p p¢= = ， (1) (1) 1p p¢= = 的插值多项式 ( )p x ，可设 2 2( ) ( 1)p x x bx x= + - ， 2( ) 2 2 ( 1)p x x bx x bx¢ = + - +Q ，代入 (1) 1p¢ = ，得 1b = - ， 2 2 2 3( ) ( 1) 2p x x x x x x\ = - - = - . 题 33 设分段多项式 3 2 3 2 0 1 ( ) 2 1 1 2 x x x S x x bx cx x ì + £ £ = í + + - £ £î 是以 0,1, 2为节点的三次样条 函数，试确定系数 ,b c的值. 解 由 (1) 2S = 得 2 1 2b c+ + - = ， 1b c\ + = ； 2 2 3 2 0 1 ( ) 6 2 1 2 x x xS x x bx c x ì + < < ¢ = í + + < <î ，由 (1) 5S ¢ = 得6 2 5b c+ + = ， 2 1b c\ + = - ； 联立两方程，得 2, 3b c= - = ， 且此时 6 2 0 1 ( ) 12 2 1 2 x x S x x b x + < <ì ¢¢ = í + < <î ， (1) 8 (1)S S- +¢¢ ¢¢= = ， ( )S x 是以0,1, 2为节点的三次样条函数. 题 35 用最小二乘法解下列超定方程组： 2 4 11 3 5 3 2 6 2 7 x y x y x y x y + =ì ï - =ï í + =ï ï + =î . 解 记残差的平方和为 2 2 2 2( , ) (2 4 11) (3 5 3) ( 2 6) (2 7)f x y x y x y x y x y= + - + - - + + - + + - 令 0 0 f x f y ¶ì =ï¶ï í¶ï = ¶ïî ，得 36 6 102 0 6 92 96 0 x y x y - - =ì í- + - =î ，解之得 830 273 113 91 x y ì =ïï í ï = ïî . 题 37 用最小二乘法求形如 2y a bx= + 的多项式，使与下列数据相拟合： x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 解 拟合曲线中的基函数为 0 ( ) 1xj = ， 2 0( )x xj = ， 其法方程组为 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) fa fb j j j j j j j j j j æ ö æ öæ ö =ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø ， 其中 0 0( , ) 5j j = ， 0 1 1 0( , ) ( , ) 5327j j j j= = ， 1 1( , ) 7277699j j = ， 0( , ) 271.4f j = ， 1( , ) 369321.5f j = ，解之得 532 0.9726 547 285 0.05 5696 a b ì = =ïï í ï = = ïî ， 20.9726 0.05y x\ = + . 第二章 题 3 确定下列求积公式中的待定 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 ，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有 的代数精度： （2） 1 0 1 20 1 1 3( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 f x dx A f A f A f» + +ò （2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发， 1 1 0 00 0 1 3( )( ) 22 4( ) 1 1 1 3 3( )( ) 4 2 4 4 x x A l x dx dx - - = = = - - ò ò ， 1 1 1 10 0 1 3( )( ) 14 4( ) 1 1 1 3 3( )( ) 2 4 2 4 x x A l x dx dx - - = = = - - - ò ò ， 1 1 2 20 0 1 1( )( ) 24 2( ) 3 1 3 1 3( )( ) 4 4 4 2 x x A l x dx dx - - = = = - - ò ò ， 1 0 2 1 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 2 3 4 f x dx f f f\ » - +ò ， 当 3( )f x x= 时，有 左边＝ 1 1 3 0 0 1( )d d 4 f x x x x= =ò ò ， 右边＝ 3 3 32 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 4 f f f- + = × - × + × = ， 左边＝右边， 当 4( )f x x= 时，有 左边＝ 1 1 4 0 0 1( )d d 5 f x x x x= =ò ò ， 右边＝ 4 4 42 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 37( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 2 3 4 3 4 3 2 3 4 192 f f f- + = × - × + × = ， 左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为 3. 题 8 已知数据 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf x 1.1 1.3 1.5 xe 3.0042 3.6693 4.4817 试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.5 1.1 xe dxò . 解 辛甫生法 1.5 1.1 xe dxò ( ) 1.5 1.1 3.0042 4 3.6693 4.4817 1.47754 6 - » + ´ + = ； 复化梯形法 1.5 1.1 xe dxò ( ) 0.2 3.0042 2 3.6693 4.4817 1.48245 2 » + ´ + = . 题 17 用三点高斯公式求下列积分值 1 20 4 1 dx x p = +ò . 解 先做变量代换，设 )( 1+ 2 1 = tx ， 则 1 20 4 d 1 x x+ò ＝ 1 1 21 12 4 1 8d d1 2 4 ( 1)1 ( 1) 4 t t tt - - × = + ++ + ò ò ( )2 2 2 5 8 8 8 5 8 9 9 94 0 13 34 1 4 1 5 5 » ´ + ´ + ´ + +æ ö æ ö + - + + +ç ÷ ç ÷ è ø è ø 3.141068= . 第三章 用欧拉方法求解初值问题 y ax b¢ = + ， (0) 0y = ： （1） 试导出近似解 ny 的显式表达式； 解 （1）其显示的 Euler格式为： 1 1 1 1 1( , ) ( )n n n n n ny y hf x y y h ax b- - - - -= + = + × + 故 1 2 2( )n n ny y h ax b- - -= + × + LL 1 0 0( )y y h ax b= + × + 将上组式子左右累加，得 0 0 2 1( )n n ny y ah x x x nhb- -= + + + + +L (0 2 ( 2) ( 1) )ah h h n h n h nhb= + + + - + - +L 2 ( 1) / 2ah n n nhb= - + 题 10 选取参数 p、 q，使下列差分格式具有二阶精度： 1 1 1 1( , ) n n n n y y hK K f x ph y qhK + = +ì í = + +î . 解 将 1K 在点 ( , )n nx y 处作一次泰勒展开，得 1 1( , )n nK f x ph y qhK= + + 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( )n n x n n y n nf x y phf x y qhK f x y O h= + + + ( )2 21 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h = + + + + + + 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )n n x n n n n y n nf x y phf x y qhf x y f x y O h= + + + 代入，得 ( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )n n n n x n n n n y n ny y h f x y phf x y qhf x y f x y O h+ = + + + + 2 2 3 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )n n n n x n n n n y n ny y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h+ = + + + + 而 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2n n n n n hy x y x h y x hy x y x O h+ ¢ ¢¢= + = + + + 2 3( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) 2n n n x n n n n y n n hy x hf x y x f x y x f x y x f x y x O hé ù= + + + +ë û 考虑其局部截断误差，设 ( )n ny y x= ，比较上两式，当 1 2 p = ， 1 2 q = 时， 3 1 1( ) ( )n ny x y O h+ +- = . 第四章 题 2 证明方程 1 cos 2 x x= 有且仅有一实根；试确定这样的区间 [ , ]a b ，使迭代过程 1 1 cos 2k k x x+ = 对一切 0 [ , ]x a bÎ 均收敛. 解 设 1( ) cos 2 f x x x= - ，则 ( )f x 在区间 ( , )-¥ +¥ 上连续， 且 1 1(0) cos 0 0 2 2 f = - = - < ， 1( ) cos 0 2 2 2 2 2 f p p p p= - = > ， 所以 ( )f x 在 [0, ] 2 p 上至少有一根； 又 1( ) 1 sin 0 2 f x x¢ = + > ，所以 ( )f x 单调递增，故 ( )f x 在 [0, ] 2 p 上仅有一根. 迭代过程 1 1 cos 2k k x x+ = ，其迭代函数为 1( ) cos 2 g x x= ， [0, ] 2 x p" Î ， 1 10 ( ) cos 2 2 2 g x x p£ = £ £ ， ( ) [0, ] 2 g x p\ Î ； 1( ) sin 2 g x x¢ = - ， 1( ) 1 2 g x¢ £ < ， 由压缩映像原理知 0 [0, ]2 x p" Î ， 1 1 cos 2k k x x+ = 均收敛. 注 这里取[ , ]a b 为区间 [0, ] 2 p ，也可取[ , ]a b 为区间 ( , )-¥ +¥ 等. 题 5 考察求解方程12 3 2cos 0x x- + = 的迭代法 1 24 cos 3k k x x+ = + （１） （１） 证明它对于任意初值 0x 均收敛； （２） 证明它具有线性收敛性； 证 （1）迭代函数为 2( ) 4 cos 3 g x x= + ， ( , )x" Î -¥ +¥ ， ( ) ( , )g x Î -¥ +¥ ； 又 2 2( ) sin 1 3 3 g x x¢ = - £ < ， 由压缩映像原理知 0x" ， 1 24 cos 3k k x x+ = + 均收敛； （2） * * *1 * 2lim ( ) sin 0 3 k k k x x g x x x x + ®¥ - ¢= = - ¹ - （否则，若 *sin 0x = ，则 * ,x m m Zp= Î ， 不满足方程），所以迭代 1 24 cos 3k k x x+ = + 具有线性收敛速度； 题 7 求方程 3 2 1 0x x- - = 在 0 1.5x = 附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间 [1.3,1.6]上均收敛： （１） （１） 改写方程为 2 11x x = + ，相应的迭代公式为 1 2 11k k x x+ = + ； （２） （２） 改写方程为 3 21x x= + ，相应的迭代公式为 23 1 1k kx x+ = + . 解 （1） 3 2 3 2 2 11 0 1 1x x x x x x - - = Û = + Û = + ，迭代公式为 1 2 11k k x x+ = + ， 其迭代函数为 2 1( ) 1g x x = + [1.3,1.6]x" Î ， 2 2 2 1 1 11.3 1.3906 1 1 1 1.5917 1.6 1.6 1.3x £ » + £ + £ + » < ， ( ) [1.3,1.6]g x\ Î ； 又 3 2( )g x x ¢ = - ， 3 3 3 2 2 2-0.9103= =-0.4883 1.3 1.6x - - - £ £ ， ( ) 0.9103 1g x¢ £ < ， 由大范围收敛定理知 0 [1.3,1.6]x" Î ， 1 2 11k k x x+ = + 均收敛； （2） 33 2 3 2 21 0 1 1x x x x x x- - = Û = + Û = + ，迭代公式为 23 1 1k kx x+ = + ， 其迭代函数为 3 2( ) 1g x x= + [1.3,1.6]x" Î ， 3 3 32 2 21.3 1.3908 1 1.3 1 1 1.6 1.5269 1.6x£ » + £ + £ + » < ， ( ) [1.3,1.6]g x\ Î ； 又 2 23 2( ) 3 (1 ) xg x x ¢ = + ， 3 3 2 2 23 3 2 2 2 2 1.60 = 0.4912 3 33 (1 ) 3 (2 ) x x x x x ´ £ £ £ = + ， ( ) 0.4912 1g x¢ £ < ， 由大范围收敛定理知 0 [1.3,1.6]x" Î ， 23 1 1k kx x+ = + 均收敛. 题 5 分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 3 2 5 2 4 2 5 11 x x x x x x x x x + - =ì ï - + =í ï + - = -î （2）其雅可比迭代格式为 ( 1) ( ) ( ) 1 2 3 ( 1) ( ) ( ) 2 1 3 ( 1) ( ) ( ) 3 1 2 2 5 3 5 12 2 2 11 2 1 5 5 5 k k k k k k k k k x x x x x x x x x + + + ì ï = - + ï ï = - + +í ï ï = + +ïî ，取初始向量 (0) 0 0 0 x æ ö ç ÷= ç ÷ ç ÷ è ø，迭代发散； 其高斯-塞德尔迭代格式为 ( 1) ( ) ( ) 1 2 3 ( 1) ( 1) ( ) 2 1 3 ( 1) ( 1) ( 1) 3 1 2 2 5 3 5 12 2 2 11 2 1 5 5 5 k k k k k k k k k x x x x x x x x x + + + + + + ì ï = - + ï ï = - + +í ï ï = + +ïî ，取初始向量 (0) 0 0 0 x æ ö ç ÷= ç ÷ ç ÷ è ø，迭代发 散. 第六章 题 2用主元消去法解下列方程组 ） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5 5 3 4 7 6 3 3 5 x x x x x x x x x + + =ì ï + + =í ï + + =î 解 （2）对其增广矩阵进行列主元消元得 2 3 5 5 3 4 7 6 3 4 7 6 3 4 7 6 3 4 7 6 2 3 5 5 0 1/ 3 1/ 3 1 0 5 / 3 2 / 3 3 1 3 3 5 1 3 3 5 0 5 / 3 2 / 3 3 0 1/ 3 1/ 3 1 æ ö æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷® ® ®ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø è ø 3 4 7 6 0 5 / 3 2 / 3 3 0 0 1/ 5 2 / 5 æ ö ç ÷® ç ÷ ç ÷ è ø 回代求解上三角方程组 1 2 3 2 3 3 3 4 7 6 5 2 3 3 3 1 2 5 5 x x x x x x ì ï + + = ï ï + =í ï ï =ïî 得 3 2 1 2 1 4 x x x =ì ï =í ï = -î ，所以 4 1 2 x -æ ö ç ÷= ç ÷ ç ÷ è ø .