关于球Bessel方程本征值问题的几个重要结果

2006正 安阳师范学院学报 3 关于球 Bessel方程本征值问题的几个重要结果 吕金城 ，原新生 (安阳师范学院 土木建筑工程系，河南 安阳 455002) [摘 要]主要讨论了球 Bessel方程在一般区间上的本征值问题，特别是方程在更为一般的第三边界条件下的本征 值问题 。首先说明了该问题是自共轭本征值问题，然后利用 自共轭本征值问题的性质，给出了该问题确定本征值的特征 方程和本征函数，并利用球 Bessel函数与半奇数阶 Bessel函数的关系计算了本征函数的模方。 [关键词]球 Bes~l方程；本征值问题 ；本征函数；模方 [中图分类号]0175．9 [文献标识码]A [文章编号]1671—5330{2006)02·0003—03 1 引言 在力学中，讨论球体在外力冲击下球体的位 移，例如，半径为 b的圆球，其外边界受法向冲击 载荷 (t)作用，使用 Green函数的方法对问题求 解，可以得到[0，b]区间上的一阶球 Bessel方程的 本征值问题⋯： d2R + dR +( 2一 )R ：0d d r r r 一 r 2 “ 一 R(0)：0 E(1一 ) dR+Y ：LR] = 0 然而，在讨论厚壁圆球在内外壁分别受法向 冲击载荷 。(t)、tit2(t)作用下的位移分析时，使 用 Green函数的方法对问题求解，可以得到更为 一 般的区间[。，b]上的一阶球 Bessel方程的本征 值问题 ： d2R + dE +( 一 ) ：0 d r 2 r dr 十 一 r2 n 一 [(1一 ) + ⋯ =0 [(1一 ) dR+2 r =-R] =0 球 Bessel方程在[。，b]上的第三边界条件的 本征值问题有非常重要的实际的物理意义。我们 知道，[0，b]上的本征值问题因为可以使用在球 心上的自然边界条件 l R(O)l< ∞，使得问题的 本征函数具有较为简单的形式l2 J。[。，b]上的本 征值问题尽管与[0，b]上的本征值问题的物理来 源是相同的，但由于不能使用类似[0，b]上的本 征值问题的自然边界条件，使得本征函数具有较 为复杂的形式，求解区间的变化则使问题求解的 复杂性大大增加。进一步地，Bessel方程阶的变化 也将使得问题的求解复杂化，尤其是在第三类边 界条件下，问题的求解变得相当困难，这是诸多文 献对此问题不加讨论的主要原因[ ]一[ 。 本文将研究如下定解问题： + +( 2一lf )R ： 0 (1) — +——了 + ^一— —— J代= LI dr一 ， ar r一 (。l dR+卢 1 R)，： ：0 (2) (。2 dR+卢2 ：0 (3)‘ 其中0<Ⅱ≤ r≤b<+∞，口l，口2异号，卢l，卢2同 号，n1， l不同时为零，nz， 不同时为零。文献 [2]一[4]讨论了[。，b]区间上 Bessel方程在第一 和第二类边界条件下的本征值问题，文献[6]虽 然讨论了[0，b]区间上第一和第二类边界条件的 本征值问题，但对于[。，b]上第三类边界条件下 的本征值问题，文献[6]并没有给出，其他文献也 未见给出。本文将首先说明问题是自共轭本征值 问题，然后利用自共轭本征值问题的性质，给出了 问题确定本征值的特征方程，得到了本征函数，并 利用球 Bessel函数与半奇数阶Bessel函数之间的 关系，计算了本征函数的模方。 2 引理 对于 Sturm—LiouviUe微分算符： ￡( )=一di p( ) ]+q( )y= P( ) (Ⅱ [收稿日期]2005—07—19 [作者简介]吕金城(1969一)，男，河南唐河人 ，安阳师范学院讲师，硕士 ，主要从事偏微分方程研究。 维普资讯 http://www.cqvip.com 4 安阳师范学院学报 2006焦 < <6) (4) 我们有如下引理： 引理 1：设 S—L问题的方程(4)定义在有限 区间(a，b)且 a，b均为常型端点，则方程在给定 边界条件： aly'(a ⋯ )+p ： l y (a Y b Y b 0 ㈦ 【 口2 ()+ 2()= 下的S—L问题是 自共轭本征值问题。其中0 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示本征函数。 由文献[6]： ；dr=[去( +丢r 一 m2 ；] (2。) 将 a，b代入(20)式，可得 b 2 r：[譬(襄+1)一 m2][yⅡ 一 J口 二 ^ 上^ jor．(a 6)] 一 [a，，Z l 、 p 、 ' jt+1)一 mZ][Yj m (~t )一 二 A ^ _，。Ym( )] (21) 另有公式： I= 2J ， I ( ) ( )l 应用公式(22)，有： [Y．Jm( )一J~rm(Xp)]： f (23) 由(16)，可得： 一 一 1⋯ ,24) pz 一— 万一 由(17)，并使用公式(22)，可得： ．，6= l_， ( i6)+P2J ( l6) L[ ] 二_ 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 2期 吕金城 ，原新生：关于球 Bessel方程本征值问题的几个重要结果 5 从而可得 ： ，' ， E LL )一JoL,(af6)]= (25) 将(23)和(25)代回(21)，立即可得(13)。 3 主要结论 根据以上的引理，我们可以得到如下主要的结论： 1)问题(1)一(3)是自共轭本征值问题。 将方程(1)改写为： 一 (r2 dR)+f(1+1) ： 2 r2R (26) 可知方程为 Sturm—Liouville型方程，且边界条件 (2)、(3)为常型端点的边界条件，由引理 1知问题 (1)一(3)为自共轭本征值问题，再由引理 2，可以 推知问题存在无穷多离散的实的非负本征值 (i = 1，2，⋯)，且本征函数系{R¨ (r)}(i=1，2，3， ⋯ )在 L [a，b]中构成完备的正交系。 2)问题(1)一(3)的本征值和本征函数 已知一阶球 Bessel方程(26)的通解为： (r)=锄 (Ar)+Bnf(Ar) (27) 其中 (^ r)与 nf(Ar)分别为第一类和第二类 f阶 球 Bessel函数。 将(27)代入到边界条件(2)和(3)，并令 h，： lz _ A ， h，： 1z _ _ 22 ，记： l Ot2 = ( 0)+hti~(aa)，na=An'l(Aa)+hi ( 。)㈣ Jb=Aj'l(Ab)+ ( 6)，nb=An'l(Ab)+h2 ( 。) (29) 可得以 A，B为待定系数的方程组： 4 +Bn。=0， 6+Bn6=0 (3O) 根据其有非零解的条件可得特征方程为： nb—jbn =0 (31) 特征方程(31)将给出无穷多正的实根 (i：1， 2，⋯)，并由此可得本征函数为： ． (r)= n (Air)一ionf( ，) (32) 3)本征函数的模方 本征函数的模方： r b Ij Ij。=I r2 (r； ，r)dr f 0 = I r [n (Ar)一jonf(Ar)]dr (33) 注意到：Jl( )=√丢，f+{( )， ( )=√丢 + ( )， 将以上两式应用于(28)和(29)并令：Pt=(ht一 ) =( )，．--f~ ： ： (34) 则(31)可以写为 ，6一 J。=0，此即为(19)。由 此可知，本征值问题(1)一(3)与本征值问题(12) 一 (13)有相同的本征值。 而(3．8)式可改写为： = 焘J [ ( )一 ym( )] (35) 上式积分已成为 ，n阶柱Bessel方程与边界条件： f： ：+p1 ～=0构成的本征值问题的本征 【(R +P2R)I，：6=0⋯⋯⋯ 一一⋯ 一 ⋯ 函数的模方，从而根据引理 3可知： = 蒜{[ (甓+1)一 m2 j l 2 Jb [譬(囊+1)一 m2][ (36) [参考文献] [1]纪多辙 ．圆球土样 Biot固结的级数解与 Mande1一Cryer 效应[J]．工程力学，2002，19(4)：24—29． [2]郭玉翠 ．数学物理方法 [M]．北京：北京邮电出版社， 2002，206—210． [3]梁昆淼 ．数学物理方法 [M]．北京：高等教育出版社， 1998，325—355． [4]王永成 ．数学物理方程[M]．北京：北京师范大学出版 社 ，2000，295—310． [5]刘式适，刘式达．特殊函数[M]．北 京：气象出版 社， 2002，461—471． [6]王载舆 ．数学物理方程及特殊函数[M]．北京：清华大 学出版社 ，1991，177—180． [7]陈守信，王术 ．数学物理方程[M]．开封：河南大学出版 社 ，2000，146—149． Some Results on the Problems of Eigenvalue for Spheric Bessel Equation LV Jin—cheng，YUAN Xin—sheng (Department of Civil Engineering，Anyang Teachers College，Anyang 455002，China) Abstract：Discuss the problems of eigenvalue ffJr spheric Besscl equation on general interval，specially，discuss the problem of eigenvMue of equation with the third boundary conditions．First，this paper explain that this problem is a self-conjugate eigenvalue problem，second， use the properties of self-conjugate eigenvalue problem，give its characteristic equation and its eigenfunction．use the relations between spheric Bes~l function and semi—odd order Bessel function ，we calculate the module square of eigenfunction． Key words：Spheric Bessel equation；Eigenvalue problem；Eigenfunction；Module spuare [责任编校：弘扬] 维普资讯 http://www.cqvip.com