矢量场的分布与其实际的源分布之间的关系

第十卷 第三期 ����年�月 天 津 理 工 学 院 学 报 �� � � ! � � ��� � ��� �� �� �� � � � � � � ! ∀ � � � � � � � � �� �� , � � � � � � � �二 ��� 矢量场的分布 与其实际的源分布之间的关系 陈练祥 ’ �天津理工学院电教中心 ��� �� �� 摘要 矢量场是由它的源所引起的 , 所 以场分布由源的分布所决定 � 本文试 图依据亥姆 霍兹定理 , 推导出整个场的分布与其所有实际的源分布之间的关系式� 关键词 分类号 场分布 源分布 � � �� � � � � � � � � � �� � � � 丫�� � � � � � � � � � � � 一� �� � � � �� 一 � � � � � �� � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � �� � � �� � � � � � � �� �� �� � � � �� �� � � � � �� � �� �� �一�� ��� �� � � � � � � �� �� ��� �� � � �� , �� � � , �� � �� � �� � ����� � ��� � � � � ��� � � � ��� � � � � � �������� ��� � � � � � �� �� ��� � � ��� � � � � �� � � ��� �� � �� ������� � ��� � � �� ��� � �� � ��� � � � � !∀ ∀ ������� � ��� � �� � �� � �� � � � �� � � � ��� � �� � �� � � ��� �� �� �� � � � � � � ��� �� � �� ��� ���� � ��� � �� � � � � ���� ��� ��� � 亥姆霍兹定理的数学表达式为 〔’〕 助一 �以共黔 �� 一 �二会笋�·」 · , ·「工卫橇暑二� � ·歹�亘蛊三�·」 ��� 上式中体积分区域 � 是矢量场厂区域范围内任意闭合曲面 � 所包围的体积 , 产是闭 合面 � 的外法 向单位矢 量 � 场点 万 是 在体积 � 内 , � � �万一 月是场点到源 点的距 收稿日期 � ����一� 一�� � �� 岁 , 男 , 讲师 · �� � 天 津 理 工 学 院 学 报 �� 卷 离 � 丫 � · 几乃 和 甲 � 又 八乃 分别是体积 � 内连续分布 的源和漩涡源 , 一 几乃 · 严和 八乃、 万分别是表面 � 上等效的源和漩涡源 � 因 �� �式 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 守‘ · 八乃 和 甲 ‘ 、 几乃 在 � 内连续 , 所取的体积 � 内若存在实际的面 源分布时 , � 体积内的场分布是不能直接采用 ��� 式的形式的 � 若任取的体积 � 内不存 在面源分布 , 因 �� 式的推导 中利用了 占函数的抽样特性 , 故 ��� 式也仅是适用于计 算 � 内各点的场矢量 , 若把场点移到体积 � 外 , 计算得到的场矢量为零 , 而体积 � 外实际 的场矢量是不一定 为零的 � 由于 �� 式 中的任意表面 � 一般不是物理表面 , 而是人为地 采取的一个计算表面 , 在此表面上一般并不存在真实的源 , 而在表面外却存在着实际的 源分布 , 我们是把表面外实际的源用表面上等效的源和漩涡源代替 � 即使 � 表面是物理 表面 , 但此表面外若还存在着实际的源分布时 , �� 式中 � 表面上的 一 双乃· ��� 和 几乃 � 厂仍是等效的源和漩涡源 , 而不是实际的面源分布 � 综合上述可知 , 一般而言 , 亥姆霍兹定理的数学表达式 �� 式并没有直接反映整个矢量场分布与其所有实际的源分 布之间的关系 � 但我们可依据它 , 结合实际情况 , 推导出这个关系式 � � 整个场区域内无真实面源分布的情况 � � � 设整个场区域局限于某空间区域内 , 若我们在应用 ��� 式时 , 所取的体积 � 个场区域 � 那么 , 体积 � 包含 了所有场点 � � 内因不存在面源分布 , 故 � 内的 甲‘ · 和 甲 � 八乃 连续 � 表面 � 是个物理面 , 此表面外又不存在源的分布 , 故 一 双乃 · 就是整 双门 厂 和几乃 又 严表示的是 � 表面上真实的源和漩涡源 � 这样 , �� 式便反映了此清况下整个 矢量场的分布与其所有实际的源分布之间的关系 � � � � 设 甲‘ · 八乃 和 甲 � 双乃 连续分布在有限空间区域内 , 几劝 在无限远处为零 � 此 情况在应用 � � 式时 , 若取 � 斗 二 , 则面积分项为零 , ��� 式变为 甲 � 八乃 �兀� ��� 月�气�甲���月劝一可守‘ · 几乃� 兀� 上式的 �一‘ , 故体积 � 包含了所有场点和全部场源 , 故 ��� 式反映的是无界情况下整 个矢量场的分布与其所有实际的源分布之间的关系 � � 整个场区域内有真实面源分布的情况 设场的体源和面源分布均在有限空间区域内 , 几劝 在无限远处为零 � 若全空 间可分 成 � 个场区 域 , 具有一般性 , 设各场区域之间均有分界面 , 在分界面上有实际的面源分 布 � 设第 �个场区域所占据的空 间为 � � , 其区域的场矢量记为只�劝 � 全部场区之间的分界 面可用 艺 、咨�“ ���· 、� 表示 · 我们设想把有面源分布的分界面看作一个有连续变化的体源分 布的薄层 夕 , �, 、 、, 代替 , 薄层 占据的空间记为 � , �� � 、, , 其区域的场矢量记为月�, 、 、��劝 · 则矢 量场八劝 与其源之间的关系式可采用 �� 式的形式 , 然后再令 夕 , �� � 、, � �, 便可得到一 � 期 陈练祥 � 矢量场的分布与其实际的源分布之间的关系 般情况下整个场分布与其所有实际的源分布之间的关系式 , 即 产��八劝二 一 � � �甲‘· 厂�乃 � 。 一 , 刀卜一 � 下 一 丫 艺 艺� 兀入 ���戈叮 � 们 甲 · 只�, , 、��乃 � 兀� 一�沙� � 甲“ 只(乃 , 大 月《;+ 、) (乃4兀R d T + 甲 x I)J一 】 , j] 一 J 艺 艺 lim 4 兀R 《; , 、)( 3 ) + 产 l †声 l † 川艺钊X甲+ (3) 式右端第二项可变为 7 · 月(, 、)(乃 4兀R d T ;一;十 人) 产 l † 一 7 艺 艺 lim 走一 1 从卜_ 妇 = 一 甲 2 2 h m l卜。 4 兀 一 勺‘ 碑 又 k 一 I 戈卜 幻 一 一 甲 艺 艺 lim ‘一 I 鱿卜 幻 l 0 4 兀 T川 + 妇 夕 l + 妇 f _ 「最 ‘ 、( 乃〕< 丫 ‘ . 1 一‘止匕匕二二一一一 l〔 L 入 」 责 · : ‘, + 、)(。 } d·;(;+ 、) 只‘, + * , ( 门 .R d了, , ( ; 十 、) 月 ! †产斗† +7 艺 X limk= I戈“一 妇 l。4 兀 { 「二/责· : ( ; + 、)‘乃」d一 , ( 4 )T l咬廿+ 麦, 淤l听为其中(4)式右端第一项中的S ‘ 分组成 , 在计算外法线指向 为包围‘ , 吸, 、 * , 的闭合曲面 , 穿过该闭合曲面的通量 由三部 《;+ 、, , 【第 i场区与第 (i丰k) 场区分界面的正法线单位矢 氰规 定 为 由第 ’ 场 区 指 向 第 ( ‘+ “) 场 区 }的 曲 面 “护 、) 的夕量吵 面 元 矢 量l一 。 、)dS ‘《, 、 、, 上的场矢量应为第 (i+ k ) 场区域的场矢量 , 记为汽;二 、) (l.’); 在计算外法 线指 向为卜乙;+、) ] 的曲面 、巾十 、) 的通量时 , 面元矢量 卜不(;+、) ]d : , 《; + 、 , 上的场矢量 应为第 i场区域的场矢量 , 记 为月(而; 而穿过由有限曲面 S ;(;+ * , 的周界与高 夕 ‘、, 、 、, 组 成的侧面的通量 , 因 夕 ( , 、 , 丹 0, 该侧面的通量应为零 · 故 (4) 式右端第一项可写成 一 甲 艺卜:、坪卜 。冰 、, 月(一 、)(门R 丽‘ , ( ; 十 、) 产 l †户 I J 、 I 、 l一软- 一 甲 艺 只 , 十 、)(乃 . R z叹(;, 、》d s ,‘;十 * ) 厂(乃 「 二 飞 〕一 · l 一 l 一 、 二 , 、 l d s . )入 L ‘ ’“‘ ’ J ’“ + “ , j输 产 l ‘ + - 一 甲 艺 「月 , + 、)(乃一 只(门」· 爪(;, 、) 4 兀R d s , 。; + 、) +S 产 l †厂 1 2 ! ‘ 卜艺一一 而(4) 式右端第二项经推导可知为零(参见附录 A ).则 (3) 式右端第二项可写成 · 天 津 理 工 学 院 学 报 10 卷 ”万一 1 ”产 一 甲 艺 一 舌 艺 lim 一 l 夕以J _ 走, 卜 , · 只;+*)(乃4兀RTr硬了 + 走) 户 l † 一 勺 ’了:咨1{ ‘ 气.+ k) l凡 +、)‘乃一 只‘乃 ’ d T ‘(; + 、) 不《, 十 * , 4 兀R d s , 。, + 、) ( 5 ) 二 _ . 「。 , , , ] 不 , _ . _ _ _ . _ _ _ 、 _ ,具中L 广 (, 十 * , ( ’ ‘ ’ ) 一 广才 ( 犷’月“ t(i+ ‘, 为界 曲气(了+ 、)上头际的得分币 · ( 3) 式右端第四项可写成 川 一 I J” 一 甲 x 艺 艺 lim 二 l 走! l 夕叹 一 妇 0丁:.**、 , / 又 月《, 、 、)(乃4兀R d T ..I吸I + k ) 川 一 I J ” 艺 艺 1im 牌 1 友一 1 留 ( _ 人. ’ l 。4 兀丁:(, 十 * , { 甲/· [罕」一’“· 月(了一‘乃}d一户l比呀」l一如一 】川一 J艺 艺= l 孟二 I l i m气l_ 人, ‘ XX7甲一一一一 才《, + k ) n 一 l 月护一 甲 x Z 艺 limI= I k二 1 夕以 , 一 们 ’ 。森丁 一 [罕]一、‘(, + 、) } , ‘责· : 、, 十 、)(乃」d·, ( , 十 、, ( 6 ) T i喊+ 青〕 与(4) 式右端第一项的演变相类似, ( 6) 式右端第一项可写成 , ”一 甲x 艺 l、 {: , 0森于、, 巾 + 们 「只(;、 、, (乃R 」xds“(, 十 、) X 一!l --J +S 产 l ‘产 l 记走 ”艺卜† 二 甲 x 艺 二二i_ 1 4冗 [ 只;+、)(乃R 二了 ._ z ;(;+ 、)d 万 ;(;+ k) 只(乃 RSt+人)「 」· [ 一 不(,一]d· ,《,一}产l‘+ = 甲x Z 污:丁、 . + 、 不( ;十 、) · 〔只;+、 , (乃一 只(乃」4兀R d s i( , 十 、) 而(6) 式右端第二项经推导可知为零(参见附录 B) . 则(3) 式右端第四项可写成 产 l †n刃一 甲 x 艺 n泛 lim 戈!卜 幻 ‘ 甲/x 只、;十 、)(乃4兀R d T , ( ; + k ) = 甲x 艺 :誉:{_.气。+ 们 不(了+ 、) · 「月;+、)(乃一 只(乃」4兀R d s , ( , 、 * ) ( 7 ) 其中嵘)^x 〔只, 十 、, (乃一 几rrs] 为界面S ‘(;+ 、, 上实际的漩涡源分布· 期 陈练祥: 矢量场的分布与其实际的源分布之间的关系 这样 , ( 3) 式可写成 双劝二 一 7 艺 { 甲‘· 厂(乃一dT一 甲 Z4 7T入 〔凡 +、)(乃一 斤司· 乙, 十 、) 4 兀R d s ;(, 、 、) 十S 月 ! †卜艺= + 7 x 7 ‘ 只(乃4兀R 产 l ‘川艺=1 S 户 l ‘n 了一 I nl 一 才 + 甲 万 艺i= 】 k 二 l 丁了 「 , , , , 飞l ;。, + * i x } 户‘;十 、、( r ‘ ) 一 户 ‘( r ‘ ) }—ds,4 兀入 ‘吸‘+ 人 ) ( 8 )其中 , 全部场源分布在有限空间区域内 , 八劝 在无限远处为零 . (8) 式就是一般情况下 , 整个矢量场几司 与其所有实际的源分布之间的关系式 , 其物理实质是所有的场区域内的实际的体源分布和所有的场区域之间分界面上的实际的面源分布都对矢量场几劝有贡献 .(8 ) 式为一般情况下的表达式.若整个场区域局限于某空间区域 T 内 , 而整个场区域内仅有真实的体源:i一 T , 5 1 ( i , 、) 一 S , 连续严Itl十分布 , 在包围体积 :k)一 爪只一 只凡十 、,的 闭合表面 S 有真实的面 源分布 , 则有= 0 , 那么 , ( 8 ) 式便变为 ( l) 式.又若 场区域:一 的 , 而整个场区域内无真实的面源分布 , 真实的源和漩涡源连续分布 又在有限空间区域内 , 那么 , 矢量场双劝的空间分布也是连续的 , 而且八劝在无 穷远处为零 , 很明显 , 此时 (8 ) 式便变为 (2) 式. 我们说 (8) 式对矢量场物理现象的分析是具有实际意义的 .如若我们研究有 m 个各 向同性 、 线性电介质分区充满全空间的静电场 , 当其电位移矢量仄劝 在无限远处为零 时 , 依据 (8 ) 式可得到矢量场仄劝 与其所有实际的源分布之间的关系为 仄弓= 一 甲 万 厂 动 · 万(乃 _ nI一 , ”卜 厂l一dT一 丫 五 五 lJ :, 4 ““ ‘ ,一 ‘一 ’ J · (卜 * , 「互 ‘十 、, ( 乃一 互(乃」· 严(, + * ) 4 兀R d s z一;+ * ) + 甲x 盯 守‘ 、 万(乃- ‘一一二-二二- - - - - d T4 兀入 (9 ) +S 产 l ‘m 一 ] 川 一 才 + 守 艺 艺i= I k= l 劝闷 「, , 一 , 〕l , ( ‘+ 、) x l 刀 ‘i + 、、( r ’ ) 一 刀 , ( r ’ ) l - - - - - - - - - - J = - - ‘- - ‘一-一一‘一~一 一一一一一- = L d S ‘ . . 4 兀人 ’气, + k ) 我们便可依据(9) 式推导出电位移矢量场仄劝仅与自由电荷分布有关的条件. 因7 · 互一 外 , , 故(9 )式右端第一项可写成 一 甲 艺 广 动 · 万(乃l一dT二J : 4 二入 一 甲 艺丁p。(乃4兀R 天 津 理 仁 学 院 学 报 10 卷 p , ( 乃 _ 二, - - - - 二二 d t 4 兀￡‘)入 八 ! 川艺引甲￡ 一 “。甲诚门一 :。。凰)(劝其中叫门 和风(劝 为各介质中 自由体电荷在真空介质中产生的电位和电场强度 依据静电场中介质分界耐勺边界条件可知「互, 十 、, ( 乃一 刃司· 乙;十 走, 一 o , 故 (9) 式右端第二项为零 . 又因 甲“ 互(乃- 可写成 甲/· [ ￡, (乃 · 耳(乃} 一 甲 ’￡;(乃 · 耳‘而, 贝”(9 , 式右端第三项 甲 ‘ 互(门 4兀 R d T = 甲 , x厂J川艺钊X甲 又若各介质界面为等位面 , 则l 项为零 . 这样 , ( 9) 式可变为 一 , . 0 『(一+ k ) 厂 甲飞.(乃x 厂(乃l—dTJ:4兀入· [ 互(;+、) (。 一 互(乃一 。, 故 (9) 式右端第四 厕。一 : 0、(。 · : · 盯甲‘。; (乃x 耳(门4兀R ( 1 0 ) 从上式我们可看 出 , 当各界面均为等位面 , 若 甲‘ x 互(乃一 甲飞 (而 ‘ 耳(乃- 各介质为均匀介质或各介质的介电系数 变化梯度均 与介质中的场强方向平行时 , O 时 , 即 ( 10 ) 式右端第二项为零 , 则有仄门 一 : ,、耳、( 劝, 即此时矢 量场仄门仅与 自由电荷分布有关12} 参 考 文 献 谢处方 、 浇克谨.电磁场与电磁波.高等教育出版社 , 1 9 8 7: 4 27 一43 1 陈练祥.静电场中的电位移矢量力权与自由电荷分布有关的条件.天津理工学院学报, l 9 9 2.( l) 期 陈练祥:矢量场的分布与其实际的源分布之间的关系 63 附录 A 产 l ‘ 1一叙艺 limk= l夕 i(, ‘、 卜艺甲 月 l ‘ l一叙艺 艺 lim 片 】 k = I 夕 内卜 幻 〔守‘责· : 。, 十 、, ( 乃}d·‘、, 十 、) 甲〔甲青· 月、, + 、)(门」‘: , ( , + 、 , 于7一 呈n 犷一 i 艺 艺I= 】 人= I 1 i m从几,一 们 .。欲十 、. { } 哈 刘凡 、)‘乃· [瓜*)‘乃 ’ 甲] , 责.‘+Td、l之eeJ+ 甲贪· 〔甲 · 只《, + * , ( 乃」+月.‘一 * ) (门 · 「甲 · 甲青」 (AI) =O, 故右端第l一R上 甲式的被积函数中 , 因月。+ 、)(门 仅是源点 坐标函数 , 又 甲 ‘ 一 、 三 、 四项均为零 为 (只《, 、 、)(乃 记为乃 「厂. 引甲喜L一 ’ 」 ’ R 运算时利用球面坐标 , 则上式右端被积函数的第二项可变 R一,-一“一一石”飞l「_ 0 . _ 1 0 _ 1 0= 一 l 户 _ -二二 十 广 、 == 二 十 广 二二二 , : —L 找 。I( ‘, I( 翻 ‘户 l( 5 l n 口 叙p 一〔一 ‘* F *箭+、)F ‘)箭+:S‘·“F ,赢」一 2 : ; : *分一 : , F 分一 不 F 。箭1石一F一1扩R.卫一R, 虱厂*声一声‘虱 厂· + 了 F 、 + 了 F明 切 一 : : , : 。弄-‘ ’ R - 、 F . R o F = j— 入 一 --二尸 ( A Z )则(A I) 式可写成 「二 ,贪· : ( , 一 ,‘乃」d一”{ 上04nim宁 艺 艺I= I k= l lim戈卜 妇 川 一 1 ”于一 艺 艺J一 1 炎一 气 卜 妇 、 。 1 厂 「厂 _ 、 ( 乃 · 冗 _ 厂 ‘ . , 、( 门]万址 ! } 3 -止上二二止‘一一-一一 R 一 -二止二二二一一一 Id T .4 “ J : 。 、 L R-’ 厂 」 上式的被积函数为有限值 , 而积分是对源点坐标进行的 , 因有面源分布的面积 S , ‘; + 、) 为有 限值 , 当 夕 ,《, + * , 书 o , T ,《, + * , 一 S ‘。;+ * , 夕 , 。;+ 、, 弓 o , 积分值为零 , 故上式为零 · · 天 津 理 工 学 院 学 报 10 卷 附录 B 一 甲x Z 艺 lim l 夕 ( , 云、 . 。 4 7t 丁〔:,责· : , , + 、 ,‘乃」d一T八, + k ) 月翻一 ‘ 艺 limk, l 夕 残 、 去, l 。 4 兀 , · l 甲青· 凡, + * ) ( 乃」d·‘《‘十 * )卜艺一一 TJt苦+ 麦) 阴 一 】m 一 = 艺 艺 limi盈 I k = l & 段 + 去) ’ l 。4 7r : 。, + * ) { 甲贪[甲 · 只(,一‘乃]一 只(,一‘乃〔甲 ’ ·〔月(矛+ * ) (乃· 守]咭一〔, 贵· 司:《, + 、)(乃}d下 ,( , 十 、) 月 ! 产 l ‘ ( B I ) 上式的被积函数中 , 因月(‘十 、)(乃仅是源点坐标的函数 , 并考虑到 时 , 守 · 甲责一 守2责一 。, 故第- 故 (B I) 式可写成 、 二 、 四项均为零 , 而第三项可写成 (A Z)式的形式 , 一 7 x Z 苦= l I n 一 艺 limk笠 I 夕网 、 ‘ , l 。4 兀 「守/贵· : (, 十 * )‘乃」‘一几l‘ 川 一 】阴一 = 艺 Z lim ‘夕残才十 士) l 二 。4 兀丁T, ( , + 介, 「厂‘ _ ‘ 、( 乃· 冗 _13‘二裂六一一一 R 一L R - 只《, + 、)(乃R 3 」dTi(;+、)一 0