空间直线拟合

北 京 印 刷 学 院 学 报 Jou rn al of Be ijin g In s t it u t e of P r in tin g 第 4 卷 第 2 期 1 9 9 6 V ol . 4 N o . 2 空 间 直 线 拟 合 二维平面的直线拟合可由最小二乘法解决 , 就是对测量点 (xi , y ‘) i ~ 1 , 2. · ·⋯n , 求使 Q - 至以 一 (。 + bx. )〕, 最小的 。 、 b , 从而确定最佳直线 y = 。 + bx 。这种方法假设测量点误差的产生只 在 y 方向 , 对 x 方向则认为是精确的 。故而 ,最佳直线成为在 y 方向误差平方和最小的直线 , 可实际 测量时却往往在 x 和 y 两个方向均存在误差 。此外 , 该公式还不能直接推广到三维空间直线的拟 合 。对其测得的空间点 (若 , yi , 长) i ~ 1 , 2. · ·⋯n , 则可认为存在 x , y , z 三个方向的误差 , 可用最佳平 方逼近概念去拟合三维空间直线 。 设任意直线方程为X 一 X 。 A y 一 y。 B Z 一 z0 C , 即当点 (希 , y ‘, zi ) 在该直线上时 , 满足xi 一 X 。 A 练边止福丛 ;当点(xt , yi, 二, 不在直线上时 , 则分别记其在 , 向、 , 向 、‘向的误差为、、、‘如 图 1 ) 。作为最佳直线 ,应考虑到三个方向的误差 。根据最佳平方逼近原理 , 最佳直线应满足 : 艺(峨 + 峨 + 峨) ~ m in 分析零件模型和采样过程 , 可知实际直线与拟合直线关系如图 2 所示 。 (1 ) 而按统计学观点 , 采集 实际曲线 最佳曲线 洲/ 采样点 图 l 图 2 收稿日期 : 19 9 6一0 5一3 1 的 n 个点可认为是从同一类数的无限大总体中抽取的一个子样 , 故而测量点随机分布在拟合直线 周 围。 假设各测量点相互独立 , 且不可能出现较大误差 ,那么测量点的分布应服从正态分布 。 具体 地说 , 溉量点在 x 、 y 、 z 方向的误差 气 、气 、 气服从正 态分布 , 即 助一 N (产 , 的 , 助 ~ N (产 , 的 , 勺 ~ N (产 ,的 。所以 , 最佳直线应满足 : 艺气 ~ o , 艺气2 i = 1 1 = 1 = O , 艺气 ~ O (2 ) 综上所述 , 我们在约束条件(1 ) (2 ) 下 , 求由点(xt , y ‘, 粉 ) i 一 1 , 2. · ·⋯ n 所定的最佳直线 。 设最佳拟合直线方向向量为 (a , 尹, y} , 且过点 (x0 , y 。 , z0 ) , 则直线方向可表为 : {x 一 x 。 , 夕 一 夕。 , z 一 局 } X {a 沂 , y } = 0 1 j k }_ 「。 _ _ _ 、 _ , , ‘ . _ _ . 、 1 寸土 「, , _ _ _ 、 _ / _ _ 、 : 寸 l一 L尸 、‘ 甸 / ‘ 、少 一 少。, J ‘ 门「 L ‘ 、去 一 孟O J 一 “ 、不 一 芯0’ 」 ]口 月 y } 一 一 二 一 x0 , 一 , 。 二 一 z0l + [a( , 一川 一 斑二 一 二0)j * 一 。 故而 , 有 {介 一 粉 一 Pz0 一 钒‘ A0 ‘” 庵Tx 一 aZ 一 yx0 一 az0 ‘ B0 Lay 一 脚 = ay 。 一 爪。皇 C 。 对于第 i个测量点 (共 , y ‘ , 气 ) , 则有 {成 一 瓶 一 式 + 气1 ‘” ITx ‘一 aZi 一 B 。 + 气 Lay ‘一 脚‘ = C0 + 气 气 , 、 ,气 分别是 (若 , 丛 , zi ) 在丸 y 、 z 向的误差 。方程组 ( I ) 减去 ( I ) , 得 (夕(z 一 各 ) 一 y(, 一 从) ~ ‘ ( , ) 代y(x 一 x J 一 a (z 一 长 ) ~ 肠 La (夕 一 从 ) 一 夕(x 一 若) = ‘s 方程组 ( l ) 对 i作和 , 有 一一一一一一影P(z 一 动 一 ) (, 一 劝〕 艺〔y( x 一 xi ) 一 a( z 一 zi )〕 ‘三[a (y 一 y ‘) 一 夕(x 一 xi )〕 化简可得 气 .艺司1一n, 。 、 、 1 二 , 。 Lp z 一 了y 少一 万 i之气p 长 一 了yi 少 - z 、 、 1 二 , . ,气了x 一 az 少一 万 i么气/ 毛 一 azi 少 1 吞- 一 乙肠凡 f= 1 。 、 1 吞 , 。 火ay 一 户x 少 一 万‘乌Lay ‘一 户毛少 1 二一 一 乙气3刀 亩~ 1 由约束条件(2 ) 艺气1 -‘~ 1 1芝气 一 艺气 ~= I f ~ 1 脚 一 粉 则得 ~ 生至 九 ‘~ 1(队 一 勺‘) ~ A0 7￡ 一 在乞 ~ 1 吞 z 、 万‘之、‘共 一 气 ) ~ B0 。 1 吞 , 。 ‘ 。 口) 一 户二 = 二 汤 气只夕‘一 p二‘少 = ‘。“ 叮. 1 由方程组( I ) f,1 ~ 两 一瓶 一 Ao 一 成 一 。‘一告‘氢(“ 一 。‘, 二 ‘氢峨一 ‘氢(队 一、 , ’ + ‘氢〔告‘氢(成 一、 , 〕2 2 杀 , 。 。 、 奋 , 。 、一 万‘乌、p粉 一 ‘从少 ’ ,之、p 粉 一 ‘yi 少 一 艺 (队 一 yyi ) 2 一 [ 艺 (成 一 勺‘) ] 2注留 1 二 , 。 . , 、 , l r 。吞 。 ~ ‘么气两 一 了yi ’“ 一 万 L代么zi 一 了 艺夕‘] 2 相类似 , 有 吞 , 。 、 , 1 尸、吞 吞 , , ~ 盛 气I价 一 “狡 , . 一 吮, Ll 乙 X ‘一 a 石肴」- 1. 1 几 1. 1 1~ 1 二 , 。 、 , 1 尸 吞 。一‘之Lay ‘一 Px ‘少“ 一 万 L气之yi 一 代艺xi 〕2~ 1 峨峨 .艺川。艺司 故 艺 (峪 + 盛 十 峨) ~ 艺峨 + 艺峨 + 蓦峨 ~ 艺 (斌, ‘一 海‘) 2 + 艺(azi 一 介‘) 2 + 艺(队 一瓶 )2i ~ 1 1= 1 一告[ (询‘一、) 2 + ‘“ 一瓜 , 2 + ‘豚 一肠‘, ’] ~ 护 乏必 + 尸艺对 一 Za月艺x 绮y ‘+ aZ 艺堵 + 产艺对 一 2‘任汪i气 + 产艺对 + 产艺必 一 2脚嗯夕两 一告[‘ (、) 2 + , ‘叙 , 2 一 2两‘勘‘+ “孰 , ’ + y2 ‘勘‘, ’一 2心孰 + 尸(艺zi ) 2 + 尹 (艺夕‘)2 一 2脚侣) ,孰] 一对 .艺司 ~ 矿 (艺对十 艺对 一 f~ 1 1~ 1 (为‘)2 + (孰) 2 n ) + 产 (艺对 + (趾i)’ + (艺, )2 、 . 。 _ . D 工艺x ‘为‘ - .—石一一一 少甲 ‘“尸 、一蕊- ~ 一 (艺二‘) 2 + (孰 ) 2 、—少n芝之‘夕‘)一y.艺司+ 产 (艺对 十+ 2ay( 竿 一二、 ) + 卿竿 一孙二 )利用牛顿 一 梯度最优化算法 , 以初始两点为始值 , 逐步迭代 , 直到满足所给精度 , 即可求得使 艺 (峨 + 峨 + 曦) 最小的王a0 , 风 , y0 } 。 将得到的毛a0 , 风 , y0 }代回 ,通过计算可得 2 9 Ao , B0 = 告‘氛(风二 一 、y ‘) 告‘氛(y0 。 一 、、 ) c0 l 吞 , ~ 百高、气yi 一 风希) 令 王 ~ 1 。—召艺‘月 _ 1 , y ~ . 二. ‘) ‘, 忿 ~,’ 则方程组孰l一摊 {脑 一 yo yo 一 Ao iT0x 。 一坚 一 B0 t ao yo 一 风x0 ~ C0 AoBoco ‘、矛 (l’。y0--P0。y0--P0 叮矛..且...、、‘‘砰‘矛....龟、 的增广矩阵 B ~ 一 y0 0 风 一 a0 O 一 y0 0 风 一 a0 0 ( 二‘ _a0巩 _ 、 一 几 气 O 一 气 竺一 九子{‘吁一咒] ao y 一 P ox ‘ 淤三汐 a0 夕一 风王 瓷、, 一 气‘a0y0一风 O 一 y0 风 风云一 y0 夕 一 风 0 O 气夕一 几王 一 气 气y0 _ 瓦~ y 一 a0 忿 a0叭百 0 0 0 故而 , 方程组( I ’)有无穷多解 . 把 Ao 、 B0 、c0 代入 ( I ‘) 求一个解 , 则 ( I ‘) 变为 风与 一 yo y。 ~ yo xo 一 ao zo ~ ao yo 一 风x0 ~ 告‘氛(风、 一 、y ‘) 告‘氛(y0 。 一 、、 ) 告‘氛(ao y ‘一 风二) 整理后为 P0( 崎 一 ‘妙) 一 y0( ny0 一 艺从 ) ~ 0 y0 (砚忿。 一 艺若 ) 一 a0 伽之。 一 乏粉 ) ~ ‘一 1 1一 1 a0 (”夕。 一 艺yi ) 一 风 (二。 一 艺若) ~ 容易得一解 摊文。一艺xi ~ O 一告‘氢xi 一青i氢劳 一告‘氛二 xoyozo jrlserse、eeeseeeel 故而 , 拟合直线过(x 。 , y0 , z0 ) , 方向向量为王a0 , 风 , y0 }。 用以上方法编制程序上机运行 , 再和二维平面最小二乘拟合直线方法计算的结果进行比较 : nnnnn lll 222 333 444 555 666 777 888 999 1000 1111 1 222 l333 1 444 XXXXX 一 0 . 555 0 . 000 0 . 10 222 0 . 19 666 0 。 3 0 555 0 . 3 9888 0 。 5 7000 0 。 5 000 0 。 6 9888 0 . 80 444 0 . 8 9555 1 . 0 0 222 l。 0 3000 一 1 . 000 yyyyy 一O , 555 0 . 000 0 . 2000 0 。 13 000 0 。 30 222 0 . 3 9555 0 。 5 0 444 0 . 5 9888 0 。 60 000 0 . 8 7 000 0 . 8 9888 1 。 0 0 555 1 . 2 0 222 一 1 . 000 气 ~ 0 . 0 平面最小二乘法结果 : 过点 (o , 0 . 0 0 5 1 ) , 直线方向余弦 : d x = 0 . 7 1 1 3 9 5 , d少 = 0 . 7 0 2 7 9 2 。 本方法计算结果 : 过点 (0 . 4 2 0 , 0 . 4 2 0 ) , 直线方向余弦 : d x ~ 0 . 7 0 9 4 9 6 , d少 = 0 . 7 0 4 7 1 0 通过比较可以看出 , 两种算法无精度差异 。 参考文献 [l 〕 〔美〕E · 雷宾诺维奇 . 实验导论 . 北京 :计t 出版社 , 1 9 82 . 98 〔幻 盛获 , 谢式干 , 潘承毅 . 概率论与数理统计 . 北京 :高等教育出版社 , 19 89 . 2“