解析几何新题型的解题技巧总结

----------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------第七讲解析几何新 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型的解题技巧【命题趋向】解析几何例命题趋势：注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】一．直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二．圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．【例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1．（2006年安徽卷）若抛物线y22px的焦点与椭圆x2y21的右焦点重合，则p的值为（）62A．2B．2C．4D．4考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆x2y21的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，则p4，故选D.2考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2．（2007年四川卷文)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于A.3B.4C.32D.42考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB的方程为yxb，由yx23x2xb30x1x21，进而可求出AB的中点yxb----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------M(1,1b)，又由M(1,1b)在直线xy0上可求出b1，2222∴x2x20，由弦长公式可求出AB112124(2)32．故选C例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆22xy1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则PFPFPFP4FPFPFPF____________.123567考查意图:本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.222解答过程：由椭圆xya5.251的方程知a25,16∴PFPFPFPFPFPFPF72a7a7535.12345672故填35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e＝c∈(0,1)(e越大则椭圆越扁);a(2)双曲线的离心率e＝c∈(1,＋∞)(e越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.a例4．（2007年全国卷）文（4）理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y21412124106610考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程：ec2,c4,所以a2,b212.故选(A).a小结:对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例5．（2006年广东卷）已知双曲线3x2y29,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（）A.2B.23C.2D.43考查意图:本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝c∈(1,＋∞)的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知a3,ca2b23923．考点4.求最大(小)值求最大(小)值,是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------例6．(2006年山东卷)已知抛物线2的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则22的最小值y=4x,过点P(4,0)y1+y2是.考查意图:本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为ykx4,k2x28x164x,k2x28k24x16k20,y2y24x1x248k24162132.12k2k2故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例7．（2007年广东卷文）在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆x2y2=1与圆Ca29的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程](1)设圆C的圆心为(m,n)则mn,解得m2,n222,n2.所求的圆的方程为(x2)2(y2)28(2)由已知可得2a10，a5．椭圆的方程为x2y2右焦点为F(4,0);251,9假设存在Q点222cos,222sin使QFOF,222cos2222sin24．4整理得sin3cos，代入sin221．22cos2122cos70,cos1228122221．得:10cos1010因此不存在符合题意的Q点.例8．（2007年安徽卷理）如图,曲线G的方程为y22x(y0).以原点为圆心，以t(t0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于A与点B.直线AB与x轴相交于点C.----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------（Ⅰ）求点（Ⅱ）设曲线A的横坐标G上点Da与点C的横坐标为的横坐标c的关系式；a2,求证：直线CD的斜率为定值.[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题的能力.[解答过程]（I）由题意知，A(a,2a).因为|OA|t,所以a22at2.由于t0,故有ta22a.（1）由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为xy1.ct又因点A在直线BC上，故有a2a1,ct将（1）代入上式，得a2a1,解得ca22(a2).a(a2)II）因为D(a22(a2))，所以直线CD的斜率为kCD2(a2)2(a2)2(a2)1，a2ca2(a22(a2))2(a2)所以直线CD的斜率为定值.22例9．已知椭圆E:x2y21(ab0)，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆Eab的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率e1之间满足ee11，求：（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.解答过程：（1）设A、B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12y121，x22y221，二式相减得：a2b2a2b2ky1y2(x1x)b222b21(1)1，ABx1x2(y1y2)a2a2kMN24222222，则ec2；所以a2b2(ac)，a2ca21a2(2c)2（2）椭圆E的右准线为x2c，双曲线的离心率e12，cce设P(x,y)是双曲线上任一点，则：|PM|(x2)2(y1)22，|x2c||x2c|两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------当c1时，双曲线方程为：(x2(y20，不合题意，舍去；2)1)当c3时，双曲线方程为：(x10)2(y1)232，即为所求.小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题：例10．(2006年山东卷）双曲线C与椭圆x2y21有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线.84(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当PQ1QA2QB，且128时，求Q点的坐标.3考查意图:本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为x2y21,a2b2由椭圆x2y21,求得两焦点为(2,0),(2,0)，84对于双曲线C:c2，又y3x为双曲线C的一条渐近线b3解得a21,b23，a双曲线C的方程为x2y213（Ⅱ）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程：ykx4,A(x,y)，B(x2,y2),则Q(4.11,0)kPQ1QA,(41(x14,4),y1).kk44x144(x)k1k1k1k441y1y11A(x1,y1)在双曲线C上，162(11)21610.k1116321161216k2k220.(16k2)123211616k20.33----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------同理有：(16k2)223221616k20.3若16k20,则直线l过顶点，不合题意.16k20,1,2是二次方程(16k2)x232x1616k20.的两根.312328,k24，此时0,k2.2163k所求Q的坐标为(2,0).解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程，ykx4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(4,0).kPQ1QA，Q分PA的比为1.由定比分点坐标公式得411x1x14(11)k1k1041y1y14111下同解法一解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：ykx4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(4,0).kPQ1QA2QB，(4,4)1(x14,y1)2(x24,y2).kkk41y12y2，14，24，y1y2又128，112,即3(y1y2)2y1y2.3y1y23将ykx4代入x2y21得(3k2)y224y483k20.33k20，否则l与渐近线平行.y1y224,y1y2483k2.3k23k23242483k2.k23k23k2Q(2,0).解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：ykx4，A(x,y),B(x,y),则Q(41122,0)kPQ1QA,(4,4)1(x14,y1).kk----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------4k4.同理4.114kx14kx24x1k12448.kx14kx243即2k2x1x25k(x1x2)80.（*）又ykx4x2y213消去y得(3k2)x28kx190.当3k20时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3k20.x1x28k由韦达定理有：k23x1x2193k2代入（*）式得k24,k2.所求Q点的坐标为(2,0).例11．（2007年江西卷理）设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2sin2θ＝λ．（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使OM·ON＝0,其中点O为坐标原点．[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．[解答过程]解法1：（1）在△PAB中，AB2，即22d12d222d1d2cos2，4(d1d2)24d1d2sin2，即dd244ddsin2212（常数），112点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a21的双曲线．方程为：x2y21．12）设M(x1，y1)，N(x2，y2)①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x1，M(11)，，N(1，1)在双曲线上．即11121015，因为01，所以51．122②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为yk(x1)．x2y21得：0，由(1)k2x22(1)k2x(1)(k2)1yk(x1)----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------由题意知：(1)k20，所以x1x22k2(1)，x1x2(1)(k2)．(1)k2(1)k2于是：y1y2k2(x11)(x21)k22．(1)k2因为OMON0，且M，N在双曲线右支上，所以x1x2y1y20k2(1)(1)2．2151x1x20211k223x1x202101由①②知，51≤2．23解法2：（1）同解法12）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)．①当xx1时，22，MB110121因为01，所以51；2②当x1x2时，x12y1211x0．kMNx22y22y0111又kMNkBEy0．所以(1)y0x0x0；22x01MN2MN22由∠MON22，由第二定义得12)2a2得x0y022e(xx2121x02x01(1)2x0．11所以(1)y02x022(1)x0(1)2．于是由(1)y02x02x0,得x0(1)2(1)y02x022(1)x0(1)2,23.因为x01，所以(1)21，又01，23解得：512．由①②知512．232≤3考点7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例12．设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为3，过点C(1,0)的直线交椭圆E于A、B两点，且3----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为3，故可设椭圆方程为2x23y2t(t0)，直线方程为myx1，3由2x23y2t得：(2m23)y24my2t0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，myx1y4m则y1y2①A2m23又CA2BC，故(x11,y1)2(1x2,y2)，即y12y2②Cox8m4mB由①②得：y1，y2，2m22m233则SAOB1|y1y2|6|m3|＝636，22m22|m|2|m|当m23，即m6时，AOB面积取最大值，22此时y1y2t32m2，即t10，23(2m22m23)2所以，直线方程为x6y10，椭圆方程为2x23y210.2小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例13．已知PA(x5,y)，PB(x5,y)，且|PA||PB|6，求|2x3y12|的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(5,0)，B(5,0)，因为|PA||PB|6，且|AB|256，所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为x2y21，令x3cos,y2sin，94则|2x3y12|＝|62cos()12|，4当cos()1时，|2x3y12|取最大值4当cos()1时，|2x3y12|取最小值41262，1262.小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点8利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例14．（2006年福建卷）已知椭圆x2y21的左焦点为F，2O为坐标原点.（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，yB----------------------------精品word文档值得下载值得拥有---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xlFGOA----------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）a22,b21,c1,F(1,0),l:x2.圆过点O、F，圆心M在直线x1上.2设M(1,t),则圆半径r(1)(2)3.222由OMr,得(1)2t23,22解得t2.所求圆的方程为(x1)2(y2)29.24II）设直线AB的方程为yk(x1)(k0),代入x2y21,整理得(12k2)x24k2x2k220.2直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),则x1x24k2,2k21AB的垂直平分线NG的方程为yy01(xx0).k令y0,得xGx0ky02k2k2k2112.2k212k212k2124k2k0,1xG0,2点G横坐标的取值范围为(1,0).2例15．已知双曲线C：x2y21(a0,b0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|a2b2成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，1）求证：PAOPPAFP；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程：（1）因|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，故|OA||OB|2a2，即A(a2,0)，|OF|cc直线l：yay(xc)，bDPOEFABx----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------由ya(xc)a2bP(ab，bxc,c)ya故：PA(0,ab),OP(a2,ab),FP(b2,ab)，ccccc则：PAOPa2b2PAFP，即PAOPPAFP；c2（或PA(OPFP)PA(PFPO)PAOF0，即PAOPPAFP）（2）由ya(xc)(b2a422a4a4c222)0，bb2)xb2cx(b2abb2x22y222aab(a4c2a2b2)由xx2b20得：b4a4b2c2a2a2e22e2.1b2a4b2（或由kDFkDOabb2c2a2a2e22e2）ba小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.例16．已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，（1）求点P(x,y)的轨迹C的方程；（2）若直线ykxm(m0)与曲线C交于A、B两点，D(0,1)，且|AD||BD|，试求m的取值范围.解答过程：（1）a3b＝(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b＝(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)(a3b)，故(a3b)(a3b)0，即(x3,3y)(x3,3y)x23y230，故P点的轨迹方程为x2y21.3ykxm得：(13k2)x26kmx3m230，（2）由3y23x2----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------设A(x1,y1),B(x2,y2)，A、B的中点为M(x0,y0)则(6km)24(13k2)(3m23)12(m213k2)0，x1x216km，x0x12x23km，y0kx0mm，3k213k213k2即A、B的中点为3km2,m2)，(3k3k11m13km则线段AB的垂直平分线为：y13k2(k)(x13k2)，将D(0,1)的坐标代入，化简得：4m3k21，则由m213k20得：m24m0，解之得m0或m4，4m3k21又4m3k211，所以m1，4故m的取值范围是(1,0)(4,).4小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点9利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例17．已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且ACBC0，|BC|2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使PCQ的平分线垂直于OA，是否总存在实数λ，使得PQλAB？请说明理由；解答过程：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立yC平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为x2y2OA1，不妨设C在x轴上方，x4b2BQP由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC||AC||OC|，又ACBC0ACOC，即OCA为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：b24，3----------------------------精品word文档值得下载值得拥有-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------精品word文档值得下载值得拥有----------------------------------------------即，椭圆方程为x23y21；44（2）假设总存在实数λ，使得PQλAB，即AB//PQ，由C(1,1)得B(1,1)，则kAB0(1)1，2(1)3若设CP：yk(x1)1，则CQ：yk(x1)1，x23y213k2)x23k2由44(16k(k1)x6k10，yk(x1)1由C(1,1)得x1是方程(13k2)x26k(k1)x3k26k10的一个根，由韦达定理得：xPxP13k26k1k代k得xQ3k26k112，以12，3k3k故kPQyPyQk(xPxQ)2k1，故AB//PQ，xPxQxPxQ3即总存在实数λ，使得PQλAB.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点10利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例18．设G、M分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B(0,a)(a0)，且GMAB，（1）求点C的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m过点(a,0)并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OPOQ0？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.xy解答过程：（1）设C(