平面几何精选--冷老师--(08[1][1].1.280) 题目部分

------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx平面几何精选--冷老师--(08[1][1].1.280)题目部分【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】AM=MB，l1∩l3=E,l1∩l4=F,l2∩l3=G,l2∩l4=H，EH∩AB=C，FG∩AB=D．求证：CM=MD．双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，内心为P，内切圆半径为r，OI=h．求证：EQ\F(1,R+h2)+EQ\F(1,R－h2)=EQ\F(1,r2)．设D、E、F分别为△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD与EF垂直相交于O，又DE、DF分别平分∠ADC,∠ADB，求证：OD平分∠BOC．已知△ABC，内心为I，圆C1与边AB、BC相切，圆C2过A、C，且C1与C2外切于点M．求证：∠AMC的平分线过I．△ABC和△PQR满足如下条件：A和P分别是线段QR和BC的中点，QR和BC是∠BAC和∠QPR的内角平分线．求证：AB+AC=PQ+PR．已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q≠A,B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D．证明CD平分线段QH．凸四边形ABCD的外接圆圆心为O，已知AC≠BD，且AC与BD交于E．若P为ABCD内部一点，且∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90．求证O、P、E三点共线．设⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过交点任作一条割线分别与两圆交于P、Q，两圆在P、Q处的切线交于R，直线BR交△O1O2B的外接圆于另一点S．求证RS等于△O1O2B的外接圆的直径．设P为△ABC的一个内点，PA、PB、PC分别交边BC、CA、AB于D、E、F．证明S△PAF+S△PBD+S△PCE=EQ\F(1,2)S△ABC成立当且仅当P至少位于△ABC的一条中线上．与等腰△ABC两腰AB和AC都相切的圆交边BC于点K和L，连结AK，交圆于另一点M，点P和Q分别是点K关于点B和C的对称点．证明△PMQ的外接圆与圆相切．已知⊙O与△ABC的外接圆、AB、AC均相切，切点分别为T、P、Q，I是PQ中点．证明I是△ABC的内心或旁心．△ABC的三个角平分线足分别为X、Y、Z，△XYZ的外接圆在AB、BC、CA上截出了三条线段．证明这三条线段中有两条的长度和等于另外一条的长度．△ABC的三个内点A1、B1、C1分别在从A、B、C引出的三条高线上．若S△ABC=S△ABC1+S△BCA1+S△CAB1，证明△A1B1C1的外接圆通过△ABC的垂心H．△ABC的中线AM交其内切圆于K和L．过K和L作BC的平行线，分别再次交于X、Y，AX与AY分别交BC于P、Q．证明BP=CQ．C、D为EQ\s\up6(⌒)\d\ba21()AB的三等分点C距A近，绕A旋转EQ\F(,3)后，点B、C分别成为B1、C1，AB1交C1D于F，E在∠B1BA平分线上，且DE=BD．证明△CEF为正三角形．设AH1、BH2、CH3是锐角△ABC的三条高线，△ABC的内切圆与边BC、CA、AB分别相切于点T1、T2、T3．设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3、H3H1、H1H2分别关于直线T2T3、T3T1、T1T2的对称直线．证明l1,l2,l3所确定的三角形，其顶点都在△ABC的内切圆上．证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．在锐角△ABC中，AD、BE、CF为三条高．证明△AEF、△BDF、△CDE的三条欧拉线交于一点，且此交点在△ABC的九点圆上．在四边形ABCD中，点E和F分别在边AD和BC上，且EQ\F(AE,ED)=EQ\F(BF,FC)，射线FE分别交线段BA和CD延长于S和T．求证△SAE、△SBF、△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点．点D、E、F分别在锐角△ABC的边BC、CA、AB上均不是端点，满足BC∥EF，D1是边BC上一点不同于B、D、C，过D1作D1E1∥DE，D1F1∥DF，分别交AC、AB两边于点E1、F1，连结E1F1，再在BC上方与A同侧作△PBC，使得△PBC∽△DEF，连结PD1．求证EF、E1F1、PD1三线共点．设锐角△ABC的外接圆为，过点B、C作的两条切线，相交于点P，连结AP交BC于点D，点E、F分别在边AC、AB上，使得DE∥BA，DF∥CA．1求证F、B、C、E四点共圆；2若记过F、B、C、E的圆的圆心为A1，类似定义B1、C1，则直线AA1、BB1、CC1三线共点．在梯形ABCD中，AB∥CD，梯形内部有两个圆1和2满足：圆1与三边DA、AB、BC相切，圆2与三边BC、CD、DA相切．令l1是过点A的异于直线AD的圆2的另一条切线，l2是过点C的异于直线CB的圆1的另一条切线．证明l1∥l2．△ABC内部有两点P、Q，AP、AQ分别交△ABC外接圆于A1、A2，直线A1A2当A1=A2时此直线为过A1的△ABC外接圆切线交直线BC于A3，类似定义B3、C3．证明A3、B3、C3三点共线．ABCD是等腰梯形，其中AD、BC为底，一个与AB、AC均相切的圆交BC于M、N，DM、DN与△BCD内切圆的交点，其中离D较近的分别记作X、Y．求证XY∥AD．已知△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．△ABC的内切圆⊙I切BC、CA、AB于D、E、F，AD与⊙I的另一个交点X，BX、CX分别交OI于P、Q．又记BC中点为M．若AX=XD，求证：1FD∥EQ；2AD、EP、FQ三线共点；3EQ\F(BX,CX)=EQ\F(BI,CI)；4X、I、M三点共线．点P为△ABC的外接圆上EQ\s\up6(⌒)\d\ba21()BC不含A上的动点．I1、I2分别为△PAB、△PAC的内心．求证：1△PI1I2的外接圆过定点；2以I1I2为直径的圆过定点；3I1I2的中点在定圆上．△ABC中，点A关于BC的对称点为D，类似定义E、F．设△ABC外心为O，垂心为H，外接圆半径为R．求证D、E、F三点共线OH=2R．AB为圆的直径，直线l切⊙于A．C、M、D在l上满足CM=DM，又设BC、BD交⊙于P、Q，⊙切线PR、QR交于R．求证R在BM上．ABCD为圆内接四边形，AB∩CD=E，AC∩BD=F．又△AFD与△BFC的外接圆交于F、H．求证∠EHF=90．△ABC中，⊙I1,⊙I2,⊙I3分别是∠A,∠B,∠C所对的旁切圆，I、G是△ABC的内心、重心．求证⊙I1,⊙I2,⊙I3的根心在IG上．锐角△ABC中，AB≠AC，H为垂心，M为BC中点．D、E分别在AB、AC上，且AE=AD，D、H、E三点共线．求证HM平行于△ABC、△ADE的外心连线．设△ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明，若QR=ST，则PQ=UT．圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P、Q两点，O是公共弦PQ的中点，过P任做两条割线AB和CDAB,CD均不与PQ重合，点A、C在圆O1上，点B、D在圆O2上，连结AD、BC，点M、N分别是AD、BC的中点，已知O1、O2不在两圆公共部分内，点M、N均不与点O重合．求证M、N、O三点共线．在△ABC中，I为内心，延长AI、BI、CI交对边于D、E、F，连DF、DE交BI、CI于G、HAB≠AC．求E、F、G、H四点共圆的充要条件．已知四边形ABCD外切于圆，直线AB、CD相交于O，圆1,2与AB、CD都相切，并且圆1与BC相切于K，圆2与AD相切于L．已知O、K、L三点共线，求证BC中点、AD中点及圆圆心三点共线．如图，在锐角△ABC中，高AA1与CC1交于垂心H，AA1与CC1所夹锐角的平分线分别交BA、BC于P、Q，垂心H与AC中点的连线与∠ABC的平分线相交于R．求证P、B、Q、R四点共圆．已知圆⊙O1与⊙O2外切于点T，一直线与⊙O2相切于点X，与⊙O1交于点A、B，且B点在线段AX的内部，直线XT与⊙O1交于另一点S，C是不包含点A、B的EQ\s\up6(⌒)\d\ba21()TS上的一点，过点C作⊙O2的切线，切点为Y，且线段CY与线段ST不相交，直线SC与XY交于点I．证明I是△ABC的∠A内的旁切圆的圆心．四边形ABCD既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K，∠B和∠C的外角平分线相交于点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明，直线KK、LL、MM、NN经过同一个点．两圆⊙O1,⊙O2相外切于点M，⊙O2半径大于⊙O1的半径，点A是⊙O2上的一点，且满足O1、O2和A三点不共线，AB、AC是点A到⊙O1的切线，切点分别为B、C，直线MB、MC与⊙O2另一个交点分别为E、F，点D是线段EF和⊙O2以A为切点的切线的交点．证明，当点A在⊙O2上移动且保持O1、O2和A三点不共线时，点D沿一条固定直线移动．设P是△ABC内的一个点，直线AP、BP、CP与边BC、CA、AB分别交于点D、E、F．现设分别以BC和AD为直径的圆交于点L和L，分别以CA和BE为直径的两圆交于点M和M，分别以AB和CF为直径的圆交于点N和N．求证L、L、M、M、N、N共圆．证明△ABC的费尔马点、拿破仑点、外心三点共线．⊙O1与⊙O2内切于D，AB、AC与⊙O2相切，I为△ABC内心，P为EQ\s\up6(⌒)\d\ba21()BC中点．证明P、I、D三点共线．锐角△ABC中，以BC为直径作⊙O1，⊙A1与AB、AC相切且外切⊙O1于点A2，类似定义B2、C2．证明AA2、BB2、CC2三线共点．设上题中三线共于点P，证明，O、I、P三点共线，其中O为外心．△ABC外接圆为⊙O，延长中线AD交⊙O于A2，过D作AO垂线，与点A2的切线交于A3，类似定义B3、C3．证明A3、B3、C3三点共线．四边形ABCD内接于⊙O，AC>BD，延长AB、DC交于E，延长AD、BC交于F，M、N分别为AC、BD中点．求证EQ\F(MN,EF)=EQ\F(1,2)EQ\F(AC,BD)－EQ\F(BD,AC)．如图，A、C、E为直线上三点，B、D、F为另一直线上三点，直线AB、CD、EF分别和DE、FA、BC相交．证明交点L、M、N三点共线．设六边形ABCDEF有内切圆，证明AD、BE、CF三线共点．在平行六边形ABCDEF中，AC、BD、CE、DF、EA、FB围成六边形OPQRST．证明OR、PS、QT三线共点．在△A1A2A3的形外作△O1A2A3、△O2A3A1、△O3A1A2使：i∠O1A2A3=,∠O1A3A2=，+<EQ\F(,2)；ii∠A1O3A2=2,O3A1=O3A2；iii∠A3O2A1=2,O2A1=O2A3．证明O1A1⊥O2O3．设M为△ABC所在平面上一点，H、R分别为△ABC的垂心、外接圆半径．求证S=minMA3+MB3+MC3－EQ\F(3,2)R·MH2．ABCD为圆内接四边形，E为平面上一点，E到AB、BC、CD、DA、AC、BD垂足为M、N、P、Q、R、S．证明MP、NQ、RS中点共线．ABCD内接于圆，M1、M2、M3分别为AB、BC、CD中点，AM3∩DM1=P，已知AB、CD、PM2三线共点，设BP、CP分别交圆于另一点X、Y．求证XY∥AD．△ABC三边长为a,b,c，内心为I，与A相对的旁切圆切BC于A1，B1、C1类似定义．设N为AA1、BB1、CC1的交点，r为内切圆半径．求证IN=ra+b=3c或b+c=3a或a+c=3b．ABCD内接于圆，AB∩CD=E，AD∩BC=F，M、N为AC、BD中点，已知AC=a,BD=b，求EQ\F(MN,EF)．设⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作一割线交两圆于P、Q．两圆在P、Q处的切线交于R，BR交△O1O2B外接圆于S．求证RS等于△O1O2B外接圆直径．△ABC内心为I，圆Oa过B、C且与圆I直交，类似定义圆Ob,圆Oc．圆Oa与圆Ob相交于另一点C，类似定义B、A．证明△ABC外接圆半径为△ABC内切圆⊙I半径的EQ\F(1,2)．△ABC内切圆分别切边BC、CA、AB于A1、B1、C1，三条高线AA2、BB2、CC2的垂足分别为A2、B2、C2．A0、B0、C0分别为AA2、BB2、CC2中点．证明A1A0、B1B0、C1C0三线共点．两圆⊙A及⊙C相交于B、D两点，⊙O内切⊙A于E，内切⊙C于F，过D作⊙O的两切线DH、DG，设△DHE、△DHB、△DHF外心依次为O1、O2、O3．求证O1、O2、O3三点共线且O1O2=O2O3．锐角△A1A2A3中，AiHi是高线，内切圆切三边于P1,P2,P3，Ti在线段HiHi+1上记H4=H1，且HiTi=HiPi．求证PiTiPi+1i=1,2,3的外接圆共点．已知平面上不共线的三点A、B、C构成锐角三角形，试只用圆规作出过此三点的圆．PAB、PDC是圆的割线，PEF也是，PEF交BC、AD于I、J如图．求证EQ\F(1,PE)+EQ\F(1,PF)=EQ\F(1,PI)+EQ\F(1,PJ)．锐角△ABC中，N为△ABC的九点圆圆心，N为N的等角共轭点，O为△ABC外心．OA中垂线交BC于A，类似定义B、C．证明A、B、C共线于l且l⊥ON．设凸四边形ABCD的两组对边所在直线交于E、F两点，两条对角线的交点为P，过P作PO⊥EF=O．求证∠BOC=∠AOD．已知⊙O1与⊙O2外切于点T，一直线与⊙O2相切于点X，与⊙O1交于点A、B，且点B在线段AX的内部，直线XT与⊙O1交于另一点S，C是不包含点A、B的EQ\s\up6(⌒)\d\ba21()TS上的一点，过点C作⊙O2的切线，切点为Y，且线段CY与线段ST不相交，直线SC与XY交于点I．证明：1C、T、I、Y四点共圆；2I是△ABC的∠A内的旁切圆的圆心．设D、E、F分别是△ABC边BC、CA、AB上的内点，并且△AEF、△BFD与△CDE的内切圆半径都等于△ABC内切圆半径的一半．证明D、E、F恰为△ABC各边中点．圆O、圆I分别是△ABC的外接圆和内切圆，圆O半径为R，圆I半径为r，圆I分别切AB、AC、BC于点F、E、D，若M为△DEF的重心，试求EQ\F(IM,OM)的值其中R≠2r．过△ABC的顶点B、C的一圆与边AB、AC分别交于B1、C1，△ABC与△AB1C1的垂心分别为H1、H2．求证BB1、CC1、HH1三线共点．设P为BB1和CC1的交点．设A0,A1,…,A5是圆周上顺序排列的六个点，对于k=0,1,2，过点A2k作平行于直线A2k+2A2k+4的直线，交圆于A2k，直线A2kA2k+3与A2k+2A2k+4交于点A2k+3．如果直线A2kA2k+2k=0,1,2三线共点，证明，直线A2kA2k+3k=0,1,2也三线共点．点K是△ABC的塞瓦线AD的点，点X在线段KC上，使得∠ABK=∠XBC．现知KX·BD=CX·CD．证明∠BAX=∠BCX．如图，点P、Q是△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，点P关于直线BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，连接QU、QV、QW分别与直线BC、CA、AB交于点D、E、F．求证：1U、V、W三点共线；2D、E、F三点共线．凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心．求证PQ⊥RS．已知E、F是△ABC两边AB、AC的中点，CM、BN是AB、AC边上的高，连线EF、MN相交于P点．又设O、H分别是△ABC的外心和垂心，连接AP、OH．求证AP⊥OH．设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证S、T、U、H四点共圆．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心，记△ABC的九点圆圆心为Ni，作OE⊥BC=E．求证NiE∥AD．设△ABC的边AB中点为N，∠A>∠B，D是射线AC上一点，满足CD=BC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC同侧，满足∠PBC=∠A，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T．求 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式EQ\F(BC,TC)－EQ\F(EA,EB)的值．△ABC中，BD和CE为高，CG和BF为角平分线，I是内心，O为外心．求证D、I、E三点共线G、O、F三点共线．△ABC中，∠A,∠B为锐角，CD为高，O1、O2分别为△ACD和△BCD内心．问，△ABC满足怎样的充要条件，使得A、B、O1、O2四点共圆．△ABC的外心是O，三条高线AH、BK、CL垂足分别为H、K、L．A0、B0、C0分别是AH、BK、CL中点，I为内切圆圆心，内切圆切△ABC三边BC、CA、AB于D、E、F．证明A0D、B0E、C0F、OI四线共点．已知△ABC，过点B、C的⊙O与AC、AB分别交于点D、E，BD与CE交于F，直线OF与△ABC外接圆交于P．证明，△PBD的内心就是△PCE的内心．设A、B为圆上两点，X为在A和B处切线的交点，在圆上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆．凸四边形ABCD的一组对边BA和CD的延长线交于M，且AP不平行于BC，过M作截线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于H、L．求证EQ\F(1,MH)+EQ\F(1,ML)=EQ\F(1,MH)+EQ\F(1,ML)．P为△ABC内任意一点，AP、BP、CP的延长线交对边BC、CA、AB于点D、E、F，EF交AD于Q．试证PQ≤3－2EQ\R(2)AD．设P为锐角△ABC内部一点，且满足条件PA·PB·AB+PB·PC·BC+PC·PA·CA=AB·AC·BC，试确定P点的几何位置，并证明你的结论．□ABCD对角线相交于点O，圆以O为圆心，与线段AD、CD分别交于E、F，AB的延长线与交于H，CB的延长线与交于G．设K是EG与FH的交点．S是AG与CH的交点．求证D、K、S三点共线．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB与CD相交于点P，AD与BC交于点Q，对角线AC、BD的交点为R，且OR与PQ交于点K．求证∠AKD=∠BKC．圆外切四边形ABCD对边AB与CD交于点F，AD与BC交于点E，设CC1⊥BF=C1，EE1⊥BF=E1，AA1⊥BC，FF1⊥BC．证明：1△BC1F1与△BA1E1有相同的内心I；2设BB1⊥CF=B1，BB2⊥AE=B2，△B1F1C的内心为I1，△B2A1C的内心为I2，则I、O、I1、I2四点共圆．定直线l1,l2交于点O，A为l2上定点，射线OP上一动点M，设圆过OM，且圆心K在MA上，过A作MA的垂线交圆于E、F，交射线OP于M1，在OP的反向延长线上取N使ON=OM1，当M运动时，证明△NEF的外接圆过定点．△ABC中，AA⊥BC=A,BB⊥AC=B,CC⊥AB=C．证明△ABC、△BCA、△CAB的欧拉线交于△ABC的九点圆上同一点P．给定锐角△ABC，过A作BC的垂线，垂足为D，记△ABC的垂心为H，在△ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交△APD的外接圆于Q．求Q点的轨迹．凸四边形ABCD，⊙O1过AB且与CD相切，⊙O2过CD且与AB相切，⊙O1和⊙O2交于E、F．证明，若BC∥AD，则EF、AC、BD三线共点．设点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线，切点分别为B、C，⊙O的切线l与AB、AC分别交于P、Q，过点P且平行于AC的直线与BC交于点R．证明，无论l如何变化，QR恒过一定点．△ABC内心为I，A对应的旁心为Ia，IIa分别交BC、⊙ABC于A、M，N为EQ\s\up6(⌒)\d\ba28()ABM的中点，NI、NIa分别交⊙ABC于S、T．求证S、A、T三点共线．设△ABC内切圆与BC、CA、AB相切于D、E、F，一圆与△ABC内切圆切于D，并与△ABC外接圆切于K，点M、N类似定义．求证DK、EM、FN相交于△DEF的欧拉线上．已知圆内接四边形ABCD，求证|AB－CD|+|AD－BC|≥2|AC－BD|．设△ABC是非等腰的锐角三角形，O、H是△ABC的外心和垂心，⊙O是其外接圆，lA、lB、lC是⊙O在A、B、C处的切线，过H作OH的垂线l分别交lA、lB、lC于A1、B1、C1，A1关于A的对称点为A2，类似定义B2、C2．求证A2、B2、C2三点共线．P是正△ABC内一点，证明|∠PAB－∠PAC|≥|∠PBC－∠PCB|．圆内接四边形ABCD内有一点P满足∠APD=∠ABP+∠DCP．P在AB,BC,CD上射影为E、F、G．证明△EFG∽△APD．设凸四边形ABCD外切于⊙O，圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．设D、E、F分别是△ABC内切圆与三边的切点，Q为过DE、EF、FD中点圆圆心，求证△ABC内心、外心、Q三点共线．平面上给定三点A、B、C，动点D使A、B、C、D共圆，IA、IB、IC、ID分别是A、B、C、D关于△BCD、△ACD、△ABD、△ABC西姆松线，当点D移动时，求IA、IB、IC、ID交点轨迹．四边形ABCD中，P是两条对角线交点，M是两对对边中点连线的交点，Ｏ是两对对角线中垂线的交点，Ｈ是△APD与△BPC垂心连的交点．证明M是OH中点．X是△ABC中直线BC上动点，C在B、X间，△ABX与△ACX内切圆交于P、Q．求证PQ过定点．圆心为O1和O2的两个半径相等的圆相交于P、Q两点，D是公共弦PQ的中点，过P任作两条割线AB和CDAB、CD均不与PQ重合，点A、C在圆O1上，点B、D在圆O2上，连结AD和BC，点M、N分别是AD、BC中点．已知O1和O2不在两圆的公共部分内，点M、N均不与点O重合．求证M、N、O三点共线．在△ABC中，D是BC边上的一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O是经过A、O1、O2三点的圆的圆心．求证OD⊥BCAD恰好经过△ABC的九点圆心．设锐角△ABC的外接圆为，过点B、C作的两条切线，相交于点P，连AP交BC于点D，点E、F分别在边AC、AB上，使得DE∥BA,DF∥CA．1求证F、B、C、E四点共圆；2若记过F、B、C、E的圆的圆心为A1，类似地定义B1、C1，则AA1、BB1、CC1三线共点．一条直线l与具有圆心O的圆不相交，E是l上的点，OE⊥l，M是l上不同于E的点，从M作w的两条切线切于点A和B，C是MA的点，使得EC垂直于MA，D是MB上的点，使得ED垂直于MB，直线CD交OE于F．求证点Ｆ的位置不依赖于点M的位置．H为△ABC垂心，AH2+BH2+CH2=7，AH·BH·CH=3，求当△ABC有最大面积时各边的长．△ABC内切圆与BC切于K，AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与△ABC内切圆交于K、N．求证△BNC外接圆与△ABC内切圆切于N．已知△ABC内一点P，设D、E、F分别为P在BC、CA、AB上投影，假设AP2+PD2=BP2+PE2=CP2+PF2．设△ABC的三个旁心分别为IA、IB、IC．求证P是△IAIBIC的外心．平面内两个等边三角形ABC和KLM的边长分别是1和EQ\F(1,4)，△KLM在△ABC内部．记∑表示A到KL、LM、MK的距离和．试求当∑取最大值时，△KLM的位置．设圆S1和圆S2相交于A、B两点，经过A的直线交圆S1于C，交圆S2于D，点M、N、K分别在线段CD、BC、BD上，且MN∥BD,MK∥BC，分别过N、K作BC、BD的垂线，分别交圆S1、圆S2于E、F，且E、A在直线BC的异侧，F、A在直线BD的异侧．证明∠EMF=90．已知△ABC，点X是直线BC上的动点，且点C在点B、X之间，又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q．证明PQ经过一个不依赖于X的定点．凸四边形的四个角分别为2,2,2,2，四条边分别为l,m,n,k．求证它的面积S=EQ\F(l+m+n+k2,4cot+cot+cot+cot)－EQ\F(l+n－m－k2,4tan+tan+tan+tan)．设⊙O1与⊙O2交于P、Q两点，过点P任作两条直线APB和CPD，其中点A、C在⊙O1上，点B、D在⊙O2上，M、N分别是AD、BC中点，O为O1O2中点，∠APC=θ为锐角．设h为点O到MN的距离，K为PQ中点．求证h=OKcosθ．在△ABC和△ABC中，∠A≥∠B≥∠C，∠A≥∠B≥∠C．求证EQ\F(1,haha)+EQ\F(1,tbtb)+EQ\F(1,mcmc)≥EQ\F(12,aa+bb+cc)．在△ABC的三边中点D、E、F向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF、FD、DE交于I、L、M．求证I、L、M三点共线．给定双心四边形ABCD外接圆⊙O及内心I，并给定A点在⊙O上，求作B、C、D三点．已知△ABC的三边分别交⊙O于X、X、Y、Y、Z、Z．若△AYZ、△BXZ、△CXY的外接圆交于一点M，△AYZ、△BXZ、△CYZ的外接圆交于一点M．求证OM=OM．设H为△ABC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF，S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点．求证S、T、U、H四点共圆．△ABC中，点X是直线BC上动点，且点C在B、X之间，又△ABX、△ACX的内切圆有两个不同的交点P、Q．证明PQ经过一个不依赖于点X的动点．已知平面上一个半径为R的定圆⊙O，A、B是⊙O上两个定点，且A、B、O不共线，C为异于A、B的点，过点A作⊙O1与直线BC切于点C，过点B作⊙O2与直线AC切于点C，⊙O1与⊙O2相交于DC异于C点．证明：1CD≤R；2当点C在⊙O上移动时，且与A、B不重合时，直线CD过一定点．AB为圆的直径，l为过A的切线，C、M、D为直线l上依次排列的三个点，且CM=MD，直线BC、BD分别交于P、Q．求证在BM上存在一点R使RP和RQ均与相切．⊙O为△ABC的外接圆，三边满足2BC=AB+AC，M、N各是AB、AC的中点，G、I各是△ABC的重心、内心．试证直线GI与△AMN的外接圆必相切．已知△ABC的三个顶点A、B、C分别在△A1B1C1的边B1G、GA1、A1B1上使得∠ABC=∠A1B1C1,∠BCA=∠B1C1A1,∠CAB=∠C1A1B1．证明△ABC和△A1B1C1的垂心与△ABC的外心一样远．已知P是△ABC内一点，过P作BC、CA、AB的垂线，其垂足分别为D、E、F，又Q是△ABC内的一点，且使得∠ACP=∠BCQ,∠BAQ=∠CAP．证明∠DEF=90的充要条件是Q为△BDF的垂心．已知锐角△ABC的垂心为H，内心为I，且满足AC≠BC，CH、CI分别与△ABC的外接圆交于点D、L．证明∠CIH=90的充要条件是∠IDL=90．已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B、E之间，对角线AC和BD交于点F，设点M是边CD的中点，点N是△ABM的外接圆上的不同于M的点，且满足EQ\F(AN,BN)=EQ\F(AM,BM)．证明点E、F、N在一条直线上．设点O是锐角△ABC的外心，分别以△ABC三边的中点为圆心作过点O的圆，这三个圆两两的异于O的交点分别为K、L、M．证明点O是△KLM的内心．在边长为a,b,c，各边所对的内角为,,的△ABC内有点P和Q使得∠BPC=∠CPA=∠APB=120,∠BQC=60+,∠CQA=60+,∠AQB=60+．证明AP+BP+CP3·AQ·BQ·CQ=abc2．E为圆内接四边形内任意一点，E在直线AiAj上的垂足为Pi,j1≤iEQ\F(AP·CD,DP·AB)．设点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，并且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆都与△DEF的内切圆外切．求证AD、BE、CF三线共点．凸四边形ABCD的外接圆圆心为O，已知AC≠BD，且AC与BD交于E，若P为ABCD内部一点，且∠PAB+∠PCB=∠PBC+∠PDC=90．求证O、P、E三点共线．AB、AC为⊙O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共线，⊙P为以P点为圆心、PD为半径的圆．证明，C点在△BMP外接圆与⊙P的根轴上．已知圆内接四边形ABCD，直线AD和BC交于点E，且点C在点B、E之间，对角线AC、BD交于F，设点M为边CD的中点，点N是△ABM的外接圆上的不同于M的点，且满足EQ\F(AN,BN)=EQ\F(AM,BM)．证明，E、F、N三点共线．△ABC中I为内心，AI、BI、CI交对边于D、E、F．求证，过D、E、F的圆被△ABC所截的两弦长之和等于第三条弦长．锐角△ABC中，BC>AC>AB，AC上的点E与BC上的点D满足AE=BD，CD+CE=AB，BE交AD于K．求证KH=2IO．△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的外心与垂心．求证AP⊥OH．凸五边形ABCDE满足∠BAC=∠CAD=∠DAE,∠ABC=∠ACD=∠ADE，P是BD和CE的交点．证明，AP平分线段CD．已知△ABC，∠C<∠A<90，DAC，且BD=BA，△ABC内切圆与AB、AC分别切于K、L．设J是△BCD内心．证明，KL平分线段AJ．锐角△ABC中，H为垂心，DAB，EAC，且DE平分BH与CH的夹角锐角，AK是△ADE外接圆的直径．证明HK经过BC边中点．△ABC中，AB>AC，O为△ABC外心，MN⊥AO且MAB,NAC，BN、CM、AP三线共点于KLBC，H是△AMN的垂心．1证明△MNP外接圆经过定点；2设BC=a，△ABC外接圆半径为R，证明，A到HK的距离d≤EQ\R(4R2－a2)．在△ABC中，ma,mb,mc,ha,hb,hc分别为BC、CA、AB上的中线长和的高长，求证：∑EQ\F(hb,ma)≤3．设锐角△ABC的三边长为a,b,c，R、r为其外接圆和内切圆半径．证明：EQ\F(r,R)≤EQ\F(EQ\R(22a2－b－c2+2b2－c－a2+2c2－a－b2),a+bb+cc+a)．在△ABC中，D在BC上，E在AC上，F在AB上，有p△DEF≥min{p△CDE,p△BDF,p△AEF}，其中p△XYZ表示△XYZ的周长．试证明，对于任意△ABC，都存在唯一一对点P、Q，使得P、Q关于△ABC互为等角共轭，且满足PA+QA=PB+QB=PC+QC．圆内接四边形ABCD的外接圆圆心为O，AB∩CD=E，AC∩BD=F，OF交△DAE的外接圆于T．则△TAC、△TBD的内心重合，且T在△BCE的外接圆上．圆1过△ABC的B、C两点，圆2与边AB、AC相切，且与1内切于点T，设I为△ABC内心，BI∩CT=R，CI∩BT=Q．设2内切AB、AC于N、M，MN∩BC=P．求证：1∠BTI=∠CTI；2P、Q、R三点共线．对于△ABC，记N为九点圆圆心N的等角共轭点，设OA、OB、OC是△BOC、△COA、△AOB的外接圆圆心，设A、B、C分别为A、B、C关于BC、CA、AB的对称点．求证：1AOA、BOB、COC三线共点于N；2△AOA、△BOB、△COC、△ABC、△BCA、△CAB外接圆共点于Q，且Q是关于△ABC、N的反演点．设△ABC内切圆切BC、AB、AC于D、F、E，AD与内切圆交于与D不同的另一点T，TD中点为M，TC、TB交内切圆于U、V不同于T．求证O、M、U、V四点共圆．设L在△ABC的边AB上，延长CA至K使∠CKB=EQ\F(1,2)∠CLB，延长CB至M使∠CMA=EQ\F(1,2)∠CLA．设△AMK的外心为O，则OL⊥BC．