2021-2022年绵阳市高中数学必修一期末试卷(附答案)

一、选择题1．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．5012．函数fxx21的零点个数为（）xA．0B．1C．2D．33．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足mm2.5lgElgE，其中星1221等为m的星的亮度为E(k1,2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，kk则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当|x|较小时，10x12.3x2.7x2）A．1.27B．1.26C．1.23D．1.22314．若关于x的不等式4xlogx在x0,恒成立，则实数a的取值范围是（）a221133A．,1B．0,C．,1D．0,44445．函数f(x)log(2ax)（a0且a1）在0,3上为增函数，则实数a的取值范围a是（）22A．,1B．(0,1)C．0,D．3,336．设f(x)lg(21xa)是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()．A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)7．已知函数fx的定义域是2,3，则f2x3的定义域是（）11A．7,3B．3,7C．,3D．,3228．对任意a1,1，函数fxx2a4x42a的值恒大于零，则x的取值范围是（）A．1x3B．x1或x3C．1x2D．x1或x2mx1,x19．已知函数fx，在R上单调递增，则mn的最大值为（）x2n,x191A．2B．1C．D．4410．已知集合P{a,b},Q{M|MP}，则P与Q的关系为（）A．PQB．QPC．PQD．PQ11．已知A(x,y)x2y21,xZ,yZ，B(x,y)x3,y3,xZ,yZ.定义集合AB(xx,yy)(x,y)A,(x,y)B,，则AB的元素个数n12121122满足（）A．n77B．n49C．n64D．n8112．设Ax|1x3，Bx|lg32x1，则AB（）3333A．,B．1,C．1,D．,32222二、填空题x24x1,x013．已知函数f(x)，则函数f(f(x))3的零点的个数是3x,x0________.14．某物流公司 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P(万元)与仓库到停车库的距离x(公里)成反比，而每月库存货物的运费K(万元)与仓库到停车库的距离x(公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P和K分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x________公里.fxlogx22ax3a15．已知函数1，若函数的增区间是,1，则实数______.2fxlogax22x4aR16．函数1，若fx的值域为,1，则a的值为2______.17．已知函数fxa14ax在区间0,2上是减函数，则实数a的取值范围是_____.18．下列给出的命题中：①若f(x)的定义域为R，则g(x)f(x)f(x)一定是偶函数；②若f(x)是定义域为R的奇函数，对于任意的xR都有f(x)f(2x)0，则函数f(x)的图象关于直线x1对称；③某一个函数可以既是奇函数，又是偶函数；ax11④若f(x)在区间(2,)上是增函数，则a；x22其中正确的命题序号是__________．19．设集合A0,4，B＝x|x22(a1)xa210,xR．若BA，求实数a的取值范围_______________20．已知Ax|x23x40,B{x|ax1a0}，且BA，则所有a的值所构成的集合M=_________.三、解答题21．随着科技的发展，智能手机已经开始逐步取代传统PC渗透进入了人们娱乐生活的各个方面，我们的生活已经步入移动互联网时代.2020年，某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，计划用一年时间进行试产､试销.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本280万，每生产x(千部)手机，需另投入成本C(x)万10x2200x,0x50元，且C(x)10000，由市场调研知，每部手机售价0.8万元，801x9450,x50.x且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额成本)；（2）2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式Cx3，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式k3x5,0x714Sx8.已知每日的利润LSC，且当x2时，L.319,x7（1）求k的值，并将该产品每日的利润L万元 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为日产量x吨的函数；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.23．（1）已知函数gxa1x21a0的图像恒过定点A，且点A又在函数fxlogxa的图像上，求不等式gx3的解集；31logx11x11x（2）已知1，求函数y42的最大值和最小值.2421110424．（1）求值:()2105220538500333（2）已知xx14,.x2x225．已知定义在R上的函数f(x)的单调递增函数，且对∀x，y∈R，都有f(xy)f(x)f(y)1，f(2)=5.（1）求f(0)，f(1)的值；11（2）若对x,，都有f(kx2)f(2x1)1成立，求实数k的取值范围.3226．设集合Axx240，Bxx22a1xa250.（1）若AB2，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则1a(1x)2a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分2点．【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，1则a(1x)2a．2解得x210.41442%．该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点睛】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．B解析：B【分析】111令f(x)=0得x21=0，所以x21，再作出函数yx21与y的图像得解.xxx【详解】111令f(x)=0得x21=0，所以x21，再作出函数yx21与y的图像,xxx由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图像法、方程+图像法.3．B解析：B【分析】E把已知数据代入公式计算1．E2【详解】E由题意11.252.5(lgElgE)，lg10.1,21E2E∴1100.112.30.12.70.121.2571.26．E2故选：B．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．4．A解析：A【分析】13转化为当x0,时，函数y4x的图象不在ylogx的图象的上方，根据图象22a列式可解得结果.【详解】31由题意知关于x的不等式4xlogx在x0,恒成立，2a213所以当x0,时，函数y4x的图象不在ylogx的图象的上方，22a0a11由图可知11，解得a1.log4a22故选：A【点睛】3关键点点睛：利用函数y4x的图象与函数ylogx的图象求解是解题关键.2a5．C解析：C【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．【详解】因为a0且a1，令t2ax，所以函数t2ax在0,3上为减函数，所以函数ylogt应是减函数，fx才可能是增函数，a∴0a1，因为函数fx在0,3上为增函数，2由对数函数性质知23a0，即a，32综上0a．3故选：C．【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．6．A解析：A【解析】试题分析：由f(x)lg(21xa)为奇函数，则f(x)f(x)，可得a1，即f(x)lg1x1x，又f(x)0，即lg1x1x0，可变为01x1x1，解得1x0．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．7．C解析：C【分析】由22x33解得结果即可得解.【详解】因为函数fx的定义域是2,3，所以2x3，1要使f2x3有意义，只需22x33，解得x3。21所以f2x3的定义域是,3.2故选：C【点睛】方法点睛：复合函数定义域的求法：已知f(x)的定义域为[a,b]，求f(g(x))的定义域：解不等式ag(x)b即可得解；已知f(g(x))的定义域为[a,b]，求f(x)的定义域：求出yg(x)在[a,b]上的值域即可得解；已知f(g(x))的定义域为[a,b]，求f(h(x))的定义域：先用型二求出f(x)的定义域，再用类型一求出f(h(x))的定义域.8．B解析：B【分析】将函数fx的解析式变形为f(x)x2ax24x4，并构造函数g10g(a)x2ax24x4，由题意得出，解此不等式组可得出实数x的g10取值范围【详解】对任意a1,1，函数fxx2a4x42a的值恒大于零设gax2ax24x4，即ga0在a1,1上恒成立.ga在a1,1上是关于a的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.g1x25x60则只需线段的两个端点在x轴上方，即，解得x3或x1g1x23x20故选：B【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数gax2ax24x4，将问题转化为ga0在a1,1上恒成立，从而得g10到，属于中档题.g109．D解析：D【分析】m0现根据分段函数单调增，列出不等式组，得出n1，再根据基本不等式即可求解.mn1【详解】m0m0由题意可知，函数在R上单调递增，则2n1，解得n1，则由基本不等式m12nmn1mn21211可得mn，当且仅当m=n=时取等号.2242故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，和基本不等式，属于中档题，解题是应注意分段函数单调递增：左边增，右边增，分界点处左边小于等于右边.10．C解析：C【分析】用列举法表示集合Q,这样就可以选出正确答案.【详解】MPMa或b或a,b或.因此Q{M|MP}a,b,a,b,,所以PQ.故选：C【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合Q元素的属性特征是解题的关键.11．A解析：A【分析】先理解题意，然后分①当x1,y0时,②当x0,y1时,③当x0,y0111111时,三种情况讨论即可.【详解】解:由A(x,y)x2y21,xZ,yZ，B(x,y)x3,y3,xZ,yZ,①当x1,y0时,xx4,3,2,1,0,1,2,3,4,1112yy3,2,1,0,1,2,3,12此时AB的元素个数为9763个,②当x0,y1时,xx3,2,1,0,1,2,3,1112yy4,3,2,1,0,1,2,3,4,12这种情况和第①种情况除yy4,4外均相同,故新增7214个,12③当x0,y0时,xx3,2,1,0,1,2,3,1112yy3,2,1,0,1,2,3,这种情况与前面重复,新增0个,12综合①②③可得:AB的元素个数为6314077个,故选:A.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.12．B解析：B【分析】求出集合A,B后可得AB.【详解】73A{x|1x3}，B{x|032x10}{x|x}；223AB1,，2故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交集运算，解对数不等式时注意真数恒为正，属于中档题.二、填空题13．4【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数解析：4【分析】根据分段函数的解析式当x0时，令fx3，则x24x13，解得x22，当x0时，fx3x1，x1，做出函数fx，y1,y22,y22的图像，即可求解.【详解】x24x1,x0f(x)，3x,x0当x0时，fxx24x1x2255，令fx3，则x24x13，解得x22，1220,4223,x0时，fx3x1，令fx3得x1，作出函数fx，y1,y22,y22的图像，由图像可知，fx与y1有两个交点，与y22有一个交点，则f(f(x))3的零点的个数为4.故答案为：4【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．3【分析】由条件设将条件代入可解得的值可以得到两项费用之和的表达式利用均值不等式可求得答案【详解】设由和分别为万元和万元即时可得则两项费用之和为：所以当且仅当即时取得等号故答案为：3【点睛】本题考查解析：3【分析】n由条件设P,Kmx，将条件P4,K144代入，可解得m,n的值，可以得到两项x费用之和的表达式，利用均值不等式可求得答案.【详解】n设P,Kmx,由P和K分别为4万元和144万元.x即x18时P4，K144，可得，n72,m8.72则两项费用之和为：yPK8xx0.x727272所以8x28x48，当且仅当8x，即x3时取得等号.xxx故答案为：3【点睛】本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．15．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2【分析】ylogxfxlogx22ax3因为函数1在0,上单调递减，要使1的单调增区22间为,1，分两种情况讨论，对称轴x1和对称轴xa1，分别计算可得；【详解】ylogxfxlogx22ax3解：因为函数1在0,上单调递减，要使1的单调22增区间为,1，①当函数gxx22ax3对称轴为xa1时，因为22430，所以x22ax30恒成立，满足条件，②当函数gxx22ax3对称轴xa1时，需满足g10，即122a30解得a2；综上可得a1或2故答案为：1或2【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.16．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题解析：27【分析】根据对数的性质可知yax22x40，且最小值为1，即可求得a的值.【详解】fxlogax22x4aR因为1的值域为,1，所以ax22x40，2a012函数yax22x4的最小值为，即44a221，解得a，274a22故答案为：7【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.17．【分析】根据f（x）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a＜0时满足条件这样即可求出实数a的取解析：a0或1a2【分析】根据f（x）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a＜0时，满足条件，这样即可求出实数a的取值范围．【详解】∵f（x）定义在[0，2]上；∴a＞2时，x=2时，4﹣ax＜0，不满足4﹣ax≥0；∴a≤2；①1＜a≤2时，a﹣1＞0；∴fxa14ax满足在区间[0，2]上是减函数；②a=1时，f（x）=0，不满足在[0，2]上是减函数；∴a≠1；③0＜a＜1时，a﹣1＜0；∵4ax在[0，2]上是减函数；∴fxa14ax在[0，2]上是增函数；∴0＜a＜1不合题意；④a=0时，f（x）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数；∴a≠0；⑤a＜0时，a﹣1＜0；且4ax在[0，2]上是增函数；∴fxa14ax在[0，2]上是减函数；∴综上得，实数a的取值范围为a0或1a2．故答案为a0或1a2．【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．18．①③④【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数转化为熟悉的函数判断【详解】①函数的定义域为所以函数的定义域也是即所以函数是偶函数故①正确；②对解析：①③④【分析】①根据奇偶函数的定义判断；②利用抽象函数的对称性判断；③通过特殊函数判断；④通过分离常数，转化为熟悉的函数判断.【详解】①函数fx的定义域为R，所以函数gx的定义域也是R，gxfxfx，即gxgx，所以函数gx是偶函数，故①正确；②对应任意的xR，都有fxf2x0，即函数fx关于1,0对称，并不关于x1对称，故②不正确；③函数y0既是偶函数又是奇函数，故③正确；ax1ax212a12a④fxa，若函数在2,上单调递增，则x2x2x2112a0，解得：a，故④正确.2故答案为：①③④【点睛】方法点睛：函数的对称性包含中心对称和轴对称，一般判断的方法包含：1.若对函数yfx的定义域内的任一自变量x的值都有fxf2ax，则yfx的图象关于xa成轴对称；若对函数yfx的定义域内的任一自变量x的值都有fx2bf2ax，则yfx的图象关于a,b成中心对称；19．或【分析】分类讨论四种情况讨论再求并集即可【详解】因为所以或或或当时方程无实根所以解得；当时方程有两个相等的实根所以解得：；当时方程有两个相等的实根所以此时无解；当时方程有两个不相等的实根所以解得：解析：a1或a1【分析】分类讨论B，B0、B4、B0,4四种情况讨论，再求并集即可.【详解】因为BA，所以B或B0或B4或B0,4，当B时，方程x22(a1)xa210无实根，所以4a124a212a20，解得a1；当B0时，方程x22(a1)xa210有两个相等的实根xx0，12xx2a10所以12，解得：a1；xxa21012当B4时，方程x22(a1)xa210有两个相等的实根xx4，12xx2a18所以12，此时无解；xxa211612当B0,4时，方程x22(a1)xa210有两个不相等的实根x0,x4，12xx2a14所以12，解得：a1；xxa21012综上所述：a1或a1，【点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系，分类讨论的思想，属于中档题.20．【分析】计算根据得到四种情况分别计算得到答案【详解】当时：此时；当时：解得；当时：解得；当时：无解；综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据集合关系求参数忽略掉空集是容易发生的错误11解析：0,,23【分析】计算A1,4，根据BA得到B，B1，B4，B1,4四种情况，分别计算得到答案.【详解】Ax|x23x401,4，BA当B时：B{x|ax1a0}，此时a0；1当B1时：B{x|ax1a0}1，解得a；21当B4时：B{x|ax1a0}4，解得a；3当B1,4时：B{x|ax1a0}1,4，无解；11综上所述：a0,,2311故答案为：0,,23【点睛】本题考查了根据集合关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.三、解答题10x2600x280,0x5021．（1）W(x)10000；（2）2020年产量为100(千部)时，x9170,x50x企业所获利润最大最大利润是8970万元.【分析】（1）分0x50与x50写出分段函数的解析式即可；（2）分两段分别求函数的最大值，比较两个值的大小，即可求出函数的最大值.【详解】（1）当0x50时，W(x)800x10x2200x28010x2600x2801000010000当x50时，W(x)800x801x9450280x9170xx10x2600x280,0x50W(x)10000x9170,x50x（2）若0x50，W(x)10(x30)28720，当x30时，W(x)8720万元max1000010000若x50，W(x)x91702x91708970，xx10000当且仅当x时，即x100时，W(x)8970万元.xmax因为89708720.所以2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8970万元.10x2600x280,0x50答（1）W(x)10000x9170,x50x（2）2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大最大利润是8970万元.【点睛】关键点点睛：在实际问题中分类讨论求出函数的解析式，求最大值时，要分别求自变量在不同区域的最值，然后比较大小，得出函数的最值.82x2(0x7)22．（1）k8，Lx8（2）当日产量为6吨时，日利润达到16x(x7)最大10万元．【分析】（1）利用每日的利润LSC，且当x2时，L3，可求k的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．【详解】k2x2(0x7)解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为Lx816x(x7)14k14（1）当x2时，L，即：2223283k882x2(0x7)所以Lx816x(x7)（2）当x7时，L16x为单调递减函数，故当x7时，L9max888当0x7时，L2x22(x8)182(8x)18x8x88x822(8x)18108x8当且仅当2(8x)(0x7)，8x即x6时，L10max综合上述情况，当日产量为6吨时，日利润达到最大10万元．【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键，属于中档题．523．（1）3,；（2）y1，y.minmax4【分析】（1）结合指数函数性质首先求a的值，再解指数不等式；1x（2）通过换元，设t，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最2大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为2,2，∴2log2a解得a1.3∴gx2x21.gx3∴由得，2x213.∴2x22.∴x21.∴x3.∴不等式gx3的解集为3,.1logx111x12（2）由1得x2令t，则t，2224212y4t24t24t1.211x1∴当t，即，x1时，y1，222min11x15当t，即，x2时，y.424max4【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解．24．（1）16；（2）36【分析】（1）由指数幂的运算法则直接计算即可；11211（2）由x2x2xx12可求出，再利用x2x23311x2x2x2x2xx11即可求出.【详解】11（1）原式50021020124521051052201610510520201616；（2）xx14，112x2x2xx12426，1111又，，x2x20x2x263311x2x2x2x2xx1164136.【点睛】本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式和立方和公式的应用，属于基础题.25．（1）f(0)1；f12；（2）k4.【分析】（1）令xy0可得f(0)，令xy1可得f1；221122（2）转化条件为k对x,恒成立，换元后求得的最小值即可得x2x32x2x解.【详解】（1）令xy0，则f(0)f(0)f(0)1，所以f(0)1；令xy1，则f(2)f(1)f(1)15，所以f12；（2）由题意，不等式f(kx2)f(2x1)1可转化为f(kx2)f(2x1)12，所以fkx22x1f1，因为函数f(x)单调递增，所以kx22x11，2211所以k对x,恒成立，x2x321121令t2,3，则2t22t2t，x221所以当t2即x时，2t22t取最小值4，2所以k4.【点睛】22关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为k对x2x1122x,恒成立，再转化为求的最小值即可得解.32x2x26．（1）5；（2）aa3或a1.【分析】（1）求得集合A，由题意可得2B，可求得a的值，再验证AB2是否满足，由此可求得实数a的值；（2）由题意可得BA，分B、B2、B2、B2,2四种情况讨论，求得实数a的值，并检验AB是否成立，由此可求得实数a的取值范围.【详解】（1）Axx2402,2，因为AB2，所以2B，所以44a1a250，整理得a24a50，解得a1或a5.当a1时，Bxx2402,2，不满足AB2；当a5时，Bxx212x2002,10，满足AB2；故a5；（2）由题意，知A2,2，由ABA，得BA.①当集合B时，关于x的方程x22a1xa250没有实数根，所以4a124a258a240，即a30，解得a3；42a1②当集合B2时，，无解；4a2542a1③当集合B2时，，解得a3，4a25a10④当B2,2时，，解得a1a254综上，可知实数a的取值范围为aa3或a1.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题.