线性代数历考题东南大学

试卷一(33%)填空题(E表示单位矩阵)：1•设a=(1,2),|3=(1,—1)，则aB丁=;(bE)999=2111o1o2OO_-B54L则行列式AB口=073.4.5.右■向量组相关；6.分块矩阵iAOj的逆矩阵为2x2矩阵A=|a2I的伴随矩阵A*=；]cd」设矩阵A及A+E均可逆，G=E—(A+E)七则G」=7.设A是6乂5矩阵。若齐次线性方程组Ax=6的解空间是2维的，则齐次线性方程组ATx=6的解空间是维的；与向量a=(1,0,1)T,E=(1,1,1)T均正交的一个单位向量为；已知矩阵M=(1；£j,A=MMT,贝U当数k满足条件时，A是正定的；若实对称矩阵A有两个不同的特征值，且A2-3A+2E=O则当参数k满足条件时，矩阵E+kA是正定的。(12%)求矩阵方程XA=2X+B的解，其中,11-1B=一3012-1三(12%)设3阶方阵A有特征值1(二重)和一1,%=是其相应于特征JJ上值1的特征向量,a3=101是其相应于特征值_1-1的特征向量。9999求A及A9999若3阶实对称矩阵B的特征值也是1(二重)和-1,证明：A与B必定相似。四（12%）设线性方程组x1+X2+x3+x4=0Xi+3x2+5x3+5x4=2X2+px3-2x4=q3x1十2x2十x3+(P+3)x4=-1问：当参数p,q满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解?TOC\o"1-5"\h\z当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。1111五（12%）矩阵A=3—120°求一4乂2矩阵B,使得AB=0，且秩（B）=2;问：是否存在秩大于2的矩阵C使得AC=0?为什么?六（12%）设实对称矩阵2相似.4汰10]4A=130与B=_。04一I求参数k的值；2.求一正交矩阵Q，使得Q「AQ=b.七（7%）证明题:1.设扃，姻是矩阵A的两个互异的特征值,七,七是A的属于码的线性无关的特征向量，气是A的属于九2的特征向量。证明：七,七〜3线性无关。已知n阶方阵A相似于对角阵，并且，矩阵A的特征向量均是矩阵B的特征向量（注：A,B的特征值未必相同）。证明AB=BA.1.2.3.(24%)填空题:假设矩阵A=002>则A。假设向量组A:的秩为若向量-t〕1,B=ty=1UJ:则当参数t满足条件1;时A的秩为2;时A的秩为3。1a1'L是矩阵i1A=1」202n的特征向量，贝Ua,bj=危1■01、4.设矩阵A=,B=ub.J0>条件O5.若矩阵aA二'330-10与对角阵时，向量组A,且(A+B)(A—B)=A2—B2,则参数a,b满足A相似，则x满足条件6.a'四正交矩阵，则a,b,c满足条件7.2若对满足条件A2+3A—4E=O的实对称矩阵A,aE+A都是正定矩阵，则实数a必定满足条件V1x111x11,xx1(8%)求矩阵A的行列式det(A)的值。1J1111>¥二.(15%)已知矩阵△—工A.——1p2,向量hob=3n=1u2P>O1.若听是线性方程组Ax=b的解，试求p,q的值,并求这时Ax=b的通解;2.若Ax=b有无穷多组解，但听不是Ax四.(15%)解矩阵方程XA=2X+B。其中=b的解,求p,q的值。3A=001T‘1022,B=90r<-110；3JO五.（15%）设二次型222f（Xi,X2,X3）=Xi2X2X32X1X3写出二次型f的矩阵；求正交变换X=QY将f化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形，并写出相应的标准形。（12%）设3阶矩阵A的特征值是2（二重）和4,且a=（10ij,E=（010j是A的相应于特征值2的特征向量，丫=（10-1j是A的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵A及（A-2E）n。,……（12）「31）、,…,（5%）已知矩阵入二旧，B=u。【可：当参数x,y满足什么条件时，矩阵方程AX=B有解，但BY=A无解？（6%）证明题：已知向量组料”2"3可以由％,。2线性表示。若向量组凡E2,E3的秩为2,证明：电*2线性无关。缶b）L,,c,,』“，十…R、十5设2阶方阵A=|d，且a+d=2,ad—bc=1。右b,c不全为零，证明：A不与任何对角阵相似。A阵矩若^1J0320-B,a54b,且AB=BA，贝Ua,b的值分别为1.2.3.4.5.6.7.8.9.假设3阶矩阵A的特征值为2,1,-L则行列式A+A工的值为—；彳01'■2>若实二次型f,g的矩阵分别为A=0a0、B=b，则f,g的正惯性指数口01J<2J相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数a,b满足（27%）填空题TOC\o"1-5"\h\z设对任意列向量乂.,AXj,贝U矩阵A=;x=b《a+5b+6cj设3阶方阵A=0%%），B=（%2—口3口1-«3口1一。2）。若A的行列式A=3,则矩阵B的行列式B=；设A为n阶可逆方阵，2n阶矩阵b=1EAj的逆矩阵为；OA一齐次线性方程组3x1+2x2+3x3=0的一个基础解系为；222右二次型f（x,x2,x3）=2x1+x2+x3+2x1x2+tx2x3是正定的，则参数t的取值范围是;若A=rab'世正交矩阵，则参数a,b,c的值分别为;（14%）假设n阶矩阵A满足A2+2A—3E=0。1.证明矩阵A及A+E均可逆，并分别求A」及（A+E）」；2.证明：若A#E，矩阵A+3E肯定不可逆。q1（1、三（14%）假设矩阵a=1兀1,b=1。已知线性方程组Ax=b有无穷多组。11）<-2>解。试求参数丸的值，并求方程组的通解（ 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 用Ax=b的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。034、四（15%）已知矩阵A=0-10相似于对角阵。Ja3>求参数a的值，并求A的特征值及相应的特征向量；求一可逆矩阵P,使得P」AP为对角阵，并写出相应的对角阵；问：是否存在正交矩阵Q，使得Q」AQ为对角阵？试说明你的理由。五（12%）已知矩阵A=0-1<20>3；使得DXA=2DXB。K（12%）假设3维向量0（1=0,0（2=1；01=2,02=1,口3=1。已知向MDO9量组%,%与向量组哄2,口3等价。求鸟，鸟，鸟的秩及其一个最大线性无关组，并求参数a,b,c的值；令矩阵A=0,%）B=（官，E2,P3），求满足AX=B的矩阵X。七（6%）假设n阶矩阵A满足A2=2A。证明：关于矩阵的秩有等式R（2E-A）+R（A）=n，并且A相似于对角阵；若R（A）=r，试求行列式A+E的值。30%)填空题1.2.3.4.则（A2E）J=设-10A=1口01若矩阵A满足A2=0，贝UE+A的逆矩阵(E+A)u=若向量组8=(1t1),处=(11t),0(3=(t11),的秩为2,则参数t满足条件;一、一一…一,一一，一**假设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=E—2A，其中，A是A的伴随矩阵，贝UB的行列式B=(11\,…6.00〉i_.2x2与B=3<312>y相似，则(x,y)=若A二5.A=i相似于对角阵的充要条件是X满足条件设(1,-1,0)T,(1,0,—1)T是3阶实对称矩阵A的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若A不可逆，则A的另一个特征值为,相应的一个特征向量为;3元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2,已知"[,0(2,0(3是它的3个解向量，其中皿=(1,1,1)T,%十口3=(2,4,6)T,则该方程组的通解是；若4阶矩阵A,B的秩都等于1,则矩阵A+B的行列式A+B=。(10%)计算下述行列式111+x111D=1-x1111-x111+x11的值。x13x2x3=0(15%)设线性方程组〈3x1+2x2+3x3=—1。问：当参数人，卜取何值时，线性方Ix14x2‘x3=」程组有唯一解？当参数是取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解(用向量形式表示)11-1-1111-11四.(12%)假设矩阵A=,矩阵B满足A*B=A=+2B，其中A*是A的伴随矩阵，求Bo（10%）已知向量组^^2^3线性无关，问：参数a,b,c满足什么条件时，向量组aai+0（2,^2十"3,83十。1线性相关？（15%）已知二次型2c2c2,,f（Xi,X2,X3）=Xi+2x2+3x3—4xiX2—4X2X3,写出二次型f的矩阵；求一正交变换X=Qy，将f变成其标准形；求当XTX=1时f（X1,X2,X3）的最大值。（8%）证明题：设向量组Ct1,O（2,Ot3,a4中，%,口2,0（3线性相关，«2^3^4线性无关，证明：%能由cc2,ct3,a4线性表示。设A是n阶正定矩阵，证明：矩阵A+A^-2E也是正定矩阵。（30%）填空题1.设3阶矩阵A=(o(i,%,03),B=(o(2-2口3,。-o(3,ot1+0(2)。若A的行列式A=2，则B的行列式B=2.与向量:■=（1,0,1）及p=（0,1,0）都正交的单位向量为（12、3.的伴随矩阵A4.假设a=(1,—1),E=(2,3)，则a邛5.若A为方阵，则方阵-EO2E6.已知矩阵A=若A不可逆，则参数a满足条件时，A的秩为7.假设n阶方阵A满足A2-3A+2E=0,则A+E是可逆的，且_1(AE)」8.假设矩阵A=x-34-3相似于对角阵，并且2是A的一个二重特征值，则参数x,y的值分别等于(12%)已知矩阵△_A—求A的行列式的值;2.根据赤的不同的值,A的秩及列向量组的极大线性无关组。q12厂1、四（14%）假设矩阵A=1九1，b=21b三（12%）假设100%(2-11)100，B=I(0b210;O求矩阵方程2X=B+XA的解。问：当参数兀取什么值时，线性方程组Ax=b有唯一解、有无穷多组解、无解?当线性方程组Ax=b有无穷多组解时，求出其通解。五（14%）已知三阶方阵A=2<300)(1x2与矩阵B=13Ji4相似,求参数x,y的值,并求一可逆矩阵P，使得P」AP=B。六（12%）设二次型f（x1,x2,x3）=x2+2x；+x；+2kXjX3求一可逆线性变换将f变成其标准形；根据参数k的不同取值，讨论f的秩及正、负惯性指数；问：当参数k取什么值时，f是正定二次型？七（6%）假设A是n阶正交阵。若A是实对称矩阵，证明：A的特征值只能是1和-1,并且，若AOE，则-1肯定是A的特征值。试卷六一、填空题设3阶方阵A满足AT=-A(其中AT表示A的转置),则行列式|A|=矩阵|12'的伴随矩阵=.一34为秩的1—1^1oo_它的一个最大线性无关组是设A为可逆矩阵，则矩阵万程2XA+3B=C的解X=.设矩阵A=「1x+2|是正交矩阵，则x,y的值分别为.二次型f(X1,X2,X3)=2X2+X2-3房+4X1X2一6X2X3的矩阵是二、选择题设A是4阶方阵，贝U下列条件中[D]与“秩(A)=3”等价.A的列向量组线性无关，行列式|A|=0,A的3阶子式都不为零，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中仅含有1个解向量.设A,B都是2X3的矩阵，它们的转置分别记为AT和BT,则下列等式中恒成立的是[B].(ATB)T=ABT,行列式|ATB|=0,秩(A+B)=秩(A)+秩(B),AOBTO_ABtO下列矩阵中不能相似对角化的是[A].1o_A11-1211oo_4.卜'列除述中止确的是[B].(A)若两个矩阵等价，贝U它们的行列式相等，(B)若两个矩阵等价,贝U它们的秩相等，(C)若两个矩阵相似,贝U它们有相同的特征向量(D)若两个矩阵合问，则它们有相同的特征值二、计算题110f132~25aa3—a3b2b1-2b5b—的值.1.计算行列式一1求矩阵A=32-23-510的逆矩阵.-473.对于方程组x1x2x3=3*x1+2x2+3x3=0来说,x1+x2+ax3=b当参数a与b满足什么条件时无解？当参数a与b满足什么条件时有唯一解？当参数a与b满足什么条件时有无穷多解？并在此条件下求出其通解.1]"设a=0,P=1,用Schimidt正交化方法求一个与向量组a,吟价的正交向量组%,&并用&,帛把8线性表示出来1115.设矩阵A=120求A的特征多项式和特征值.1求正交矩阵P使PAP为对角矩阵.矩阵A的正惯性指数是多少？矩阵A是否为正定矩阵？四、证明题设n阶方阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵.证明:A+E和A-2E都可逆,A的特征值只能为0或1,A相似于一个对角矩阵.