带电粒子在有界磁场中的运动问题，是高中物理学习的重点，对考生的空间想象能力、物理过程的分析能力以及物理规律的综合应用能力都有很高的要求。粒子的运动轨迹往往是一个残缺圆，因此会出现一系列最值。由于此类问题综合性强，思维含量高，具有很强的选拔功能，因此成为历年高考的热点。1．速度之“最” 带电粒子在有界磁场中的匀速圆周运动，其轨迹是圆的一段弧，当速度大小变化时，匀速圆周运动的半径随之变化，轨迹也将发生变化，当带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切或运动轨迹恰好过边界端点时的速度，就是满足条件的最大或最小速度．例题1：如图1宽为d的有界磁场的边界为PQ、MN，一个质量为m，带电荷量为-q的微粒沿图示方向垂直射入磁场，磁感应强度为B，要使该粒子不能从边界MN射出，此粒子入射速度的最大值是多大？ 点评：根据该题的已知条件，粒子的速度与圆周运动的半径成正比，圆心一定在过入射点与速度垂直的直线上。因此，可以用“缩放圆”的方法，即在保证圆心在过入射点与速度垂直的直线上的基础上，画半径不断增大的圆（如图2所示），去寻找最大值。 2．运动时间之“最” 由 和 得带电粒子在磁场中运动时间 ，时间与速度无关，圆心角越大，则粒子运动时间越长，因此圆心角之“最”决定运动时间之“最”。例题2：如图3所示，相距为R的两块平行金属板M、N正对着放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s2O=R。以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在磁感应强度为B．方向垂直纸面向外的匀强磁场。D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为+q的粒子，经s1进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。粒子在s1处的速度和粒子所受的重力均不计。当M、N间的电压不同时，粒子从s1到打在D上经历的时间t会不同，求t的最小值。 例题3：（2009年山东高考题）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0-3t时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。 已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）（1）求电压U的大小。 （2）求时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。 （3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。 3．磁场范围之“最” 近年来在高考试题中多次出现求磁场的最小范围问题，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，抓住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中
规定
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形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积。 例4 一质量为m、带电量q为的粒子以速度v0从O点沿轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。 求：（1）圆形磁场区的最小面积； （2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）b点的坐标。例5．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。例6．如图所示，在纸平面内建立如图所示的直角坐标系xoy，在第一象限的区域存在沿y轴正方向的匀强电场。现有一质量为m、电量为e的电子从第一象限的某点P（）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过轴上的点Q（L/4、0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，其左边界和上边界分别与y轴、x轴重合，电子经磁场偏转后恰好经过坐标原点O并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过Q点的速度；（2）该匀强磁场的磁感应强度；（3）该匀强磁场的最小面积S。
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