素养训练 因式分解的八种常见应用课题2集训课堂人教版八年级上第十四章整式的乘法与因式分解12345678
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呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9利用因式分解计算：(1)1012＋492＋101×98；1＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22500.集训课堂(2)8002－1600×798＋7982.＝(800－798)2＝22＝4.集训课堂2集训课堂(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值．解：x3y－2x2y2＋xy3＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.当x－y＝1，xy＝2时，原式＝2×12＝2.集训课堂当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除吗？请说明理由．3解：能被4整除．理由如下：(n＋1)2－(n－1)2＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n，∴当n为整数时，(n＋1)2－(n－1)2能被4整除．集训课堂先阅读下列材料，然后解题．材料：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除．所以x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－6＝0.4集训课堂(1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6能被____________整除，所以______________是x2＋5x＋6的一个因式，且当x＝__________时，x2＋5x＋6＝0；(2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式x2＋mx－14能被x＋2整除，试求m的值．x＋2或x＋3x＋2或x＋3－2或－3集训课堂解：∵x2＋mx－14能被x＋2整除，∴当x＝－2时，x2＋mx－14＝0.∴(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.集训课堂5已知x，y是等腰三角形ABC的两边长，且满足4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0，求△ABC的周长． 集训课堂解：由4x2＋10y2－12xy－4y＋4＝0可得4x2－12xy＋9y2＋y2－4y＋4＝0，即(2x－3y)2＋(y－2)2＝0，所以2x－3y＝0，y－2＝0.所以x＝3，y＝2.当x为底边长时，三角形的三边长分别为3，2，2，符合三边关系，所以周长为3＋2＋2＝7；当x为腰长时，三角形的三边长分别为3，3，2，符合三边关系，所以周长为3＋3＋2＝8.综上，△ABC的周长为7或8.集训课堂6已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝c2＋2ac.(1)试判断△ABC属于哪一类三角形；集训课堂解：∵b2＋2ab＝c2＋2ac，∴(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0.∴(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0.∴(b－c)(b＋c＋2a)＝0.∵b＋c＋2a＞0，∴b－c＝0，即b＝c.∴△ABC是等腰三角形．集训课堂(2)若a＝4，b＝3，求△ABC的周长．解：由(1)可知b＝c＝3，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.集训课堂7解：P－Q＝(3x2＋4y＋15)－(2x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋y2＋4y＋16＝(x－3)2＋(y＋2)2＋3.∵(x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，∴P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋3≥3.∴P＞Q.已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较P，Q的大小． 集训课堂8若a，b，c为三角形的三边长，求证：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负数． 证明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)．集训课堂∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b＋c＞0，a－b－c＜0.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2－4a2b2＜0.故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定为负数．集训课堂9观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有字母n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．集训课堂解：规律为n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.理由如下： n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)]2＋2n2＋2n＋1＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1＝[n(n＋1)＋1]2.集训课堂
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