第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大概历经四个时期：以自然数、分数系统形成的萌芽期；以代数符号系统形成的常量数学时期；以函数观点产生的变量数学时期；以会合论为标记的现代数学时期．函数是数学中最重要的观点之一，它是变量数学的标记，“函数”是从量的侧面去描绘客观世界的运动变化、互相联系，从量的侧面反应了客观世界的动向和它们的互相限制性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系有关的观点、函数观点、函数的表示法、函数图象观点及画法．在座标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相变换的最基本形式．点的坐标是解决函数问
题
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的基础，函数分析式是解决函数问题的重点，因此，求点的坐标、探求函数分析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连接AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来议论，设点P(0，x)，运用几何知识成立x的方程．注：点的坐标是数与形联合的桥梁，求点的坐标的基本
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有：(1)利用几何计算求；(2)经过分析式求；(3)解由分析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯灌水(流量必定)，注满烧杯后，持续灌水，直至注满水槽．水槽中水面上涨高度h与灌水时间之间的函数关系，大概是以下图象中的()思路点拨向烧杯灌水需要时间，而且水槽中水面上涨高h0．注：实质生活中量与量之间的关系能够形象地经过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要擅长从图象的形状、地点、发展变化趋向等有关信息中获取启迪．【例3】南方A市欲将一批简单变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择此中的一种，这三种运输方式的主要参照数据以下表所示：运输工具途中速度(千米／时)途中花费(元／千米)装卸花费(元)装卸时间(小时)飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输(包含装卸)过程中的消耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．(1)假如用Wl、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出花费(包含消耗)，求出Wl、W2、W3与小x间的函数关系式．(2)应采纳哪一种运输方式，才使运输时的总支出花费最小?思路点拨每种运输工具总支出花费＝途中所需花费(含装卸花费)+消耗资用；总支出花费随距离变化而变化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先确立自变量的特定值，经过议论选择最佳运输方式．【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．(1)画出切合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上能否存在一点F，使得点P与点F对于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，假如存在，写出点F的坐标；假如不存在，请说明原因．思路点拨(1)重点是探究点A是在y轴正半轴上、负半轴上仍是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能对于直线DC对称．注：成立函数关系式，实质上都是依据详细的实质问题和一些特别的关系、数据而抽象、概括成立函数的模型．【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的右边作正方形PQMN，记PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．(1)当AP＝3cm时，求的值；(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；(3)当y=2cm2，试确立点P的地点．(2001年天津市中考题)思路点拨对于(2)，因为点P的地点不一样，y与x之间存在不一样的函数关系，故需分类议论；对于(3)，由相应函数分析式求x值．注：确立几何元素间的函数关系式，第一是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动致使图形之间地点发生变化，需要分类议论；(2)确立自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情况、特别情况等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形与Rt△ABO全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知极点的坐标．2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，假如点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为时，使得由点B、O、C构成的三角形与△AOB相像(起码找出两个满足条件的点的坐标)．3．依据指令(S≥0，0°
lD．m≤17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知极点的坐标(不用写出计算过程)．8．如图，用相同规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请察看以下图形并解答有关问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与n(n表示第n个图形)的函数关系式；(2)按上述铺设
方案
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，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购置瓷砖?(4)能否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情况?请经过计算说明为何?9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个极点为A(10，0)，B(0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及界限上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点)．10．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，尔后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上往返运动，且每分钟挪动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处地点为．12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确立点P，使△AOP为等腰三角形，则切合条件的点P共有()A．1个B．2个C．3个D．4个13．已知点P的坐标是(2al，2b)，这里a、b是有理数，PA、PB分别是点P到x轴和y轴的垂线段，且矩形OAPB的面积为2，则P点可能出现的象限有（）A．1个B．2个C．3个D．4个(江苏省比赛题)14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不一样的速度Vl与V2(Vi
答案
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